PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
Để cm một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n∈ N ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên
được vì tập hợp số tự nhiên là vô hạn. Song ta có thể tiến hành các bước kiểm tra như sau
Bước 1 : Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=0
Bước 2 : Rồi ta chứng rằng : Từ giải thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k ≥0 bất kì suy
ra nó đúng với n=k+1 .
Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥2 ta có đẳng thức :
a
n
-b
n
=(a-b)(a
n-1
+a
n-2
b +… + b
n-1
)
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp .
* Khi n=2 ta có a
2
-b
2
=(a-b)(a+b) là đúng
* Giả sử đẳng thức đúng khi n=k . Tức là ta có : a
k
-b
k
=(a-b)(a

= a
k
(a-b)+ b(a
k
-b
k
) = a
k
(a-b) + b(a-b)(a
k-1
+a
k-2
b +… + b
k-1
)
= (a-b)[ a
k
+ b(a
k-1
+a
k-2
b +… + b
k-1
)] = (a-b)(a
k
+a
k-1
b +… + b
k
) = VP

2n 2
4.3 32n 36 64
+
+ − M
Bài 6 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥1 ta luôn có: (n+1)(n+2)…(2n)
M
1.3.5…(2n-1)
Bài 7 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: n
3
+2n
M
3
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có:
n
16 15n 1 225− − M
TÍNH CHIA HẾT
A. CHIA HẾT SỐ NGUYÊN
1. Định nghĩa: Cho hai số nguyên bất kì a và b (b
≠
0). Tồn tại một và chỉ một cặp số nguyên
(q, r) sao cho a = bq + r với
0 r b≤ <
.
* Nếu r = 0 thì a chia hết cho b: a
M
b
⇔
a = kb a, b, k
∈¥
* Nếu r

m, b
M
m thì a
±
b
M
m
a
±
b
M
m mà a
M
m thì b
M
m
a
M
m, b
M
n thì ab
M
nm
a
M
m thì a
n

M
m

±
b
M
m
* Trong n số nguyên liên tiếp (n∈N
*
) có một và chỉ một số chia hết cho n.
* Trong n+1 số nguyên bất kì (n∈N
*
) chia cho n thì có hai số chia cho n có cùng số dư.
* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho một số nguyên tố p ta có thể xét mọi trường hợp về số dư của n chia
cho p.
* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân tích m thành tíchcác thưac số đôi một nguyên tố
cùng nhau rồi lần lượt chứng tỏ A(n) chia hết cho từng thừa số đó.
* Để CM f(x) chia hết cho m thông thường ta phân tích f(x) thành nhân tử rồi xét số dư khi chia x
cho m.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI :
1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p
Ví dụ : A(n) = n(n
2
+1)(n
2
+4) chia hết cho 5
n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5
a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5
b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n
2
= 25k
2
+10k +1 thì (n

M
m có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và
chứng minh mỗi hạng tữ chia hết cho n.
4/ Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n)
M
m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một
nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n)
+ Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức :
a
n
– b
n

M
a – b ( a
≠
b) n bất kỳ.
a
n
– b
n

M
a – b ( a
≠
- b) n chẵn.
a
n
+ b
n

3
-4n
2
-16n
M
384 với
∀
n chẵn
Bài 2. CMR: a)
4 2
n n 12− M

2
b)
2
n(n 2)(25n 1) 24+ − M
c) Chữ số tận cùng của số tự nhiên n và n
5
là giống
nhau.
d)
3 3
(a b) 6 (a b ) 6+ ⇔ +M M
e) Cho n > 2 và (n, 6) = 1. CMR
2
n 1 24− M

g)
2n 1 n 2
3 2 7

M
g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x)
M
g(x) hoặc f(x) - g(x)
M
g(x).
Cách 4 : Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia
BÀI TẬP
Bài 1. Xác định các hằng số a ; b sao cho:
a) 4x
2
- 6x + a
M
(x-3)
b) 2x
2
+ x + a
M
(x+3)
c) x
3
+ ax
2
- 4
M
(x
2
+ 4x + 4)
d) 10x
2

c/ n
3
– 2
M
n – 2
d/ n
3
- 3n
2
+ 3n - 1
M
n
2
+n + 1
e/n
4
– 2n
3
+ 2n
2
– 2n + 1
M
n
4
– 1
Bài 4: Tìm số dư phép chia x
99
+ x
55
+ x

2
d/ 8x
9
- 9x
8
+ 1
M
(x – 1)
2
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
I. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN
1. Dạng 1: Phương trình bậc nhất.
a. Phương trình dạng: ax + by = c (a,b,c nguyên)
* Cách giải: - Tách cá hệ số về tổng các số chia hết cho a hoặc b (Số nào có GTTĐ lớn hơn)
- Sử dụng dấu hiệu và tính chất chia hết của một tổng để tìm ra một ẩn .
Thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình ban đầu tìm nghiệm còn lại.
- Kết luận nghiệmBài tập mẫu: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x + 3y = 11
Giải:
Cách 1: 2x + 3y = 11
1 y
x y 5
2
−
⇒ = − + +

x nguyên khi
1 y 2 hay y = 2t + 1 t− ∈M ¢
⇒
x = 4 – 3t
Vậy nghiệm nguyên của phương trình:


=


nghiệm tổng quát
0 1
0 1
x x b t
y y a t
= −


= +


Vậy nghiệm phương trình là:
x 4 – 3t
y 2t 1
=


= +
Ví dụ 1 Giải phương trình: 11x + 18 y = 120
Hướng dẫn giải
11x + 18 y = 120  11x + 22y – 4y = 121 – 1
 11(x + 2y -11 ) = 4y – 1
1 4y – 1

y t
= −


= −


Với điều kiện nghiệm nguyên dương ta có:
7 12 0
27 12 0
x t
y t
= − >


= − >

=> t = 2
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là
2
3
x
y
=


=

b. Phương trình dạng: ax + by +cz= d (a,b,c,d nguyên)
Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x + 15y + 10 z = 3 (1)

+ +

(Do x nguyên nên 2x + 3 khác 0)
Vì y nguyên => x + 5
M
2x + 3 => …. 7
M
2x + 3 Lập bảng ta có: các cặp (x; y) là: (-1;6); (-1; -2);
(2; 3); (-5; 2) Thử lại các giá trị đó đều đúng.
Cách 2. Đưa về phương trình ước số:
Cách 3: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là số đã biết. Đặt ĐK để có x nguyên.
Ví dụ 2 Tìm các nghiẹm nguyên của phương trình.
x
2
+ 2y
2
+3xy –x – y + 3 =0 (1)
Hướng dẫn giải
Sử dụng cách thứ 3 như ví dụ trên.
3. Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn.
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y
2
(1)
Hướng dẫn giải
Phương trình (1)  (x
2
+ 3x)(x
2
+ 3x + 2) = y
2

8x xy y xy+ + ≤ +
=> x
2
+ xy + y
2

8xy≤ +
(2)
Nếu xy + 8 < 0=> (2)  (x + y)
2

≤
-8. Vô nghiệm.
N ếu xy +8 > 0 => (2)  x
2
+ y
2

≤
8
=> x
2
, y
2

{ }
0;1;4∈
Từ đó tìm được Hai nghiệm nguyên của (1) là: (0; - 2); (2; 0)
4. Dạng 4: Phương trình dạng phân thức.
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Nếu a = 0 => x = 17.
Nếu a khác 0. Ta có (a
2
, b
2
) = 1 => x – 17 = a
2
.k; x – 9 = b
2
.k (k nguyên)
Từ đó ta có: 8 = (a + b).(b – a).k
Lập bảng tìm được nghiệm của phương trình
x =17; 18; 8
5. Dạng 5: Phương trình dạng mũ.
Ví dụ Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:
2
x
+ 3 = y
2
(1)
Hướng dẫn giải
3 Nếu x = 0 => y
2
= 4 => y = 2 hoặc y = -2.
4 Nếu x = 1 => y
2
= 5 Vô nghiệm nguyên.
5 Nếu x
≥ 2
=> 2

a< b
⇔
a.c > b.c (với c < 0)
d) a < b và c < d
⇒
a+c < b + d.
e) 0 < a < b và 0 < c < d
⇒
a.c < b.d
f)
( )
2 1 2 1
n
n n
a b a b
+ + +
< ⇔ < ∈¢
0 <
( )
2 2
n
n n
a b a b
+
< ⇔ < ∈¢
g)
( )
2 1 2 1
n
n n

a b c
abc
Hệ quả:
1
a + 2
a
≥
,
a 0∀ >
III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
a) |x|
≥
0, |x|
≥
x, |x|
≥
-x
b) |x|
≤
a
⇔
-a
≤
x
≤
a ( với a > 0)
|x|
≥
a
⇔

a b a b a b

2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
( )( )
n n
a a a b b b+ + + + + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
III.BĐT Becnuli
Cho a > -1, n
∈
N
*
:
(1+ + a)
n

≥
1 + na.
Đẳng thức xảy ra khi
a = 0 hoặc n = 1

1 1 1
+ 2
a b ab
1 1 1
(a+b) 2 .2 =4
a ab
ab
b
≥
≥
 
+ ≥
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi:a= b.
Bài 2: Với mọi a, b,x,y, thuộc
¡
.
Chứng minh rằng:
( ) ( )
2 2 2
| |ax by a b x y
2
+ ≤ + +
Áp dụng :
1. Cho x
2
+ y
2
=1 , chứng minh -

a b c
c a b
+ + ≥ + +
Bài 6: Cho a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =1.
Chứng minh rằng:
1 1 1
1 1 1 64
a b c
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 7: CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:
≥++ ))((
2222
yxba
(ax + by)
2
.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 8: Cho a, b, c, d > 0. Cm:
( )( )
dbcacdab ++≤+
Bài 9: CM bất đẳng thức:
( ) ( )
22
2222
dbcadcba +++≥+++
8
Bài 10: Cho a, b, c là các số dương cm BĐT


3
+ b
3
= 2. Cmr: a + b
≤
2.
Bài 13: Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1)
a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 (2)
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn






−
0;
3
4
Bài 14: Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5.
CMR: 2a
2
+ 3b
2

b)
2420 ≤−+−< xx
Bài 18: Cho a, b, c > 0. Cm:

2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Bài 19: Cho
100
1

3
1
2
1
1 ++++=S
.
CMR: S không là số tự nhiên.
Bài 20: a) Cho x, y dương. CMR:
yxyx +

2
1
≥
−x
x
b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của:
11
22
−
+
−
=
a
b
b
a
P
Bài 22: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Bài 23: CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì
9

9
111
≥

2
= 5. Cm: a + 2b
≤
10.
Bài 27: Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
= 4 + ab.
CMR:
8
3
8
22
≤+≤ ba
. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 28: CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:
3
211
≥
+
++
baba
Bài 29: CMR nếu:
a)
51 ≤≤ a
thì
105413 ≤−+− aa
b) a + b
2;01;0 =+≥+≥ bab

:
a a k
Cmr
b b k
+
<
+
b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
< 2.
Bài 32: Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. CMR :
9
1
1
1
1 ≥





34
2
2
2
2
SỐ CHÍNH PHƯƠNG , NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
1) Định nghĩa: Là số có dạng
2
,n n∈¢
.
2) Tính chất:
1. Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia cho 8 dư 1
2. Nếu a=3k thì
( )
2
0 mod9a ≡
; Nếu
3a k≠
thì
( )
2
1 mod3a ≡
3. Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính phương nào
10
4. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận
cùng bằng 2, 3, 7, 8
5. Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n
2
sẽ là số chính phương.
6. Nếu ab chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương.

p
2
. Do đó nếu một số a chia hết cho số nguyên tố p nhưng số a không chia hết cho p
2
thì a
không là số chính phương.
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ
chẵn.
3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương
nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n
∈
N).
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương
nào có dạng 3n + 2 (n
∈
N).
5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. DẠNG1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là số chính phương.

4
+ y
4
= t
2
= (x
2
+ 5xy + 5y
2)2

V ì x, y, z
∈
Z nên x
2

∈
Z, 5xy
∈
Z, 5y
2

∈
Z
⇒
x
2
+ 5xy + 5y
2

∈

+ 3n + 1
∈
N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) =
4
1
k(k+1)(k+2).4 =
4
1
k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
=
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3) -
4
1
k(k+1)(k+2)(k-1)
⇒
S =
4
1
.1.2.3.4 -
4
1
.0.1.2.3 +
4
1
.2.3.4.5 -

n
+ 8.
9
110 −
n
+ 1
=
9
9810.810.410.4
2
+−+−
nnn
=
9
110.410.4
2
++
nn
=








+
3
110.2

2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6
Kết quả: A =








+
3
210
n
; B =








+
3
810
n
;
Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:


n
+ 9
= ( 15.10
n
– 3 )
2

⇒
A là số chính phương
B. DẠNG 2 : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n
2
+ 2n + 12 b. n ( n+3 )
c. 13n + 3 d. n
2
+ n + 1589
Giải
a. Vì n
2
+ 2n + 12 là số chính phương nên đặt n
2
+ 2n + 12 = k
2
(k
∈
N)

⇒
(n

⇔
4n
2
+ 12n = 4a
2

⇔
(4n
2
+ 12n + 9) – 9 = 4a
2

⇔
(2n + 3)
2
- 4a
2
= 9

⇔
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1
⇔
2n + 3 + 2a = 9
⇔
n = 1
2n + 3 – 2a = 1 a = 2
c. Đặt 13n + 3 = y
2

– 16 = 13k.(13k
±
8)
⇒
n = 13k
2

±
8k + 1
Vậy n = 13k
2

±
8k + 1 (Với k
∈
N) thì 13n + 3 là số chính phương.
a. Đặt n
2
+ n + 1589 = m
2
(m
∈
N)
⇒
(4n
2
+ 1)
2
+ 6355 = 4m
2

Bài 4: Tìm n
∈
N để các số sau là số chính phương:
a. n
2
+ 2004 ( Kết quả: 500; 164)
b. (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
c. n
2
+ 4n + 97
d. 2
n
+ 15
Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n
2
là số chính phương.
Giả sử 2006 + n
2
là số chính phương thì 2006 + n
2
= m
2
(m
∈
N)
Từ đó suy ra m
2
– n
2
= 2006

2
. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m
2
với k, m
∈
N và 32 < k < m < 100
a, b, c, d
∈
N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
⇒
Ta có A = abcd = k
2

B = abcd + 1111 = m
2

⇒
m
2
– k
2
= 1111
⇔
(m-k)(m+k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > 0 nên m-k và m+k là 2 số nguyên dương.
Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101
Do đó m – k == 11
⇔
m = 56

abcd = 91
2
= 8281
15
Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống
nhau.
Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n
2
với a, b
∈
N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9
Ta có n
2
= aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy aabb
M
11
⇒
a + b
M
11
Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18
⇒
a+b = 11
Thay a+b = 11 vào (1) được n
2
= 11
2
(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương .
Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn

HD:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 mod4
2 1 2 1 2 1 3 mod8
n k
n k l
+ + + ≡
+ + + + + ≡
3. Chứng minh rằng một số chẵn bất kì không phải là bội của 4 thì không thể phân tích thành
hiệu 2 số chính phương.
HD:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 1k a b a b a b+ = − = − +
Do vế trái chẵn nên hai số a và b có cùng tính chẵn lẻ suy ra (a-b) và (a+b) cùng chẵn. Khi đó vế
phải chia hết cho 4.
4. Chứng minh phương trình 13x
2
+2 =y
2
không có nghiệm nguyên.
HD: + x và y cùng tính chẵn lẻ
+ Khi y chẵn:
( ) ( )
VP 0 mod 4 ;VT 2 mod 4 ;≡ ≡
+ Khi y lẻ :
( ) ( )

n
∈
¥
để 7.10
n
+4 là chính phương.
HD:
( )
7.10 4 2 mod3
n
+ ≡
8. Chứng minh rằng tích của 2 số tự nhiên khác không liên tiếp không chính phương.
HD: có n
2
< n(n+1) < n
2
+2n+1 = (n+1)
2
9. Tìm
n∈¥
n
2
+ 3n là chính phương.
HD: Dễ thấy n = 0;1 đúng.
Ngoài ra, có n
2
+2n+1< n
2
+3n < n
2

. Vì
( )
1994 2 mod3≡
nên nếu S(N)=1994 thì
( )
2 mod3N ≡
b) vì 1995 chia hết cho 3, nhưng 1995 không chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của 1 số
chính phương không thể bằng 1995.
14. Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không chính phương.
HD:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 1 1 2 5 2 5n n n n n n− + − + + + + + = + M
nhưng không chia hết cho 25.
15. Chứng minh rằng không tồn tại
n
∈
¥
để n
2
+n+2 chia hết cho 3.
HD: G/s
n∃ ∈¥
để n
2
+n+2=3k khi đó n
2
+n+2-3k = 0 có nghiệm nguyên dương

số hàng chục của b
2
lẻ nên b=4; 6.
19. Chứng minh rằng mọi số chính phương lẻ đều có chữ số hàng chục là chẵn.
HD: Xét (10a+b)
2
= 20a(5a+b)+b
2
với b lẻ,
2
9 1;3;5;7;9 01;09;25;49;81b b b≤ ⇒ = ⇒ =
→
ĐPCM
20. Chứng minh rằng một số chính phương lớn hơn 100 có tận cùng là 5 thì chữ số hàng trăm là
chẵn.
HD: Xét (10a+5)
2
=100a(a+1)+25. Vì a(a+1) chẵn . Ta có ĐPCM.
21. Tìm
,x y∈¥
để 2
x
+ 5
y
chính phương.
17
HD: G/s
( )
2 2
2 5

2 mod5
x
≡ ± ⇒
x chẵn, x=2n
Và từ giả thiết suy ra
( )
2 5
5 ( 2 ) 2 , ; ,
2 5
n a
y n n
n b
k
k k a b y a b
k

+ =
= + − ⇒ + = ∈

− =

¥
( )
1 1
2 5 5 1 5 1, 0 2 5 1
n b a b b n y
b hay a y
+ − +
⇒ = − ⇒ = = = ⇒ = −
+ Nếu y=2t thì 2

2 2
10 10 99 11ab ba a b b a a b− = + − + = − M
Vì 0<(a-b)<8,
2 2
2 18 11 9.11.11.( )a b a b ab ba a b≤ + ≤ ⇒ + = ⇒ − = −
chính phương hay (a-
b) chính phương, suy ra hoặc a-b=1 hoặc a-b=4
ĐS: số 65
23. Tìm số chính phương
abcd
biết
1ab cd− =
HD:
2
100 100(1 ) 100 101n abcd ab cd cd cd cd= = + = + + = +
( ) ( )
10 10 101n n cd⇒ − + =
.
Vì n<100 và 101 là nguyên tố nên n+10=101 suy ra n=91.
24. (VĐ Balan) Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên thoả mãn hệ thức 2a
2
+a = 3b
2
+ b thì
a - b và 2a + 2b+ 1 là các số chính phương.
HD: Có 2a
2
-2b
2
+a-b=b

2
<4n
2
<4p
4
+p
2
+4+4p
3
+4p+8p
2
hay
(2p
2
+p)
2
<(2n)
2
<(2p
2
+p+2)
2
suy ra 2n =2p+p+1 suy ra p=3.
26. Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên p, q là tổng của hai số chính phương thì tích pq cũng là
tổng của 2 số chính phương.
18
27. Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên m, n là tổng của 4 số chính phương thì tích m.n cũng là
tổng của 4 số chính phương.
HD: (a
2

để a
2
+a+1589 chính phương.
31. Chứng minh rằng nếu 8
n+1
và 24
n+1
là chính phương thì 8
n+3
là hợp số
32. Chứng minh rằng n
3
+1 không chính phương với mọi n lẻ và n>1.
33. Tìm
abcd
biết nó là một bội của 11 v à b+c = a, bc chính phương.
34. Chứng minh rằng nếu
1
2
ab cd=
thì
abcd
không chính phương
35. Tìm tất cả các số chính phương có dạng
1985A ab=
.
ĐS: 198025 và 198916
36. Tìm tấ cả các số tự nhiên a để số n=26a+17 là một số chính phương.
ĐS: a=26m
2

+ x.
Tính giá trị biểu thức : P =
1 -xy
xy
2
y
2
x ++
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =
yx
y-x
+

Biết x
2
-2y
2
= xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức P =
3x
3x2
x-1
2x3
3x2x
11x15
+
+
−
−
+

8 16
1-
a
a
P
=
+ + −
+

19
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức
P =























−
−
−
−
−
+
x
2
x2x
1x
:
x4
8x
x2
x4
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có
m(
x
- 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức
P =


x
a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2
3
Bài 10: Cho biểu thức
P =
x
2007x
1x
14xx
1x
1-x
1x
1x
2
2
+
−
−−
+
+
−
−
+














Với | a | >| b | > 0
Bài 12: Cho biểu thức
P =
2
2
x1
.
1x2x
2x
1x
2x












20
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
x
x
x
++−
−+−
+
52.549
347.32
4
63
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 15: Cho biểu thức
P =
1x
1xx
xx
1xx
xx
22
++
+−
+
−
++
−
Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .
Bài 16: Cho biểu thức

xxx2x
−
+
−+
−
⋅
−
+
−
−
−+








a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.
Bài 18: Rút gọn biểu thức
P =
5310
53
5310
53
−+
−

Bài 22: Chứng minh đẳng thức:

1
2
3
11
2
3
1
2
3
11
2
3
1
=
−−
−
+
++
+
Bài 23: Cho x =
3
725
3
725 −−+
21
Tính giá trị của biểu thức f(x) = x
3
+ 3x

P =
51
1
+
+
95
1
+
+ +
1
2005 2009+
Bài 27:Tính giá rẹi của biểu thức:
P = x
3
+ y
3

- 3(x + y) + 2004 biết rằng
x =
3
223
3
223
−++
y =
3
21217
3
21217 −++
Bài 28:Cho biểu thức

1
1
1
a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 +
15
)(
10
-
6
)
154
−
Bài 29:Cho biểu thức
A =
( ) ( )
( )






−
−⋅
−−
−++−−
1
1
1

2
.
Bài 31:Cho biểu thức
P =
1
2
1
3
1
1
+−
+
+
−
+
xxxxx
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.
Bài 32:Cho biểu thức
P =
a
a
a
a
aa
a
−
+
−
−

22
2
2
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x
2
+ y
2
- 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 34:Cho biểu thức
P =
x
x
yxyxx
x
yxy
x
−
−
−
−−+
−
−
1
1
22
2
2
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x





+
a) Rút gọn P.
b) Cho xy = 16. Tìm Min P.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x
2
– 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
c) Tìm m sao cho nghiệm số x
1,
x
2
của phương trình thỏa mãn
điều kiện
2
1
x
+
2
2
x
≥
10.
Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:
( )


=−
=−
35
5
3
2
3
1
21
xx
xx
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm.
Bài 6: CMR phương trình ax
2
+ bx + c = 0
( a
≠
0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm:
(a
2
+ b
2
– c
2
)x
2
- 4abx + (a

9
5
Bài 10: Cho phương trình:
x
2
– 2(m + 4)x +m
2
– 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
a) A = x
1
+ x
2
-3x
1
x
2
đạt GTLN
b) B = x
1
2
+ x
2
2
- đạt GTNN.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1

x
2.
Không giải phương trình trên
hãy tính giá trị của biểu thức:
A =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
Bài 13: Cho pt: x
2
– 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a.
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x
1
,

x
2

2
là hai nghiệm của phương trình (1) .
Tìm GTNN của M = x
1
2
+ x
2
2
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
2
111
=+
ba
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x
2
+ ax + b = 0 và x
2
+ bx + a = 0.
Bài 16: Cho phương trình:
x
2
– 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.
b) Tìm m sao cho 10x
1
x
2
+ x
1

24
Bài 19: Cho phương trình:
x
2
– 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện:
x
1
2
+ x
2
2

≥
10.
3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện:
E = x

+ 1)
Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x
2
Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
Bài 6: (x + 2)
4
+ (x + 8)
4
= 272
Bài 7: a) (x +
2
)
4
+ (x + 1)
4
= 33 + 12
2
b) (x - 2)
6
+ (x - 4)
6
= 64
Bài 8: a) x
4
- 10x
3
+ 26x
2
- 10x + 1 = 0

22
=
++
−
+− xx
x
xx
x
Bài 12: x
2
+
( )
12
2
4
2
2
=
+x
x
Bài 13:20
0
1
4
48
1
2
5
1
2

Bài 14: a)
4
1
7
13
3
22
−=
++
+
+− xx
x
xx
x
b)
1512
4
156
1510
22
2
+−
=
+−
+−
xx
x
xx
xx
c)

+x
x
25