Chuyên đề đại số lớp 9
định lý vi et và một số ứng dụng
Ngời viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên THCS Thị trấn Hng hà , Thái bình
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Nhắc lại một số kiến thức có liên quan

một số hằng đẳng thức đáng nhớ:
1) (a + b)
2
= a
2
+ b
2
+ 2ab a
2
+ b
2
= (a + b)
2
2ab
2) (a - b)
2
= a
2
+ b
2
- 2ab = (a + b)
2
4ab a
2

Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) thì:
S = x
1
+ x
2
=
P = x
1
.x
2
=
III. Một số ứng dụng của định lý Vi et:
1) Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai( có 2 trờng hợp thờng sử dụng)
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (1)
a) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm là: x
1
= 1 và x
2
=
b) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm là: x
1
=- 1 và x

)
2
4x
1
x
2
1
b
a

c
a
c
a
c
a
(x
1
x
2
)
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1

Có nghiệm x
1
; x
2
thì tam thức f(x) = ax
2
+ bx + c phân tích đợc nh sau:
f(x) = ax
2
+ bx + c = a(x x
1
)(x x
2
)
Bài giải
Ta có f(x) = ax
2
+ bx + c = a[ x
2
(- )
2
+ ] = a(x x
1
)(x x
2
)
*ứng dụng của bài toán trên:
Phân tích đa thức ax
2
+ bx + c thành nhân tử:

2
3 . 2 = 10 > 0. Phơng trình có 2 nghiệm
x
1
= ; x
2
=
Vậy 3x
2
+ 8x + 2 = 3( x + )(x + )
* Nhận xét: Với bài toán này ở lớp 8 ta đã biết cách giải đó là: phân tích đa thức
thành nhân tử bằng phơng pháp tách, tuy nhiên với phơng pháp này đôi khi thực
hiện sẽ gặp khó khăn (ví dụ nh câu b). Song trong trờng hợp tam thức bậc hai có
nghiệm, nếu sử dụng kết quả bài toán trên thì bất kỳ tam thức bậc hai nào cũng
phân tích đợc thành nhân tử một cách thuận lợi.
Bài toán 2 : Tính nhẩm nghiệm của các phơng trình sau:
a) 2007x
2
2008x + 1 = 0
b) x
2
(
2 3+
)x +
6
= 0
Bài giải
a) Ta có a + b + c = 2007 2008 + 1 = 0
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x
1

2
3
2) 6) x
1
(1 x
2
) + x
2
( 1 x
1
)
3) x
1
2
+ x
2
2
7)* A = x
1
4
+ 2x
2
3
+ 3x
1
2
+ 8x
2
-8
4) x

1
+ 1)
2
= x
1
+ 2x
1
+ 2 = 3x
1
+2
2x
2
3
= 2x
2
2
+ 2x
2
= 4x
2
+2
3
1 2
1 1
x x
+
4 10
3
+
4 10

2
1 = 5 + 6( ) =
8) x
1
8
= (x
1
4
)
2
= 9x
1
2
+ 12x
1
+ 4 = 21x
1
+ 13

= 21( ) + 13 =
* Chú ý: Trớc khi thực hiện các yêu cầu của bài toán phải kiểm tra xem phơng
trình có nghiệm hay không. VD: phơng trình x
2
2x + 2 = 0 vô nghiệm song
vẫn tồn tại biểu thức và biểu thức .
* Nhận xét: Với bài toán này nếu dùng cách giải thông thờng: tính cụ thể nghiệm
rồi thay vào biểu thức cần tìm thì việc tính toán rất cồng kềnh, dài dòng, phức tạp,
song nhờ định lý Vi et, ta biểu diễn các biểu thức này thông qua tổng và tích
các nghiệm, sau đó mới thực hành tính toán trên các con số, vì vậy việc tính toán
sẽ ngắn gọn, chính xác hơn nhiều.

x + 1 = 0
Bài toán 5 : Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (1).
Giả sử phơng trình có 2 nghiệm là x
1
và x
2
. Đặt S
n
= x
1
n
+ x
2
n
(n N)
a) Chứng minh rằng: a S
n+2
+ bS
n+1
+ cS
n
= 0
b) áp dụng: Không khai triển, hãy tính: A =
B =
Bài giải
a) Vì x
1
và x

n+1
) + c(x
1
n
+ x
2
n
) =
= (ax
1
n+2
+ bx
1
n+1
+ cx
1
n
) + (ax
2
n+2
+ bx
2
n+1
+ cx
2
n
) =
= x
1
n

= - 2
4
c
a
1 5
2

16 6 5
2

1 5
2

47 21 5
2

4 4
1 1
(2 2) (2 2)
+
+
b
a

( ) ( )
7 7
1 3 1 3 + +
x
1
và x

+ x
2
= 2
S
2
= 2S
1
+ 2S
0
= 4 + 4 = 8
S
3
= 2S
2
+ 2S
1
= 16 + 4 = 20
S
4
= 2S
3
+ 2S
2
= 40 + 16 = 56
S
5
= 2S
4
+ 2S
3

2
+ bx + c = 0(1) ( a 0)
có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là (k + 1)
2
ac = kb
2
Bài giải
* Điều kiện cần: Giả sử phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x
1
, x
2
thoả mãn:
x
1
= kx
2
hoặc x
2
= k x
1
Ta có: (k + 1)
2
ac = kb
2
(k + 1) = k
(k + 1)
2
kx
2
2

4ac = b
2
b
2
= b
2
0
Do đó phơng trình luôn có nghiệm. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phơng trình(1).
Ta có: (x
2
k x
1
)(x
1
k x
2
) = x
1
x
2
kx
2
2
- k
2
x


= (ac kb
2
+ 2kac + k
2
ac ): a
2
5
c
a
2
4
( 1)
k
k
+
2
1
1
k
k


ữ
+

2
2
2
c b c