CHƯƠNG II: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ TRONG ĐƯỜNG
TRÒN.
BÀI 1: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KỲ.
NỘI DUNG
I/MỞ ĐẦU:
C Sin
α
=
AC
BC
Cos
α
=
AB
BC

A B
tg
α
=
AC
AB
cotg
α
=
AB
AC
II/TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC
0 0
(0 180 )
α α

α
,KH:tg
α
, viết tg
α
=
y
x
*Tỷ số
( 0)
x
y
y
≠
gọi là cotang của góc
α
,KH:cotg
α
, viết cotg
α
=
x
y

Ví dụ:
a)Tính sin
α
,
α
=30

II/TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC CẦN NHỚ:
góc 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
Trang 1
Sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2

3
-1
-
3
3
0
cotg
||
3
1
3
3
0
3
3
−
-1
-
3
||
IV/DẤU CỦA CÁC TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC:
•
sin
α
0,
α
≥ ∀
.
•
0 0

α
α
α
=
b)Nếu Sin
α
≠
0 thì
cos
c (2)
sin
otg
α
α
α
=
c)sin
2
α
+cos
2
α
=1 (3)
CM:SGK
2.VD:
Cho tgx+cotgx=2.Tính sinx.cosx=?
Giải:Tacó:
2 2
sin cos sin cos
cot

Nếu sin

α

≠
0 thì
2
2
1
1 cot
sin
g
α
α
+ =
(5)
tg

α
.cotg
α
=1 (6).

CM:SGK
2.VD:Đơn giản biểu thức:
2
2
2 2
2 2
2 2

Vậy A=2.
III.LIÊN HỆ GIỮA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU:
Hai góc
α
và (180
0
-
α
) là hai góc bù nhau.Ta có:
Sin
(180
0
-
α
)=sin
α
Cos (180
0
-
α
)=-cos
α
tg(180
0
-
α
) =-tg
α
cotg(180
0

α
cotg(90
0
-
α
)=tg
α
VD:
1.Tính :
A=
0 0 0 0 0
cos20 cos40 cos60 cos160 cos180+ + + + +
=Cos(180
0
-160
0
)+cos(180
0
-140
0
)+…+Cos 160
0
+cos180
0
=-cos160
0
-cos140
0
+…+cos160
0

=
cos
2
C
(đpcm)
Trang 3
BÀI: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

NỘI DUNG
I/GÓC CỦA HAI VECTƠ:
1.ĐỊNH NGHĨA:Cho hai vectơ
,a b
r r
khác
0
r
.Từ 1 điểm O ta vẽ
,OA a OB b= =
uuur r uuur r
.Khi đó số đo của góc
AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ
,a b
r r
,hay gọn hơn :Góc giữa hai vectơ
,a b
r r
.Kh:

r
.

( )
,a b
r r
=90
0
⇔
a
r
vuông góc
b
r
.

( )
,a b
r r
tuỳ ý nếu
a
r
hoặc
b
r
là
0
r
.
II/TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ:

2
2
0
. cos0a a a a a a= = =
r r r r r r
2.CHÚ Ý:

( )
,a b
r r
=0
0

⇔
a
r
.
b
r
=
a b
r r
.( )
,a b
r r
=180
0

( )
2
0
. cos , . .cos60
2
a
AB AC AB AC AB AC a a= = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Trang 4

( )
2
0
. . cos ,
. .cos60
2
AC CB CACB CA CB CA CB
a
a a
= − = − =
= − = −
uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur
III/CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU:
1)ĐỊNH NGHĨA: Cho
a AB=
r uuur
và đường thẳng d.Gọi A’,B’ là hình chiếu của A và B trên d.Khi đó
' ' 'a A B=
r uuuur
gọi là hình chiếu của

OB b=
uuur r
trên đường thẳng chứa
a
r
.
Ta có
( )
·
,OA OB AOB
ϕ
= =
uuur uuur
Th1:
0
90
ϕ
<
Th2:
0
90
ϕ
≥
IV/ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG:
1.ĐỊNH LÝ:
Với mọi vectơ
, ,a b c
r r r
và một số k ta có:


HD. CMR:
AM BD⊥
.
Giải:
Trang 5

A
B
C
H
D
M
Ta có:
2 ;AM AH AD BD BC CD= + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
Do đó:
( ) ( )
2 .AM BD AH AD BC CD= + +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

( )
. . .
. .2 .
. .2 .
2 . 0
AH CD AD BC AD CD
AH CD AD HC AD CD
AD CD AD DC AD CD
AD CD DC
AM BD

r r r
Vậy
1 1 2 2 1 2 1 2
. ( )( )a b x i y j x i y j x x y y= + + = +
r r r r r r
CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC.
NỘI DUNG
I/ĐỊNH LÝ COSIN TRONG TAM GIÁC:

a
c
b
B
A
C
Trang 6
1.ĐỊNH LÝ:Với mọi tam giác ABC ta có:
a
2
=b
2
+c
2
-2bcCosA (1)
b
2
=a
2
+c
2

ta có:
CosB=1/2 hay B=60
0
(Ap dụng đlý hàm số cosin)
Trong
ABDV
ta có:
AD
2
=AB
2
+BD
2
-2.AB.BD.cos60
0
=19
Vậy AD=
19
II/ĐỊNH LÝ SIN TRONG TAM GIÁC:
1.ĐỊNH LÝ:Trong
ABCV
,R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác,ta có:

2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
(4)

2 2 2
(7)
4
(8)
( )(9)
ABC a b c
ABC
ABC
ABC
ABC
S ah bh ch
S ab C ac B bc A
abc
S
R
S pr
S p p a p b p c Herong
= = =
= = =
=
=
= − − −
V
V
V
V
V
Với *R là bk đường tròn ngoại tiếp tam giác.
*r là bk đường tròn nội tiếp tam giác.
*p là nửa chu vi tam giác ABC.

= ⇒ = =
(đvđd)
IV/CÔNG THỨC ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN:
Ký hiệu m
a
,m
b
,m
c
là độ dài đường trung tuyến lần lượt kẻ từ A,B,C.Ta có:
ĐỊNH LÝ:Trong mọi tam giác ABC ta đều có:

2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
(10)
2 4
(11)
2 4
(12)
2 4
a
b
c
b c a
m
a c b

2
2 2
2
a
a
AM MB MC m+ = +
uuuur uuur uuuur
Từ đó ta suy ra đpcm.
*Các đẳng thức khác cm tương tự.
VD:Cho hai điểm A,B cố định.Tìm quỹ tích những điểm M thoả đk: MA
2
+MB
2
=k
2
(k là một số cho
trước)
Giải:
Giả sử có điểm M thoả đk đề bài.Gọi O là trung điểm AB,thì OM là trung tuyến tam giác MAB nên:
Trang 8

( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2
1
2 4 2 4
1
2

*Nếu 2k
2
<AB
2
thì quỹ tích là tập rỗng.
BÀI: GIẢI TAM GIÁC - ỨNG DỤNG THỰC TẾ.
NỘI DUNG
BÀI TOÁN 1: Cho tam giác ABC biết a=17,4;B=44
0
30’; C=64
0
.Tính A,b,c?
Giải:
A=180
0
-(B+C)=71
0
30’
Theo đlý hsố sin ta có:b=
sin
12,9
sin
a B
A
=
c=
sin
16,5
sin
a C

c
2
=a
2
+b
2
-2ab cosC=1369
Vậy c=37
CosA=
2 2 2
0,191
2
b c a
bc
+ −
= −
Vì A là góc tù nên A=180
0
-79
0
=101
0
Vậy B=31
0
40’
BÀI 2/55/SGK:
a)a=6,3 ;b=6,3; c=54
0
Trang 9
Tam giác ABC cân vì a=b=6,3.

37’
Do đó, A=33
0
34’
BÀI TOÁN 4:Để tính khoảng cách từ điểm A đến C(hình vẽ)người ta chọn B sao cho từ B ;A có thể
nhìn thấy C. Ta có AB=c,A=
α
,B=
β
.Tính AC?
Giải:
Ta có C=180
0
-(
α
+
β
)
Vậy sinC=sin(
α
+
β
)
Theo đlý hsố sin thì: AC=
( )
sin
sin
c
β
α β


sin sin
CD h
AC
α α
= =
Mà:
·
ACB
α β
= −
nên ta có:

( )
( )
sin sin
sin
sin
AB AC
AC
AB
α β β
α β
β
=
−
−
⇒ =
Vậy,
( )

3;4
8,6
AB
AC
= −
=
uuur
uuur
Ta có:
. ( 3).8 4.6 0AB AC = − + =
uuur uuur
Vậy AB
⊥
AC tại A.
Chứng tỏ tam giác ABC vuông tại A.
b.Vì
ABCV
vuông tại A nên tâm I của đtròn ngoại tiếp
ABCV
là trung điểm cạnh huyền BC.
Gọi I(x
I
,y
I
)
Ta có:
7
; 7
2 2 2
B C B C

( ) ( )
2;6 1;2
M M
MB k MA y k y= ⇔ − − = −
uuur uuur
( )
2
2
10
6 1;2
3
M M
M
k
k
y k y
y
= −

− =

 
⇒ ⇔
 
− = −
=





nên để ABDC là hcn thì
AB CD=
uuur uuur
Gọi D(x
D
,y
D
)
Vậy:(-3;4)=(xD-9;y
D
-8)

( )
9 3 6
8 4 12
6;12
D D
D D
x x
y y
D
− = − =
 
⇒ ⇔
 
− = =
 
⇒ =
g.Gọi T(x;y) thoả đẳng thức:


+ − =
Giải:

2 2
2
1
. sin
cos
a x tg x
x
− − =
1 +tg
2
x-sin
2
x-tg
2
x
=1-sin
2
x=cos
2
x
( ) ( )
2
. 1 cos cot 1 cosb x g x x+ − =
(1-cos
2
x)
2

.cot
1 sin
x
tgx gx
x
−
+
−
Giải:
a. A=0
b. B=sin
2
x
c. C=
2
1
cos x
Bài 4:
Trong tam giác ABC
Cho a=
6
,b=2,c=
3 1+
Trang 12
Tính A,B,ha,R,r,mb của tam giác ABC.
Giải:
Theo đlý hàm số cosin ta có:
CosA=
2 2 2
1

3 3
1 2
.
2
6
a a
S
a h h
a
+
⇒ = =

Nửa chu vi tam giác ABC là
6 3 3
2
p
+ +
=
Ta lại có: S=p.r nên r=
3 3
3 3 6
S
p
+
=
+ +
Trung tuyến mb:

2 2 2
2

'MB
uuuur
trên đường thẳng MB.
Trang 13
O
B
B'
M
A
Đặt MO=d.
( ) ( ) ( ) ( )
. '.
'
2 2
2 2
MA MB MB MB
MO OB MO OB MO OB MO OB
MO OB d R
⇒ =
= + + = − +
= − = −
uuur uuur uuuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
2.ĐỊNH NGHĨA:
Giá trị
.MA MB
uuur uuur
không đổi trong định lý trên được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn
O.

+Ta có:
/( )
.
M O
P MA MB=
+Nếu MT là tiếp tuyến của (O) tại T thì:

/( )
2
2
M O
P MT MT= =
uuur
3.HỆ QUẢ:
Nếu vẽ qua điểm M hai đường thẳng cắt đường tròn (O;R) lần lượt tại A,B và C,D
thì:MA.MB=MC.MD.
4.VÍ DỤ:
1) Cho tam giác đều ABC có cạnh a và có trực tâm H. Tìm phương tích của điểm A và điểm H đối với
đường tròn đường kính BC.
B
C
O
A
B'
C'
H
Đường tròn đk BC có tâm là trung điểm O của BC và đi qua trung điểm B’,C’ của AB,AC,bán kính là
R=
a 2
.

= − = − = −
 
 
 
 
 
II.TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN:
1.ĐỊNH LÝ:Cho hai đường tròn không đồng tâm(O
1
;R
1
) và (O
2
;R
2
). Quỹ tích những điểm có cùng
phương tích đối với hai đường tròn ấy là một đường thẳng.
CHỨNG MINH:SGK.
2.ĐỊNH NGHĨA:
Đường thẳng quỹ tích nói trên được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O
1
;R
1
) và (O
2
;R
2
).
*CHÚ Ý:
Trục đẳng phương của hai đường tròn luôn vuông góc với đường thẳng nối tâm của hai đường tròn đó.

O'
O"
I
IV.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1)Cho hai đường thẳng a,b cắt nhau tại I. Hai điểm A, A’ nằm trên a, hai điểm B, B’ nằm trên b sao cho:
. ' . 'IA IA IB IB=
uur uur uur uuur
.Chứng minh rằng 4 điểm A,B,A’,B’ nằm trên một đường tròn.
Giải:
A
B
a
b
C
I
B'
A'
B1
Gọi (C) là đường tròn đi qua A,B,A’ và nó cắt b tại điểm thứ hai B
1
.
Ta có:
. ' .
1
IA IA IB IB=
uur uur uur uuur
.
So sánh với giả thiết
. ' . 'IA IA IB IB=
uur uur uur uuur