TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
KHOA TOÁN - TIN HỌC
Y  Z
ĐỖ NGUYÊN SƠN - TRỊNH ĐỨC TÀI
TOÁN CAO CẤP C1
(Bài Giảng Tóm Tắt)
7. Phânthức 27
7.1 Tr-ờng các phân thức 27
7.2 Phân tíchphâh thức 28
II. Đại số tuyến tính
1. Matrận 31
1.1 Địnhnghĩa matrận 31
1.2 Cácma trậnđặc biệt 31
1.3 Cácphép toán trênmatrận 33
1.4 Biếnđổi sơcấp trên matrận 36
2. Địnhthức 37
2.1 Hoán vị 37
2.2 Nghịch thế-Ký số 37
2.3 Địnhnghĩa địnhthức 38
2.4 Cáctính chấtcủa địnhthức 40
2.5 Các ph-ơng pháp tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 ádụng định thức tính ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Hạng của ma trận 47
2.8 Hệ ph-ơngtrìnhtuyếntính 48
3. Khônggianvector 53
3.1 Địnhnghĩa vàvídụ 53
3.2 Khônggian vectorcon 55
3.3 Không gian con sinh bởi một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Cơsở- Số chiều-Tọađộ 58
4. Tổng, tích, th-ơng các không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1 Tổng các không gian con- Tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
4.2 Tích cáckhônggian vector 62
4.3 Khônggian th-ơng 63
5. ánhxạ tuyếntính 64
5.1 ánhxạ tuyếntính 64
5.2 ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Cácphép toán 89
3.3 Các loại hàm số với tính chất đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Hàm hợp, hàm ng-ợc 91
3.5 Cáchàm sơ cấp 92
4. Giớihạnhàmsố 93
4.1 Kháiniệmgiới hạnhàmsố 93
4.2 Các tính chất và qui tắc tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Giới hạnmộtphía 97
4.4 Giới hạn vô cùng, giới hạn ở vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5 Vô cùngbé, vôcùng lớn 98
5. Hàmliêntục 99
5.1 Kháiniệmhàm liêntục 100
5.2 Liên tục một phía - Điểm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Các tính chất của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6. Đạohàm 102
6.1 Kháiniệmđạo hàm 102
6.2 ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 Các tính chất và qui tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
7. Vi phân 106
7.1 Địnhnghĩa viphân 106
7.2 ứng dụngcủa viphân 106
7.3 Cácqui tắctínhviphân 107
7.4 Đạo hàm và viphâncấp cao 107
8. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.1 Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.2 Khai triểnTaylor 112
9. ứngdụngđạo hàm đểkhảo sáthàm số 113
9.1 Tínhđơn điệu-Cực trị 113
9.2 Tínhlồi, lõm, điểmuốn 115
IV. Phép tính tích phân hàm một biến

1.2 Tích vô h-ớng, chuẩn, khoảng cách trong R
n
142
1.3 Dãy trong R
n
142
1.4 Các tập hợp trong R
n
144
2. Hàmnhiềubiến 146
2.1 Hàm nhiều biến 146
2.2 Giới hạnhàmnhiều biến 147
2.3 Tínhliên tục 151
3. Đạohàmvàviphân 154
3.1 Đạo hàm riêng 154
3.2 Sự khảvi 155
3.3 Cáccông thứccơ bản 158
3.4 ý nghĩacủa sự khảvi 159
3.5 Định lý giá trị trung bình, Định lý phần gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4. Đạohàmvàviphân cấp cao 162
4.1 Đạo hàm riêngcấp cao 162
4.2 Côngthức Taylor 165
5. Hàmng-ợc,hàmẩn 167
5.1 Định lý hàm ng-ợc địa ph-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
5.2 Địnhlý hàmẩn 171
6. Cựctrịhàmnhiềubiến 174
6.1 Cực trị 174
6.2 Cực trịcóđiềukiện 176
VI. Tích phân bội
1. Tíchphântrênhìnhhộp 181

1 Tập hợp
1.1 Tập hợp - Tập con - Tập bằng nhau
Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy. Tập hợp đ-ợc mô tả nh- một toàn thể
nào đó bao gồm các đối t-ợng có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất định.
Các đối t-ợng lập nên tập hợp gọi là phần tử.
Có hai cách để xác định một tập hợp. Một là liệt kê tất cả các phần tử của nó
A = {a
1
,a
2
, ,a
n
},
hai là mô tả đặc tính của các phần tử thuộc tập hợp
A = {a | a có tính chất E}.
Nếu a là một phần tử của của tập hợp A, thì ta viết a A. Nếu a không là một
phần tử của của tập hợp A, thì ta viết a/ A. Tập hợp không chứa phần tử nào
gọi là tập rỗng, ký hiệu là .
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là các phần tử của tập hợp X, thì ta nói A là
tập con của X, ký hiệu A X. Rõ ràng ta có X với mọi tập hợp X. Các
tập con của X lập thành một tập hợp , ký hiệu 2
X
, và gọi là tập hợp các tập con
của X.
Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B, nếu A B và B A.
Nếu A B và A = B, thì ta nói A là tập con thực sự cuả B, khi đó ta viết
A B.
1.2 Các phép toán trên tập hợp
Định nghĩa 1. Hợp của hai tập hợp A và B , ký hiệu A B, là tập hợp gồm các
phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.

giá trị của ánh xạ f. Một ánh xạ th-ờng đ-ợc viết nh- sau
f : X Y
x y = f(x).
3
Hai ánh xạ f và g gọi là bằng nhau, ký hiệu f = g, nếu chúng có cùng tập
nguồn X và f(x)=g(x) với mọi x X.
Ví dụ. a) T-ơng ứng f : R R, x
3

x, là một ánh xạ.
b) T-ơng ứng Id
X
: X X, x x, là một ánh xạ gọi là ánh xạ đồng nhất
trên X.
c) Cho ánh xạ f : X Y và U X. Khi đó t-ơng ứng f |
U
: Y xác định
bởi f |
U
(x)=f(x) với mọi x U là một ánh xạ, gọi là hạn chế của ánh xạ f
lên bộ phận U.
2.2 ảnh và Nghịch ảnh
Định nghĩa 3. Cho ánh xạ f : X Y và U X, V Y là các tập con. Khi
đó tập hợp
f(U)={f(x) | x U}
gọi là ảnh của tập U qua ánh xạ f, và tập hợp
f
1
(V )={x X | f(x) V }
gọi là nghịch ảnh của tập V qua ánh xạ f.

= (x A : f(x )=y) và (x B : f(x)=y)
= y f(A) và y f(B)
= y f(A) f(B).
Từ đó suy ra f(A B) f(A) f(B). T-ơng tự, ta có
x f
1
(U V ) f(x) U V
f(x) U và f(x) V
x f
1
(U) và x f
1
(V )
x f
1
(U) f
1
(V ).
4
Vậy f
1
(A B )=f
1
(A) f
1
(B).
Nhận xét. Đẳng thức f(A B)=f(A) f(B) nói chung không đúng. Chẳng
hạn, với ánh xạ f : R [1, 1] , f(x) = sinx,vàA =[0,/2], B =[/4,].
2.3 Đơn ánh - Toàn ánh - Song ánh
Định nghĩa 4. Cho ánh xạ f : X Y . ánh xạ f gọi là đơn ánh nếu với mọi

thực 1, 1, là tạo ảnh của 1.
2.4 Các phép toán trên ánh xạ
2.4.1 Hợp hai ánh xạ
Định nghĩa 5. Cho hai ánh xạ f : X Y và g : Y Z. Hợp của f và g,ký
hiệu g f, là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi g f(x)=g(f(x)).
Ví dụ. Với f : R R, f(x)=x
2
và g : R R, g(x)=x +2, ta có
(g f)(x)=g(f(x)) = g(x
2
)=x
2
+2,
(f g)(x)=f(g (x )) = f(x +2)=(x +2)
2
.
Nhận xét. Nói chung g f = f g.
Mệnh đề 3. Cho các ánh xạ f : X Y , f : Y Z, h: Z T. Khi đó
1) f Id
X
= Id
Y
f = f,
2) h (g f)=(h g) f.
Chứng minh. 1) là hiển nhiên. 2) suy ra từ
h (g f)(x)=h((g f)(x)) = h(g(f(x))) = (h g)(f(x)) = (h g) f(x).
5
2.4.2
ánh xạ ng-ợc
Định nghĩa 6. ánh xạ f : X Y gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ánh xạ

= g

.
Mệnh đề 4. ánh xạ f : X Y khả nghịch khi và chỉ khi f là song ánh. Khi
đó f
1
: Y X đ-ợc xác định bởi
x = f
1
(y) y = f(x).
Chứng minh. Giả sử f có ánh xạ ng-ợc là f
1
: Y X. f là đơn ánh vì
với mọi x, x

X: f(x)=f(x

)= f
1
(f(x)) = f
1
(f(x

))
= (f
1
f)(x)=(f
1
f)(x


b) Ký hiệu R
>0
là tập các số thực d-ơng. Khi đó ánh xạ f : R R
>0
,
f(x)=e
x
, có ánh xạ ng-ợc là f
1
(x)=lnx. Vì ta có
y =lnx x = e
y
.
6
Mệnh đề 5. Cho f : X Y , g : Y Z, là các song ánh. Khi đó f
1
và g f
cũng là song ánh và ta có
1) (f
1
)
1
= f.
2) (g f)
1
= f
1
g
1
.


3 Quan hệ trên một tập hợp
3.1 Quan hệ hai ngôi
Định nghĩa 7. Quan hệ (hai ngôi) trên tập X đ-ợc định nghĩa là một tập con
R của tích trực tiếp X ìX. Nếu cặp phần tử (x, y) Rthì ta nói x có quan hệ
R với y và ký hiệu là xRy.
Ví dụ. a) Trên tập X bất kỳ ta có quan hệ bằng nhau
R = {(x, y) X ìX | x = y} = {(x, x) X ì X | x X}
b) Cho X là tập bất kỳ. Trên 2
X
ta có quan hệ bao hàm
R = {(A, B) 2
X
ì 2
X
| A B}
3.2 Quan hệ t-ơng đ-ơng
Định nghĩa 8. Cho X là một tập hợp. Một quan hệ R trên X gọi là quan hệ
t-ơng đ-ơng nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các tính chất sau đây
1) Phản xạ: xRx, với mọi x X.
2) Đối xứng: Nếu xRy thì yRx.
3) Bắc cầu: Nếu xRy và yRz thì xRz.
Với mỗi x X tập con [x]
R
:= {y X | yRx} gọi là lớp t-ơng đ-ơng của x
(theo quan hệ t-ơng đ-ơng R). Tập tất cả các lớp t-ơng đ-ơng gọi là tập th-ơng
của X đối với quan hệ t-ơng đ-ơng R, ký hiệu là
X/R := {[x]
R
| x X}.

Định nghĩa 9. Cho X là một tập hợp. Một quan hệ R trên X gọi là quan hệ
thứ tự nếu và chỉ nếu nó thoả mãn các tính chất sau đây
1) Phản xạ: xRx, với mọi x X.
2) Phản đối xứ ng: Nếu xRy và yRx thì x = y .
3) Bắc cầu: Nếu xRy và yRz thì xRz.
8
Một tập hợp X mà trên đó có trang bị một quan hệ thứ tự R gọi là tập sắp thứ
tự hay tập đ-ợc sắp. Tập đ-ợc sắp th-ờng đ-ợc viết là (X, R).
Ng-ời ta th-ờng sử dụng dấu để ký hiệu một quan hệ thứ tự trên X. Khi đó
x y đ-ợc đọc là x bé hơn hoặc bằng y. Nếu x y và x = y thì ta viết x<y
và đọc là x bé hơn y.
Ví dụ. a) Quan hệ bé hơn hoặc bằng thông th-ờng trên tập số thực là một quan
hệ thứ tự.
b) Cho X là một tập hợp. Quan hệ bao hàm trên tập hợp 2
X
là một quan hệ
thứ tự.
c) Quan hệ chia hết x | y là một quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên N.
Trong ví dụ a) hai phần tử x, y bất kỳ ta luôn luôn so sánh đ-ợc, tức là luôn luôn
có x y hoặc y x. Một quan hệ thứ tự trên tập X = mà mọi cặp phần tử
của X đều so sánh đ-ợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần. Trong ví dụ c) không
phải hai phần tử nào cũng so sánh đ-ợc, chẳng hạn 2 và 3, nếu X có nhiều hơn
một phần tử thì điều này cũng xảy ra trong ví dụ b). Một quan hệ thứ tự không
toàn phần gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.
4 Các cấu trúc đại số
4.1 Phép toán hai ngôi
4.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 10. Cho X và Y là hai tập khác rỗng. Một ánh xạ f : X ìX X
đ-ợc gọi là một phép toán (hai ngôi) trên X. Phần tử f(x, y) gọi là cái hợp
thành của x và y.

tính chất phân phối đối với .
Ví dụ. Trên tập số tự nhiên N, phép cộng và phép nhân thông th-ờng có tính giao
hoán, kết hợp, phép nhân phân phối đối với phép cộng. Phép toán (m, n) m
n
không giao hoán cũng không kết hợp.
4.1.3 Các phần tử đặc biệt đối với phép toán hai ngôi
Phần tử đơn vị. Cho : X ìX X là một phép toán trên X. Phần tử e của X
gọi là phần tử đơn vị đối với phép toán nếu với mọi x X đều có
e x = x e = x.
Phần tử khả nghịch. Cho : X ìX X là một phép toán trên X và e là phần
tử đơn vị của X đối với phép toán . Ta nói phần tử a X là khả nghịch nếu
tồn tại một phần tử a

X sao cho
a

a = a a

= e.
10
Khi đó phần tử a

gọi là phần tử nghịch đảo của a.
Ng-ời ta hay gọi phần tử đơn vị đối với phép toán cộng là phần tử không,kí
hiệu 0, và gọi phần tử nghịch đảo của x là phần tử đối của x, kí hiệu x. Nếu
phép toán đ-ợc viết theo lối nhân, thì phần tử đơn vị th-ờng đ-ợc kí hiệu là 1,và
phần tử nghịch đảo của x sẽ đ-ợc kí hiệu là x
1
.
Ví dụ. a) Trên tập 2

4.2.2 Vành
Định nghĩa 12. Một vành là một bộ ba (R, +, ã), trong đó R là một tập hợp
không rỗng, còn + và ã là các phép toán trên R sao cho: (R, +) là một nhóm
giao hoán, phép ã có tính kết hợp và phân phối đối với phép cộng.
Một vành đ-ợc gọi là vành giao hoán nếu phép toán ã có tính giao hoán. Một
vành đ-ợc gọi là vành có đơn vị nếu phép toán ã có đơn vị.
11
Ví dụ. 1) ( Z, +, ã) với phép cộng và phép nhân các số nguyên thông th-ờng là
một vành giao hoán gọi là vành số nguyên.
2) Với số nguyên d-ơng p cho tr-ớc đặt
[m]
p
:= {n Z | n = m + pt, t Z} Z
p
:= {[m]
p
,m Z}.
Dễ dàng chứng minh đ-ợc rằng Z
p
là tập hữu hạn gồm p phần tử
Z
p
:= {[0]
p
, [1]
p
, ,[p 1]
p
}.
Trên Z

2

3

0

0

1

2

3

1

1

2

3

0

2

2

3



0

1

0

1

2

3

2

0

2

0

2

3

0

3

2

)
(x
1
,y
1
) ã (x
2
,y
2
)=(x
1
x
2
y
1
y
2
,x
1
y
2
+ x
2
y
1
).
12
Khi đó (C, +, ã) là một tr-ờng gọi là tr-ờng số phức.
Nhận xét. Với kí hiệu i =(0, 1) C,tacói
2

2
i
y
x
2
+ y
2
.
Nhận xét. Cộng, trừ (tức cộng với số đối), nhân , chia (tức là nhân với số nghịch
đảo) các số phức d-ới dạng đại số nh- số thực với chú ý là i
2
=1.
5.2.2 Dạng l-ợng giác của số phức
Có một sự t-ơng ứng một-một giữa tập tất cả các số phức z =(a, b) với tập các
điểm M(a, b) hay vector

OM =(a, b) trong mặt phẳng toạ độ Descartes Oxy còn
gọi là mặt phẳng phức, với

e
1
=(1, 0),

e
2
=(0, 1) là hai vector cơ sở, trục
hoành gọi là trục thực, trục tung gọi là trục ảo (H.1). Trong cách biểu diễn này
phép cộng các số phức đ-ợc biểu thị bởi phép cộng các vector hình học.
13


OM. Khi đó ta có các liên hệ sau

a = r sin
b = r cos



r =

a
2
+ b
2
tg =
b
a
Do đó ta có một biểu diễn khác của số phức z =(a, b) nh- sau
z = r(cos + i sin ).
Biểu thức z = r(cos + i sin ) gọi là dạng l-ợng giác của số phức z. Số thực
r gọi là modul của số phức z, ký hiệu là | z |, còn gọi là argument của z,ký
hiệu là Argz. Tất nhiên có vô số argument sai khác nhau k2, k Z. Argument
của nằm trong khoảng (,] gọi là giá trị chính của Argz, kí hiệu là argz.
Nh- vậy ta có
Argz = argz + k2.
Ví dụ. z =1+i

3 = 2(cos

3
+ i sin

.
b)

r(cos + i sin)

n
= r
n
(cos n + i sinn) (Công thức Moivre).
Chứng minh. a) Giả sử z
1
= r
1
(cos
1
+ i sin
1
), z
2
= r
2
(cos
2
+ i sin
2
). Khi
đó
z
1
,z

)+i sin(
1
+
2
)),
14
Từ đó ta có khẳng định a). Khẳng định b) suy ra từ khẳng định a).
Nhận xét. Mệnh đề trên cho thấy về mặt hình học phép nhân số phức z với số
phức w là hợp của phép co dãn vector w theo tỉ số | z | và phép quay góc argz
(H.2).


O



w





zw

argz
H.2
5.2.3 Phép khai căn số phức
Định nghĩa 14. Cho số phức z và n N. Một căn bậc n của z, ký hiệu
n


r
n = + k2
Vậy ph-ơng trình có đúng n nghiệm
w
k
=
n

r(cos
+ k2
n
+ i sin
+ k2
n
); k =0, 1, ,n 1.
Ví dụ. a)

1=

cos + i sin = {cos
+ k2
2
+ i sin
+ k2
2
,k =0, 1} =
{i, i }.
b)
n


i=0
a
i
x
i
= a
0
+ a
1
x + ããã+ a
n
x
n
,
trong đó a
0
,a
1
, ,a
n
k gọi là các hệ tử của P(x). Trong tr-ờng hợp
k = Q, R, C, a
0
,a
1
, ,a
n
gọi là hệ số.
Hai đa thức gọi là bằng nhau nếu các hệ tử cùng bậc của chúng bằng nhau. Nếu
a

)+(

i
b
i
x
i
)=

i
(a
i
+ b
i
)x
i
(

i
a
i
x
i
)(

j
b
j
x
j

b
i
x
i
,
16
C =

i
c
i
x
i
. Khi đó hệ tử mang chỉ số k trong tích (AB)C là

i+j=k
(

m+n=i
a
m
b
n
)c
j
=

m+n+j=k
a
m

Định lý 1. Cho hai đa thức F (x) ,G(x) k[x] với G(x) =0. Khi đó tồn tại duy
nhất một cặp đa thức Q(x),R(x) k[x] sao cho
F (x)=G(x)Q(x)+R(x) với R(x)=0 hoặc degR(x) < degG(x) .
Chứng minh. . Sự tồn tại. (Thuật toán chia Euclide)
Nếu F =0, thì chọn Q =0và R =0. Nếu F =0và degF<degG, thì chọn
Q =0, R = F. Ta chỉ còn chứng minh cho tr-ờng hợp : F =0và degF degG.
B-ớc 1: Đặt R
1
= F
lcF
lcG
x
degFdegG
G ( degR
1
< degF).
. Nếu degR
1
< degG, thì đã đã chứng minh xong
Q =
lcF
lcG
x
degFdegG
, R = R
1
.
. Nếu degR
1
degG, thì đi đến b-ớc 2.

degR
1
degG
, R = R
2
.
17
. Nếu degR
2
degG thì đi đến b-ớc 3.
Cứ tiếp tục và qúa trình sẽ dừng lại sau một số hữu hạn b-ớc vì nó gắn liền với
một dãy giảm các số tự nhiên
< degR
3
< degR
2
< degR
1
< degF.
Tính duy nhất. Giả sử có một cặp đa thức Q

(x),R

(x) khác thoả tính chất đã
nêu trong Định lý. Khi đó
G(x)Q(x)+R(x)=G(x)Q

(x)+R

(x) hay G(x)(Q(x)Q

(x),
ký hiệu C(x) = gcd(F
1
(x),F
2
(x)), nếu và chỉ nếu
a) C(x) | F
1
(x) và C(x) | F
2
(x),
b) nếu D(x) | F
1
(x) và D(x) | F
2
(x) thì D(x) | C(x).
Ví dụ. Tìm th-ơng và phần d- của phép chia 2x
4
3x
3
+4x
2
5x +6 cho
x
2
3x +1. Thuật toán chia đ-ợc thực hiện theo sơ đồ sau
2x
4
3x
3

8x +6
11x
2
33x +11
R
3
= 25x 5
Từ đó ta có 2x
4
3x
3
+4x
2
5x +6= (x
2
3x + 1)(2x
2
+3x + 11) 25x 5.