Tài liệu Bồi dỡng Học s inh Giỏi Toán 9
BT NG THC - GTLN-GTNN
Bi 1:
a.Cho a>c ; b>c ; c>0. Chng minh :
( ) ( )
abcbccac
+
.
b. Cho
1,

yyx
. Chng minh :
xy
yx
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
.
HD: a. -Chia 2 v BT cho
ab
Ri p dng BT Cụ si

2
1
1
1
1
2222
Bi 2:
a. Vi x,y khụng õm. Tỡm GTNN ca biu thc:
5,2007232
++=
xyxyxP
b.Tỡm GTLN ca
( )
2
21
2
xx
x
xf
+=
.
HD: a. a v dng P = A
2
+ B
2
+ m
b.s dng BT Cụ si:
( )
2
211

( )
yx
yx
yx
yx

+=

+
2
22
Ri s dng BT Cụ si
b.Cho a ,b , c l 3 cnh ca tam giỏc tha món : a +b + c = 2.
Chng minh :
22
222
<+++
abccba
Bi 5: Cho 2 s thc x , y tha x
2
+ 4y
2
= 1 . Chng minh
2
5

yx
HD: S dng BT Bu-nhi-a-cp-ski vi
( ) ( )
[ ]

+
+
+
+
+
=
1
1
1
1
1
1
. Trong ú x , y , z l 3 s dng v
3
222
++
zyx
HD: S dng BT Bu-nhi-a-cp-ski vi n = 3 sau ú Chng minh
zxyzxyzyx
++++
222
Bi 7: Cho
6;0,0
+
yxyx
. Tỡm GTNN ca biu thc :
yx
yxP
86
23

yx
8
2
2
2
3
2
3
. Nh rng tớch 2 s khụng ụ thỡ tng
nh nht khi 2 s bng nhau
Trung học cơ sở Minh Đức
1
Tài liệu Bồi dỡng Học s inh Giỏi Toán 9
Bi 8: Cho
03

x
. Tỡm GTNN ca biu thc :
( )
xxxxP
++=
2.35.
.
HD: Chng minh
( )
2.32. xxP
+
suy ra GTNN
Bi 9: Cho a + b + c = 1. Chng minh :
6






+=
u
v
v
uA
.Vi u + v = 1 v u > 0; v > 0.
HD: Vit
22
11






++






+=
u
v

uv
. T ú tớnh c MinA = 12,5 khi u = v = 1/2
Bi 11: Cho a v b l 2 s dng ; a + b = 5. Tỡm GTNN ca biu thc :
ba
P
11
+=
.
HD: S dng BT Bu-nhi-a-cp-ski vi
( )
bav
ba
+






+
11
Bi 12: Cho a v b l 2 s dng ; a + b = 2007.
Tỡm GTNN & GTLN ca biu thc :
( ) ( )
abbbaaP
+++=
22
.
HD: Vit
( ) ( )

2
Tài liệu Bồi dỡng Học s inh Giỏi Toán 9
Bi 16: Tỡm GTLN & GTNN ca :
22
22
ybxyx
yaxyx
A
++
+
=
HD: Chia c t v mu cho xy. Nh rng :
( )
( )







<<+
+
0.;2
0.;2
yx
x
y
y
x

x
y
y
x
+
t Min
A t Min khi
x
y
y
x
+
t Max.
Bi 18: Tỡm GTLN & GTNN ca :
22
2
2
2
+
+
=
xx
x
A
Bi 19: Tỡm GTLN & GTNN ca :
22
2
2
2
++

3
1
23
=
xxx
HD:
a.
022222
23
=+++
xxx
( ) ( )
[ ]
02222
2
=+++
xxx
b. t
txx
=+
54
2
c.
9
=++
yxyx

( )( )
1011
=++

1
.
2
23
1
36
xx
xx
x
+=



023
2
=+
tt
Trung học cơ sở Minh Đức
3
Tài liệu Bồi dỡng Học s inh Giỏi Toán 9
Bi 4: Gii phng trỡnh:
333
511 xxx
=++
Bi 5: Gii phng trỡnh:
0321
3333
=++++++
xxxx
HD: Chn 1 nghim ri chng minh ú l nghim duy nht

2412723
22
=++++
xxxx


( )( )
246545
22
=++++
xxxx
Bi 10: Gii phng trỡnh :
03325
22
=++
xyyyx
HD:
03325
22
=++
xyyyx

( )
03254
22
=++
yyxyx
Bi 11: Gii phng trỡnh :
20082008
2



( )( )
01222
2
=+
xxx
Bi 13: Gii phng trỡnh :
1032209
2
+=++
xxx
HD:
1032209
2
+=++
xxx


( )
( )
031103
2
2
=+++
xx
Bi 14: Gii phng trỡnh :
( )
1313
22

1
4
1
3
1
1
3
1
2
1
1 ++++++++++++=C
HD: Vi a + b + c = 0 thỡ:
cbacba
111111
222
++=++
Bi 2: Rỳt gn biu thc:
128181223226
+++=
P
Bi 3: Rỳt gn biu thc:
20112007
1

139
1
95
1
51
1

Trung học cơ sở Minh Đức
4
Tài liệu Bồi dỡng Học s inh Giỏi Toán 9





=++
=+
0413
013
24322
22
yyyxyyx
yxyx
3
Cho h phng trỡnh sau:





=+++
=+
)2(;0443
)1(;
81
697
22





=
=
=
1
1
1
xz
zy
yx
ỏp ỏn
x = y = z =
2
51+
6
Gii h phng trỡnh sau:
( ) ( )





=+
=+
yxyyx
xyxyyx
211




+=+++
=++
3
3
1111
3
xyzzyx
zyx
ỏp ỏn
x = y = z = 1
Bt ng thc- Cc tr:
1 Chng minh vi mi s nguyờn dng n
a.
( )
1
11
1

3223
1
2112
1
<
+++
++
+
+

++
nn
( )
( )








+
<








+








+
=
+
=
+
1
11
2
1
11
1
1
1
11
1
11
1
11
1
1
1
.
nn
nnn
n
nnnn
n
nn
n
nn

+
=
>>>
nn
nnnnn
n
3 Chng minh
2
1
4321
+
++++
n
nn
( )
( )
nn +++++++ 3212 21
4 Chng minh bt dng thc sau vi cỏc s
dng a,b,c
( )
cabdcba
+++
2222
.
5 Chng minh bt dng thc sau vi cỏc s
dng a,b,c
( )( )
bdacdcba ++
6 Tỡm giỏ tr nh nht :
a.

=
1
1
1
1
1
42
3
2
a. Rỳt gn A.
b. Tỡm GTLN ca A.
Bi 2: Tỡm GTLN ca P = sinx.cosx v giỏ tr x tng ỳng vi
0
900 x
Bi 3: Gi s (x;y;z) l nghim ca h phng trỡnh :





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx

102102101101100100
bababa
+=+=+
. Tớnh
20082008
baP +=
Bi 2: Chng minh rng : Nu
abc
l s nguyờn t thỡ phng trỡnh
0
2
=++ cbxax
vụ nghim.
Bi 3:Gii cỏc h phng trỡnh sau:
a.
( )( )





=++++++
=
81111
1
tzyx
xyzt
b.
( ) ( )


Trung học cơ sở Minh Đức
7