TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
KHOA TOÁN - TIN HỌC
Y  Z
ĐỖ NGUYÊN SƠN - TRỊNH ĐỨC TÀI
TOÁN CAO CẤP B1
(Bài Giảng Tóm Tắt)
7. Phânthức 27
7.1 Tr-ờng các phân thức 27
7.2 Phân tíchphâh thức 28
II. Ma trận và định thức
1. Matrận 31
1.1 Địnhnghĩa matrận 31
1.2 Cácma trậnđặc biệt 31
1.3 Cácphép toán trênmatrận 33
1.4 Biếnđổi sơcấp trên matrận 36
2. Địnhthức 37
2.1 Hoán vị 37
2.2 Nghịch thế-Ký số 37
2.3 Địnhnghĩa địnhthức 38
2.4 Cáctính chấtcủa địnhthức 40
2.5 Các ph-ơng pháp tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 ádụng định thức tính ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Hạng của ma trận 47
2.8 Hệ ph-ơngtrìnhtuyếntính 48
III. Không gian vector
1. Khônggianvector 55
1.1 Địnhnghĩa vàvídụ 55
1.2 Khônggian vectorcon 57
1.3 Không gian con sinh bởi một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4 Cơsở- Số chiều-Tọađộ 58
2. Tổng, tích, th-ơng các không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1 Tổng các không gian con- Tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
2.2 Tích cáckhônggian vector 64
2.3 Khônggian th-ơng 65
3. ánhxạ tuyếntính 66
3.1 ánhxạ tuyếntính 66

3.1 Kháiniệmhàm số 91
3.2 Cácphép toán 92
3.3 Các loại hàm số với tính chất đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4 Hàm hợp, hàm ng-ợc 93
3.5 Cáchàm sơ cấp 94
4. Giớihạnhàmsố 95
4.1 Kháiniệmgiới hạnhàmsố 95
4.2 Các tính chất và qui tắc tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Giới hạnmộtphía 99
4.4 Giới hạn vô cùng, giới hạn ở vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5 Vô cùngbé, vôcùng lớn 100
5. Hàmliêntục 101
5.1 Kháiniệmhàm liêntục 102
5.2 Liên tục một phía - Điểm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 Các tính chất của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6. Đạohàm 104
6.1 Kháiniệmđạo hàm 104
6.2 ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3 Các tính chất và qui tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
7. Vi phân 108
7.1 Địnhnghĩa viphân 108
7.2 ứng dụngcủa viphân 108
7.3 Cácqui tắctínhviphân 109
7.4 Đạo hàm và viphâncấp cao 109
8. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
8.1 Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2 Khai triểnTaylor 114
9. ứngdụngđạo hàm đểkhảo sáthàm số 115
9.1 Tínhđơn điệu-Cực trị 1i5
9.2 Tínhlồi, lõm, điểmuốn 117

2.2 Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi d-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3. Chuỗivớidấubấtkỳ 150
3.1 Chuỗiđan dấu 150
3.2 Chuỗihộitụ tuyệtđối 150
4. Chuỗihàm 151
4.1 Khái niệm chuỗi hàm, sự hội tụ, hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2 Các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5. Chuỗilỹthừa 154
5.1 Khái niệm chuỗi luỹ thừa, bán kính hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2 Các tính chất của chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4 Khai triển một số hàm sơ cấp thành chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6. KhaitriểnFourier 158
6.1 Chuỗil-ợnggiác 158
6.2 Khai triển Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
6.3 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn có chu kỳ khác 2 160
6.4 Thác triểntuầnhoàn 160
6.5 Tích phânFourier 161
1
I. Một số kiến thức cơ bản
1 Tập hợp
1.1 Tập hợp - Tập con - Tập bằng nhau
Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy. Tập hợp đ-ợc mô tả nh- một toàn thể
nào đó bao gồm các đối t-ợng có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất định.
Các đối t-ợng lập nên tập hợp gọi là phần tử.
Có hai cách để xác định một tập hợp. Một là liệt kê tất cả các phần tử của nó
A = {a
1
,a
2

2) Nếu A B và B C, thì A C.
3) (A B) = (B A), (A B) = (B A).
4) (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C).
5) A (B C)=(A B) (A C), A (B C)=(A B) (A C).
6) Qui tắc De Morgan
X \(A B)=(X \A) (X \B),X\(A B)=(X \ A) (X \B).
Chứng minh. Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa các phép toán trên
tập hợp. Ta chứng minh, chẳng hạn, công thức De Morgan. Thật vậy ta có
x X \ ( A B) x X và x/ ( A B)
x X và (x/ A và x/ B)
(x X và x/ A) và (x X và x/ B)
x ( X \A) và x (X \B)
x ( X \A) (X \B).

2 ánh xạ
2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 2. Cho hai tập hợp X và Y . Một ánh xạ f từ X đến Y là một qui
tắc cho t-ơng ứng mỗi phần tử x X với duy nhất một phần tử y Y . Phần tử
y gọi là ảnh của x, ký hiệu là f(x),vàx đ-ợc gọi là tạo ảnh của y. Tập hợp X
đ-ợc gọi là tập nguồn hay miền xác định, còn tập Y gọi là tập đích hay miền
giá trị của ánh xạ f. Một ánh xạ th-ờng đ-ợc viết nh- sau
f : X Y
x y = f(x).
3
Hai ánh xạ f và g gọi là bằng nhau, ký hiệu f = g, nếu chúng có cùng tập
nguồn X và f(x)=g( x) với mọi x X.
Ví dụ. a) T-ơng ứng f : R R, x
3

x, là một ánh xạ.

1
(V ).
3) f(A B)=f(A) f(B), f(A B) f(A) f(B).
4) f
1
(U V )=f
1
(U) f
1
(V ), f
1
(U V )=f
1
(U) f
1
(V ).
Chứng minh. Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh,
chẳng hạn, các công thức thứ hai trong 3) và 4). Thật vậy, ta có
y f(A B)=x (A B):f(x)=y
= (x A và x B):f(x)=y
= (x A : f(x )=y) và (x B : f(x)=y)
= y f(A) và y f(B)
= y f(A) f(B).
Từ đó suy ra f(A B) f(A) f(B). T-ơng tự, ta có
x f
1
(U V ) f(x) U V
f(x) U và f(x) V
x f
1

= x
2
. Nh- vậy, với mỗi phần tử
y Y tồn tại không quá một phần tử x X sao cho y = f(x).
ánh xạ f gọi là toàn ánh nếu f(X)=Y , tức là, với mỗi phần tử y Y tồn tại
ít nhất một phần tử x X sao cho y = f(x).
ánh xạ f gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh. Tức là, với mỗi phần
tử y Y tồn tại đúng một phần tử x X sao cho y = f(x).
Ví dụ. a) ánh xạ f : R R, x x
3
, là một song ánh. Thật vậy, với mỗi
y R, ph-ơng trình y = x
3
có duy nhất nghiệm x =
3

y.
b) ánh xạ f : R R, x x
2
, không phải là đơn ánh, vì với 1 R có hai số
thực 1, 1, là tạo ảnh của 1.
2.4 Các phép toán trên ánh xạ
2.4.1 Hợp hai ánh xạ
Định nghĩa 5. Cho hai ánh xạ f : X Y và g : Y Z. Hợp của f và g,ký
hiệu g f, là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi g f(x)=g(f(x)).
Ví dụ. Với f : R R, f(x)=x
2
và g : R R, g(x)=x +2, ta có
(g f)(x)=g(f(x)) = g(x
2

sử f có hai ánh xạ ng-ợc là g,g

: Y X. Khi đó ta có
g f = Id
X
và f g

= Id
Y
.
Từ đó suy ra g = g Id
Y
= g (f g

)=(g f) g

= Id
X
g

= g

.
Mệnh đề 4. ánh xạ f : X Y khả nghịch khi và chỉ khi f là song ánh. Khi
đó f
1
: Y X đ-ợc xác định bởi
x = f
1
(y) y = f(x).

.
Bây giờ, giả sử y là một phần tử bất kỳ cuả Y . Khi đó tồn tại x = f
1
(y) sao
cho f(x)=f(f
1
(y)) = y. Vậy f là toàn ánh. Suy ra f là song ánh.
Ng-ợc lại, nếu f : X Y là một song ánh thì với mỗi y Y có duy nhất x X
sao cho y = f(x). Điều này cho phép ta xác định một ánh xạ g : Y X bởi
x = g(y) y = f(x). Ta dễ dàng kiểm tra rằng (g f)=Id
X
và (f g)=Id
Y
.
Vậy g là ánh xạ ng-ợc cuả f.
Ví dụ. a) ánh xạ f :[/2,/2] [1, 1], f(x)=sinx, là song ánh. ánh xạ
ng-ợc của f đ-ợc ký hiệu là f
1
(x)=arcsinx, tức là ta có
y = arcsinx x = sin y.
b) Ký hiệu R
>0
là tập các số thực d-ơng. Khi đó ánh xạ f : R R
>0
,
f(x)=e
x
, có ánh xạ ng-ợc là f
1
(x)=lnx. Vì ta có

) g
1
= g g
1
= Id
Z
,
(f
1
g
1
) (g f)=f
1
( g
1
g) f = f
1
f = Id
X
.

3 Quan hệ trên một tập hợp
3.1 Quan hệ hai ngôi
Định nghĩa 7. Quan hệ (hai ngôi) trên tập X đ-ợc định nghĩa là một tập con
R của tích trực tiếp X ìX. Nếu cặp phần tử (x, y) Rthì ta nói x có quan hệ
R với y và ký hiệu là xRy.
Ví dụ. a) Trên tập X bất kỳ ta có quan hệ bằng nhau
R = {(x, y) X ìX | x = y} = {(x, x) X ì X | x X}
b) Cho X là tập bất kỳ. Trên 2
X

X
, R(Id
X
) là
quan hệ bằng nhau trên tập X.
b) Xét V là tập hợp các vector hình học. Trên V cho một quan hệ xác định bởi
xRy : x = y.
Khi đó R là một quan hệ t-ơng đ-ơng và tập th-ơng X/R chính là tập các vector
tự do.
c) Cho n là một số tự nhiên. Trên tập các số nguyên Z xác định quan hệ đồng
d- modulo n nh- sau
x y mod n x y chia hết cho n.
Dễ kiểm tra rằng đây là một quan hệ t-ơng đ-ơng. Lớp t-ơng đ-ơng của m là
tập con
[m]={m + nk | k Z}.
Tập th-ong của Z đối với quan hệ đồng d- modulo n, th-ờng đ-ợc ký hiệu là Z
n
hay Z/n, gồm n phần tử
Z/n = {[0], [1], ,[n 1]}.
3.3 Quan hệ thứ tự
Định nghĩa 9. Cho X là một tập hợp. Một quan hệ R trên X gọi là quan hệ
thứ tự nếu và chỉ nếu nó thoả mãn các tính chất sau đây
1) Phản xạ: xRx, với mọi x X.
2) Phản đối xứ ng: Nếu xRy và yRx thì x = y .
3) Bắc cầu: Nếu xRy và yRz thì xRz.
8
Một tập hợp X mà trên đó có trang bị một quan hệ thứ tự R gọi là tập sắp thứ
tự hay tập đ-ợc sắp. Tập đ-ợc sắp th-ờng đ-ợc viết là (X, R).
Ng-ời ta th-ờng sử dụng dấu để ký hiệu một quan hệ thứ tự trên X. Khi đó
x y đ-ợc đọc là x bé hơn hoặc bằng y. Nếu x y và x = y thì ta viết x<y

không phải là một phép toán trên Z vì nói chung x
y
không thuộc Z.
b) Các t-ơng ứng ( A, B) A B, (A, B) A B là phép toán trên tập các
tập con 2
X
.
c) T-ơng ứng (f, g) g f là phép toán trên Map(X)={ánh xạ f : X X}.
4.1.2 Các tính chất của phép toán hai ngôi
Tính giao hoán. Phép toán : X ì X X gọi là giao hoán nếu
a b = b a với mọi a,b X.
Tính kết hợp. Phép toán : X ì X X gọi là kết hợp nếu
(a b) c = a (b c) với mọi a,b, c X.
Tính phân phối. Giả sử , : X ì X X là hai phép toán trên X. Phép toán
gọi là phân phối bên trái đối với phép toán nếu với mọi a, b, c X đều có
a (bc)=(a b)(a c).
T-ơng tự, phép toán gọi là phân phối bên phải đối với phép toán nếu với
mọi a, b, c X đều có
(bc) a =(b a)(c a).
Nếu vừa phân phối trái vừa phân phối phải đối với thì ta nói phép toán có
tính chất phân phối đối với .
Ví dụ. Trên tập số tự nhiên N, phép cộng và phép nhân thông th-ờng có tính giao
hoán, kết hợp, phép nhân phân phối đối với phép cộng. Phép toán (m, n) m
n
không giao hoán cũng không kết hợp.
4.1.3 Các phần tử đặc biệt đối với phép toán hai ngôi
Phần tử đơn vị. Cho : X ìX X là một phép toán trên X. Phần tử e của X
gọi là phần tử đơn vị đối với phép toán nếu với mọi x X đều có
e x = x e = x.
Phần tử khả nghịch. Cho : X ìX X là một phép toán trên X và e là phần

.
4.2 Các cấu trúc đại số cơ bản
4.2.1 Nhóm
Định nghĩa 11. Một nhóm là một cặp (G, ), trong đó G là một tập hợp không
rỗng, còn là phép toán hai ngôi trên G có tính kết hợp, có phần tử đơn vị và
mọi phần tử của G đều khả nghịch.
Một nhóm đ-ợc gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel nếu phép toán trên nó
có tính giao hoán.
Ví dụ. 1) (Z, +), (Q, +), (R, +)với phép cộng các số thông th-ờng là các nhóm
giao hoán, gọi là nhóm cộng các số nguyên, số hữu tỉ, số thực .
2) (Q \{0}, ã), (R \{0}, ã) với phép nhân thông th-ờng là các nhóm giao hoán,
gọi là nhóm nhân các số hữu tỉ và số thực khác không.
3) Cho tập hợp X = đặt S(X)={f : X X | f song ánh}. Khi đó
(S(X), ), với phép hợp các ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm các hoán vị của X
hay nhóm đối xứng của X. Trong tr-ờng hợp đặc biệt X = {1, 2, ,n} ta viết
S
n
= S({1, 2, ,n}). Mỗi phần tử của S
n
gọi là một hoán vị của {1, 2, ,n}.
4.2.2 Vành
Định nghĩa 12. Một vành là một bộ ba (R, +, ã), trong đó R là một tập hợp
không rỗng, còn + và ã là các phép toán trên R sao cho: (R, +) là một nhóm
giao hoán, phép ã có tính kết hợp và phân phối đối với phép cộng.
Một vành đ-ợc gọi là vành giao hoán nếu phép toán ã có tính giao hoán. Một
vành đ-ợc gọi là vành có đơn vị nếu phép toán ã có đơn vị.
11
Ví dụ. 1) (Z, +, ã) với phép cộng và phép nhân các số nguyên thông th-ờng là
một vành giao hoán gọi là vành số nguyên.
2) Với số nguyên d-ơng p cho tr-ớc đặt

[n]
p
=[mn]
p
.
Khi đó (Z
p
, +, ã) là một vành giao hoán gọi là vành số nguyên đồng d- modulo
p. Chẳng hạn với m =4ta có bảng cộng và nhân trong Z
4
nh- sau, trong đó
[m]
4
đ-ợc viết là m
+

0

1

2

3

0

0

1


1

2
.

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

0

1

2

5 Tr-ờng số phức
5.1 Định nghĩa số phức
Đặt C = R ì R = {(x, y) | x, y R}. Trên C xác định hai phép toán cộng và
nhân nh- sau
(x
1
,y
1
)+(x
2
,y
2
)=(x
1
+ x
2
,y
1
+ y
2
)
(x
1
,y
1
) ã (x
2
,y
2
)=(x

Dạng z = x + iy gọi là dạng đại số của số phức z. Các số thực x, y lần l-ợt gọi
là phần thực, phần ảo của z và đ-ợc ký hiệu là Rez, Imz. Số phức
z = x iy
gọi số phức liên hợp với z. Dễ dàng kiểm tra các tính chất sau
Mệnh đề 6. .
a) z + w = z + w; zw = z ã w.
b) z + z =2Rez; z z =2iImz; z ãz = x
2
+ y
2
.
c) z =
z z R.
d) Nếu z = x + iy =0, thì z
1
=
x
x
2
+ y
2
i
y
x
2
+ y
2
.
Nhận xét. Cộng, trừ (tức cộng với số đối), nhân , chia (tức là nhân với số nghịch
đảo) các số phức d-ới dạng đại số nh- số thực với chú ý là i


ax
b
y

e
1

e
2
H.1
Giả sử (a, b) =(0, 0) , gọi là góc định h-ớng tạo bởi

e
1
và

OM và r là độ dài
của vector

OM. Khi đó ta có các liên hệ sau

a = r sin
b = r cos



r =

a

).
Các tính chất sau đây cho thấy sự thuận tiện của cách biểu diễn số phức d-ới
dạng l-ợng giác.
Mệnh đề 7. .
a) | z
1
z
2
|=| z
1
|| z
2
|; Arg(z
1
z
2
)=Argz
1
+ Argz
2
.
b)

r(cos + i sin)

n
= r
n
(cos n + i sinn) (Công thức Moivre).
Chứng minh. a) Giả sử z

1
sin
2
+ i (sin
1
cos
2
+ cos
1
sin
2
))
= r
1
r
2
(cos(
1
+
2
)+i sin(
1
+
2
)),
14
Từ đó ta có khẳng định a). Khẳng định b) suy ra từ khẳng định a).
Nhận xét. Mệnh đề trên cho thấy về mặt hình học phép nhân số phức z với số
phức w là hợp của phép co dãn vector w theo tỉ số | z | và phép quay góc argz
(H.2).


r(cos
+ k2
n
+ i sin
+ k2
n
); k =0, 1, ,n 1.
Chứng minh. Giả sử w = (cos +i sin ) là căn bậc n của z = r(cos +i sin ).
Khi đó theo Công thức Moivre ph-ơng trình w
n
= z đ-ợc viết d-ới dạng

n
(cos n + i sinn)=r(cos + i sin ).
Từ đó suy ra

=
n

r
n = + k2
Vậy ph-ơng trình có đúng n nghiệm
w
k
=
n

r(cos
+ k2

n1
n
, với
n
= cos
2
n
+ i sin
2
n
}.
15
6 Đa thức
6.1 Vành đa thức một biến
6.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 15. Cho k là một tr-ờng. Đa thức một biến x trên tr-ờng k là một
biểu thức có dạng
P (x)=
n

i=0
a
i
x
i
= a
0
+ a
1
x + ããã+ a

Nếu không quan tâm đến bậc ta th-ờng viết đa thức d-ới dạng P (x)=

i
a
i
x
i
là tổng vô hạn nh-ng chỉ có một số hữu hạn các hệ tử a
i
khác 0.
6.1.2 Vành đa thức k[x]
Tập hợp các đa thức với hệ tử lấy trong tr-ờng k đ-ợc ký hiệu là k[x]. Trên k[x]
xác định hai phép toán cộng và nhân nh- sau
(

i
a
i
x
i
)+(

i
b
i
x
i
)=

i


i+j=k
a
i
b
j
.
Mệnh đề 9. (k[x], +, ã) với phép cộng và nhân ở trên là một vành giao hoán có
đơn vị.
Chứng minh. Kiểm tra từng điều kiện trong định nghĩa vành, chẳng hạn ta
chứng minh tính kết hợp của phép nhân. Giả sử A =

i
a
i
x
i
, B =

i
b
i
x
i
,
16
C =

i
c

(

n+j=l
b
n
c
j
)=

m+n+j=k
a
m
b
n
c
j
.
Vậy (AB)C = A(BC).
Vành (k[x], +, ã) gọi là vành đa thức một biến trên tr-ờng k .
6.2 Phép chia Euclid
Định lý 1. Cho hai đa thức F (x) ,G(x) k[x] với G(x) =0. Khi đó tồn tại duy
nhất một cặp đa thức Q(x),R(x) k[x] sao cho
F (x)=G(x)Q(x)+R(x) với R(x)=0 hoặc degR(x) < degG(x) .
Chứng minh. . Sự tồn tại. (Thuật toán chia Euclide)
Nếu F =0, thì chọn Q =0và R =0. Nếu F =0và degF<degG, thì chọn
Q =0, R = F. Ta chỉ còn chứng minh cho tr-ờng hợp : F =0và degF degG.
B-ớc 1: Đặt R
1
= F
lcF

1
degG
G ( degR
2
< degR
1
)
. Nếu degR
2
< degG thì đã chứng minh xong.
Q =
lcF
lcG
x
degFdegG
+
lcR
1
lcG
x
degR
1
degG
, R = R
2
.
17
. Nếu degR
2
degG thì đi đến b-ớc 3.


(x)) = degG(x)+deg(Q(x)Q

(x)) degG(x).
Điều này mâu thuẩn với giả thiết degR(x) < degG(x), degR

(x) < degG(x).
Vậy R

(x) R(x)=0và từ đó Q

(x) Q(x)=0.
Định nghĩa 16. Đa thức Q(x) và R(x) trong Định lý trên lần l-ợt đ-ợc gọi là
th-ơng và phần d- của phép chia đa thức F (x) cho G(x). Nếu R(x)=0thì đa
thức F ( x) gọi là chia hết cho G(x), khi đó G(x) gọi là một -ớc của F (x) và
ký hiệu là G(x) | F (x).
Đa thức C(x) đ-ợc gọi là -ớc chung lớn nhất của hai đa thức F
1
(x) và F
2
(x),
ký hiệu C(x) = gcd(F
1
(x),F
2
(x)), nếu và chỉ nếu
a) C(x) | F
1
(x) và C(x) | F
2

2
2x
2
+3x +11
R
1
=3x
3
+2x
2
5x +6
3x
3
9x
2
+3x
R
2
=11x
2
8x +6
11x
2
33x +11
R
3
= 25x 5
Từ đó ta có 2x
4
3x

0
(x)+V (x)P
1
(x)(Đẳng thức Bézout)
Chứng minh. a) Thuật toán tìm -ớc chung lớn nhất.
B-ớc 1. Chia P
0
cho P
1
: P
0
= Q
1
P
1
+ P
2
.
. Nếu P
2
=0thì gcd(P
0
,P
1
)=P
1
.
. Nếu P
2
=0(khi đó degP

< degP
2
) thì đi đến b-ớc 3.
Cứ tiếp tục và qúa trình sẽ dừng lại sau một số hữu hạn b-ớc vì nó gắn liền với
một dãy giảm các số tự nhiên
< degP
3
< degP
2
< degP
1
.
Giả sử quá trình dừng ở b-ớc thứ n, tức là P
n1
= Q
n
P
n
. Khi đó
gcd(P
0
,P
1
)=gcd(P
1
,P
2
)=ããã= gcd(P
n
, 0) = P

0
+0ã P
1
, P
1
=0ãP
0
+1ã P
1
.
Giả sử () đúng đến k 1, tức là ta có
P
k2
= U
k2
P
0
+ V
k2
P
1
,
P
k1
= U
k1
P
0
+ V
k1