Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
Ngày soạn : 26/08/10
Ngày dạy : 31/08/10
Chủ đề
1
Buổi 1
phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận
dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản.
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học
thông qua chứng minh các bất đẳng thức
- Tập chứng minh BĐT theo nhiều cách khác nhau
Thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý
khi giải toán.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án
- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức sĩ số
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Thế nào là một bất đẳng thức ? Cho ví dụ ?
- HS2: Nêu các tính chất của bất đẳng thức ? Cho các ví dụ minh họa ?
III. Bài mới


VD3: a
2
+ 1 < a
2
+ 2 vì (a
2
+ 1) - (a
2
+ 2) = -1 < 0
2) Các tính chất của BĐT.
+ Tính chất 1: a > b

b < a.
Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số
Trờng THCS Hồng Hng
+ Tính chất 2: a > b và b > c

a > c (tính chất bắc cầu)
+ Tính chất 3: a > b

a + c > b + c
+ Tính chất 4: a > b, c > d

a + c > b + d
a > b, c < d

a - c > b - d
+ Tính chất 5:
ac bc, nếu c > 0

n
> b
n
(n chẵn)
+ Tính chất 8: a > b > 0


n n
a b>
với mọi n
*
N
;
Hệ quả: a, b 0 =>
2 2
a b a b a b <=> <=>
+ Tính chất 9:
m n
m n
a 1 và m n a a với m,n N *
0 a 1 và m n a a với m,n N *


> > => >

< < > => <


3, Một số bất đẳng thức thông dụng :
a, Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm:

Dấu đẳng thức xảy ra <=>
y
b
x
a
=

c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :

baba
++
Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab

0
B Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Phơng pháp chung :
Cách 1 : Biến đổi BĐT cần chứng minh thành một BĐT tơng đơng mà ta đã biết là đúng
Cách 2 : Biến đổi BĐT đúng đã biết thành BĐT cần chứng minh
1. Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa
Phơng pháp chứng minh A > B :
- Bớc 1: Xét hiệu A B
- Bớc 2: Chứng minh A B > 0
- Lu ý :
A
2


0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
- A
2

=
ữ

2
a b
0
2


=
ữ Vậy:
2
a b
ab
2
+


ữ

dấu = xảy ra khi a = b.
Chú ý: Để chứng minh BĐT: Với hai số không âm a , b ta có :
ab
ba

+
2

2
x
2
- b
2
y
2
2byax
= (ay bx)
2


0
Vậy:
2 2 2 2 2
(a b )(x y ) (ax by)+ + +
dấu = xảy ra khi ay = bx hay
a b
x y
=
*) Bài tập 3: Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2
a b c d e a(b c d e)+ + + + + + +
Bài làm :
Xét hiệu
2 2 2 2 2
(a b c d e ) a(b c d e)
+ + + + + + +


2
+ y
2
+ z
2
+3

2(x + y + z)
Bài làm :
Ta xét hiệu : H = x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2( x + y + z)
= x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2x - 2y - 2z
= (x
2
- 2x + 1) + (y
2
- 2y + 1) + (z
2
- 2z + 1)

+ z
2
+3

2(x + y + z) với mọi x, y, z .
Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1.
*) Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có : x
4
+ y
4


xy
3
+ x
3
y
Bài làm :
Xét hiệu : x
4
+ y
4
( xy
3
+ x
3
y ) = ( x
4
xy
3

3
1
x y y
2 4

+ +
0
Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng . Dấu = xảy ra khi x = y .
*) Bài tập 6:
Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1
Chứng minh rằng : ( 1 +
1
a
)( 1 +
1
b
)

9 (1)
Bài làm :
Ta có ( a +
1
a
.)( b +
1
b
)

)
2 2
a b a b a b a b a 2 ab b a b
2 ab 0 (BĐT đúng vì a, b > 0 )
+ > + <=> + > + <=> + + > +
<=> >
Vậy
a b a b+ > +
Cách 2 :
(
)
2
a b a b a 2 ab b a b (vì 2 ab 0)+ = + = + + > + >
Cách 3 : Vì a > 0, b > 0 nên
a b
1, 1
a b a b
< <
+ +
, do đó
a a b b
,
a b a b a b a b
> >
+ + + +
Cộng vế với vế của hai BĐT cùng chiều => đpcm
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011

3
+ +

(BĐT Cô-si cho ba số không âm)
H ớng dẫn :
Cách 1 : Bài toán phụ : Chứng minh rằng
( ) ( )
2 2
3 3 3 2
1
x y z 3xyz (x y z) ( x y) y z z x
2

+ + = + + + + Hớng dẫn : Ta biến đổi từ VP để có VT
Với x, y, z 0 =>
3 3 3
x y z 3xyz+ +
0 =>
3 3 3
x y z
xyz
3
+ +

Đặt x =
3 3 3
a ,y b ,z c (a,b,c 0)= =

=>
4
x y z t
xyzt
4
+ + +


ữ

Do đó
( )
4
4
a b c
a b c
a b c 3 a b c
abc
3 4 3
+ +

+ + +
ữ
+ + + +
=
ữ
ữ

Trờng hợp một trong ba số a, b, c bằng 0, bài toán đợc chứng minh
Trờng hợp a, b, c đều khác 0 , ta có a + b + c > 0


+
baba
H ớng dẫn :
Xét hiệu : H =
2
22
22






+

+
baba
=
4
)2()(2
2222
bababa
+++
=
0)(
4
1
)222(
4

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1: Viết các tính chất của bất đẳng thức ?
- HS2: Giải bài tập đã cho tiết trớc
III. Bài mới
2. Phơng pháp 2 : Dùng tính chất của bất đẳng thức
*) Bài tập 1 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện
x + y = 2. Chứng minh x
4
+ y
4

2
Bài làm :
- Ta có: (x
2
y
2
)
2


0 (với mọi x, y)


4


2(x
4
+ y
4
)

(x
2
+ y
2
)
2
(1)
dấu = xảy ra khi x = y hoặc x = - y.
- Mặt khác, ta có: (x y)
2


0 (với mọi x, y)


x
2
+ y
2



3
a b c a b c
4
+ + +
Bài làm :
Ta có:
2
2
1 1
a 0 a a
2 4

+ +
ữ
2
2
1 1
b 0 b b
2 4

+ +
ữ2
2
1 1

Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b .
Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)
(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
Do 0 < a, b, c, d <1 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0
=>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
*) Bài tập 4 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng :
2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b
2
c + c
2
a
Bài làm :
Do 0 < a, b < 1 => a
3
< a
2
< a < 1 ; b
3
< b

+ a
3
< 1 + c
2
a .
=> 2a
3
+ 2b
3
+ 2c
3
< 3 + a
2
b + b
2
c + c
2
a
*) Bài tập 5 : Từ bất đẳng thức
( )
2
a b 0

, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau :
+)
( )
2
2 2
a b a b
2 2

+)
2 2
a b 2(a b ) (a,b 0)+ + >
(BĐT Bu-nhi-a-côp-xki)
+)
a b 2 ab (a, b 0)+ >
(BĐT cô-si)
3. Phơng pháp 3 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
- Quá trình chuyển từ một bất đẳng thức sang một bất đẳng thức tơng đơng gọi là một
phép biến đổi tơng đơng .
- Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất
đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng .
- Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , nếu một bất đẳng thức đúng thì bất đẳng thức kia
cũng đúng .
Ta có sơ đồ : A > B A
1
> B
1
A
2
> B
2
A
n
> B
n

*) Bài tập 6 :
Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :



4ab
Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
*) Bài tập 7 :
Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4
Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a)

a
3
b
3
c
3

Giải:
Từ : (a + b)
2


4ab , (a + b + c)
2
=
[ ]
cbacba )(4)(
2
+++
=> 16

4(a + b)c => 16(a + b)







+

+
baba
; trong đó a > 0 ; b > 0
Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0

3
33
22






+

+
baba





ba
a
2
- ab + b
2



2
2






+
ba
4a
2
- 4ab + 4b
2


a
2
+ 2ab + b
2

3a

Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a
3
+ b
3
+ ab


2
1
Giải :
Ta có : a
3
+ b
3
+ ab


2
1
<=> a
3
+ b
3
+ ab -
2
1


0
<=> (a + b)(a


0 ( vì b = a -1 )
<=> 4a
2
- 4a + 1

0
Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số
Trờng THCS Hồng Hng
<=> ( 2a - 1 )
2


0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a
3
+ b
3
+ ab


2
1
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =
2
1
*) Bài tập 10 :
Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :

a

[ ]
0)()()(
33
++
baabba

0)())((
+++
baabbababa

0)2)((
++
bababa

2
( a b )( a b ) 0+

Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra :
a
b
a




a
b
b

*) Bài tập 11 :


4 ab ( a b )
2


0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1) đợc
chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức a = b.
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài đã chữa
- Giải tiếp các bài tập sau:
*) Bài tập 12 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 3(m + 1) + m < 4(2 + m)
b) b(b + a)

ab
c) a(a b)

b(a b)
d)
2
c 1
c 1 2

+

*) Bài tập 13 : Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1.
Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1)

8