Bài1(2):
Tìmtấtcảcácsốchínhphươngdạng .

Lờigiải:

Do làsốchínhphươngnên =k
2
.
Lạivì:10001≤ ≤99999,=>101≤k<317.Vậykphảilàsốcóbachữsố.Đặtk= .Cũng
từgiảthiếtbàitoán làsốchínhphươngnênathuộc{1,4,5,6,9}.
+)Nếua=1thì:100< <142(trongđóp=1hoặcp=9)
Vớip=1,tacócácsốthỏamãn điềukiệnbàitoánlà:101
2
=10201,111
2
=12321,121
2
=14641;
cònvớip=9tathấykhôngcósốnàothỏamãn điềukiện đềbài.
+)Nếua=4thì:200< <224(p=2hoặcp=8).Thửtrựctiếptacócácsốthỏamãnlà:
202
2
=40804,212
2
=44944.
+)Nếua=5thì:223< <245(trongđóp=5).Trongtrườnghợpnàykhôngcósốnàothỏa
mãn điềukiện đềbài.
+)Nếua=6thì:244< <265(p=4hoặcp=6).Chỉcómộtsốthỏamãntrườnghợpnàylà:
264
2
=69696.

(AMN)
=S
(ABL)
=>S
(OLN)
=S
(OMB)
=>S
(BLN)
=S
(NMB)
=>ML//BN
=>:OB/OL=BN/ML=AN/AL<AC/AL=2 (2)(địnhlíTalét)
Từ(1),(2)=>:
OB/OL<GB/GL=>OB/OL+1<GB/GL+1=>BL/OL<BL/GL
=>GL<OL=>GthuộcđoạnOL=>GthuộctamgiácAMN(đpcm).

Nhậnxét:

1)Bàinàycókhánhiềubạnthamgiagiải,tấtcảđềugiải đúng.Tuynhiên,nhiềubạngiảiquádàivà
phứctạp.
2)Ngoàicáchgiảitrêncònmộthướnggiảikhácnữa.
ĐặtPlàgiaođiểmcủaAGvàBC;QlàgiaođiểmcủaAPvàMN.
Tacóđẳngthứcquenthuộc:
AB/AM+AC/AN=2.AP/AQ (3)
Theogiảthiết:
S
(ABC)
/S
(AMN)

2
+x+1)(x
4
+x
2
+4) ≥4(x
2
+x+1)
=x
2
+2x+3+2x
2
+(x+1)
2
>x
2
+2x+3
Chứngtỏphươngtrìnhvônghiệm.

Bài5(2):
Tìmx,y đểbiểuthức:
đạtgiátrịnhỏnhất.

Lờigiải:

Tacó:
Dấu“=”xảy rakhivàchỉkhiy=1và3≥x≥1.

Bài1(3):
Tìmtấtcảcáccặpsốnguyênkhôngâm(x,y)saocho:x y=x

2002
+c
2003
.

Lờigiải:
Từ(1)=>a,b,c≤1.Trừtừngvếcủa(1)cho(2)tacó:a
2002
(1 a)+b
2002
(1 b)+c
2002
(1 c)=0
(3)
Vìa,b,c≤1nêna
2002
(1 a)≥0;b
2002
(1 b)≥0;c
2002
(1 c) ≥0.
Từđótacóa
2001
=a
2003
;b
2002
= b
2003
.

Cũngtừgiảthiết=>APvuônggócvớiAC;AQvuônggócvớiAB=> ÐBAC=ÐAQH; ÐACB
= ÐAHQ(cáccặpgóccóhaicạnhtươngứngvuônggóc)
=>ΔABCđồngdạngvới ΔQAH(g.g)=>AB/QA=BC/AH=AC/AH.
MặtkhácM,IlầnlượtlàtrungđiểmcủaBC,AHnên:
AM/QI=BC/AH=MC/IH=>AM/QI=MC/IH=AC/QH
=>ΔAMCđồngdạngvới ΔQIH(c.c.c)
=> ÐCAM= ÐHQIhay ÐEAK= ÐEQK=>tứgiácKAQEnộitiếp
=> ÐAKQ= ÐAEQ=90
o
(cùngchắncungAQ,BQvuônggócvớiAC)=>PQvuônggócvới
AM(đpcm).
Bài3(5):
SosánhAvàBbiết:
A=(2003
2002
+2002
2002
)
2003
B=(2003
2003
+2002
2003
)
2002

Lờigiải:
(củabạn VõVănTuấn)
Tasẽchứngminhbàitoántổngquát:
(a

+b
n
)
n
.a
n
=
[(a
n
+b
n
)a]
n
=(a
n
.a+b
n
.a)
n
≥(a
n
.a+b
n
.b)
n
=(a
n+1
+b
n+1
)

ÐFAB= ÐCAF  ÐCFA  ÐBAE=60
o
 30
o
 15
o
=15
o
.
XétΔFBA, ÐBFA=150
o
và ÐFAB=15
o
.=> ÐFBA=15
o
suraΔFBAcântạiF=>FB=FA=
FC.Từđó, ΔBFCvuôngcântạiF=> ÐBCF=45
o
(2)
Từ(1),(2)=> ÐACB= ÐACF+ ÐBCF=60
o
+45
o
=105
o
.
Vậy ÐC=105
o
.


BMC
=AB.AD 1/2AD.(AM+MB)=300(cm
2
)(3)
Mặtkhác,từ(1)và(2)tacó:
S
MRS
/S
MCD
=(MR/MD).(MS/MC)=7/10.7/16=47/160
Dođó,từ(3)tacó:
S
MRS
=300.(49/160)=91,875(cm
2
).

Bài5(8):
ChotamgiácABCkhôngvuông.CácđườngcaoBB’,CC’cắtnhautạiH.GọiKlàtrung
điểmcủaAH,IlàgiaođiểmcủaAHvàB’C’.Chứngminhrằng:IlàtrựctâmcủatamgiácKBC.

Lờigiải:

Trườnghợp1: TamgiácABCnhọn(hìnhvẽ).GọiLlàđiểm đốixứngcủaHquaBC.
Tacó: ÐBLC= ÐBHC= ÐB'HC'(đối đỉnh)=180
o
 ÐBAC(VìAC'HB'nộitiếp)
=> ÐBLC+ ÐBAC=180
o
=>tứgiácABLCnộitiếp

1016
+4
a
làsốchínhphương.

Lờigiải:
Taxétalàsốnguyênthỏamãna≥27vàTlàsốchínhphương.NhậnxétT=4
27
(1+
4
989
+4
a  27
)=(2
27
)
2
.(1+2
1978
+(2
a  27
)
2
),=>S=1+2
1978
+(2
a  27
)
2
làsốchínhphương.

1977
+1)
2
làsốchínhphương.
Vậysốnguyên alớnnhấtcầntìmlàa=2004

Bài4(11):
TínhgócAcủatamgiácABCbiếtrằng ÐO
1
OO
2
=90
o
vớiO
1
,O,O
2
lầnlượtlàtâm
củacácđườngtrònnộitiếp,ngoạitiếpvàbàngtiếp(tronggócA)củatamgiácABC.

Lờigiải:
GọiIlàgiaođiểmcủaAO
2
với đườngtròn(O).
Tathấy: ÐIBO
1
= ÐIO
1
B(=(ÐA+ ÐB)/2)=>ΔIBO
1

1
O
2
.
DođóOI=BI=OB=R(bánkínhcủađườngtròn(O))=>ΔBIOđều=> ÐBOI=60
o
,=> ÐBAI
=30
o
.Vậy ÐBAC=60
o
.

Bài5(11):
VềphíangoàicủatamgiácABCtadựngcáctamgiácvuôngđồngdạngABE,ACF(Ð
ABE= ÐACF=90
o
).
Chứngminhrằng:BF,CEvàđườngcaoAHcủatamgiácđồngquy.

Lờigiải:
Cách1:
(củabạnVõVănTuấn,7A5,THCSBuônHồ,KRôngBuk,ĐắkLắk)
Vì ΔBEA đồngdạngvới ΔCFAnênAB/EB=AC/FC.
TrêntiađốicủatiaAHlấy điểmKsaocho:AK=AB/EB.BC=AC/FC.CB(hình1)
VìAK=AB/EB.BCnênAK/AB=BC/BE(1)
Mặtkhác: ÐKAB= ÐCBE(2)(haigóccócạnhtươngứngvuônggócvàcùngtù)
Từ(1),(2)=>:ΔKABđồngdạngvới ΔCBE
=>:ÐABK= ÐBEC=> ÐABK+ ÐEBK= ÐBEC+ ÐEBK
=>:90

1
,n
2
,…,n
k
.
S=n
1
3
+n
2
3
+…+n
k
3
.TìmsốdưcủaphépchiaScho6.

Lờigiải:

Vìa
3
a=a.(a
2
1)=(a 1).a.(a+1)làtíchcủabasốnguyênliêntiếpnên a
3
achiahếtcho6với
mọisốnguyêna.
ĐặtN=n
1
+n

k
3
n
k
)chiahết
cho6=>SvàNcócùngsốdưkhichiacho6.
Mặtkhác,2003chiacho6dư5=>2003
2
chiacho6dư1=>N=2003
2004
=(2003
2
)
1002
chiacho6
dư1.Vậy:Schiacho6dư1.

Bài4(12):
ChohìnhthangvuôngABCDcóAD//BC,ABvuônggócvớiAD,AD=4cm,AB=
BC=2cm.Hãytìmmộtcon đườngngắnnhấtđitừđỉnhAtớimộtđiểmMtrêncạnhDC,rồitới
điểmNtrêncạnhAB,quaylạimộtđiểmPtrêncạnhDCvàtrởvềA.

Lờigiải:
BàitoánđưavềtìmgiátrịnhỏcủatổngT=AM+MN+NP+PA.
Tacầnkếtquảsau.
Bổđề: Trongmộthìnhthangvuông,độdài đoạnthẳngnốihai điểmnằmtrênhaicạnhbênkhông
nhỏthuađộdài đáynhỏ(cácbạntựchứngminhbổđềnày).
ápdụngbổđề,tacó:MN≥BC;NP≥BC=>MN+NP≥2BC(1).
DựngCHcuônggócvớiAD.NhậnthấytứgiácABCHlàhìnhvuông,=>:CH=AH=AB=BC=
2cm=>DH=2cm.

o
(180
o
 ÐCBA)45
o
=
45
o
+ ÐCBA= ÐFBC+ ÐCBA= ÐABFVậy: ÐKCF= ÐABF
Từ(2)=>:KC=1/2CD=AB(4)
Từ(3),(4)vàCF=BF(dotamgiácBCFvuôngcântạiF)tacó:ΔKCF=ΔABF (c.g.c)
=>FK=FA; ÐCFK= ÐAFB
=> ÐKFA= ÐCFB+ ÐCFK  ÐBFA= ÐCFB=90
0
=>ΔAKFvuôngcântạiF.
ápdụngbổđề(*)chotamgiácADKvàcáctamgiácADE,AKFvuôngcântạiE,Ftacó: ΔMEF
vuôngcântạiM.

Cách2
:(củabạnNguyễnTài Đại)
GọiKlàtrungđiểmcủaAB.Lấy điểmNnằmngoàihìnhthangABCDsaochoNK=AB;NK
vuônggócvớiAB(hình2).
Dễthấy:tamgiácMHC=tam giácBKN=>MC=NB;mặtkhác,AB//CDvàtamgiácBCF
vuôngcântạiFnên ΔFMC=ΔFNB(c.g.c)=>ΔMFNvuôngcântạiF(bạn đọctựchứngminh).
Tươngtựnhưvậy,ΔMENvuôngcântạiE.
=>MENFlàhìnhvuông=>tamgiácMEFvuôngcântạiM.
Bài1(14):
Chox;ythỏamãn:
Hãytínhgiátrịcủabiểuthứcsau:
T=x

saochoAB
1
=BC
1
=CA
1
.Chứngminhrằngnếu∆A
1
B
1
C
1
đềuthì∆ABCcũngđều.

Lờigiải:

Giảsử∆A
1
B
1
C
1
đều.Khôngmấttínhtổngquáttacóthểgiảthiết:
Khiđó:CB
1
≥AC
1
≥BA
1
hayCA ≥AB≥BC(doAB

:ChotamgiácABCcóAB>AC.TrêncáccạnhAB,AClấycácđiểmN,Mtươngứng,
saochoAN=AM.GọiOlàgiaođiểmcủaBM,CN.
Chứngminhrằng:OB>OC.

Lờigiải:
(củabạn DươngCaoNguyên)
VìAB>AC>AM=ANnêntồntại điểmKthuộcđoạnBNsaocho:AK=AC.GọiLlàgiao
điểmcủaKMvàCN.VìKthuộcđoạnBNnênLthuộcđoạnON=> ÐOMN> ÐLMN.
Mặtkhác,dễthấytamgiácLMNcântạiL => ÐLMN= ÐLNM.
Vậy: ÐOMN> ÐONM=>ON>OM (1).
∆AKM=∆ACN(c.g.c)=>KM=CN (2).
VìAK=ACnêntamgiácAKCcântạiA
=> ÐAKC<90
o
=> ÐBKM>90
o
=> ÐBKM> ÐKMB=>BM>KM (3).
Từ(2)và(3)suyra:BM>CN (4)
Từ(1)và(4)suyra:BM OM>CN ON=>OB>OC.