Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 8 Môn Toán Đại Số
Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG
A. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng:
( )
22
2
2 BABABA
++=+
=
( )
ABBA 4
2
+−
2. Bình phương của một hiệu:
( ) ( )
22
22
2 BABAABBA
+−=−=−
=
( )
ABBA 4
2
−+
3. Hiệu của hai bình phương:
( )( )
BABABA
+−=−
22
4. Lập phương của tổng:

* Một số hằng đẳng thức tổng quát
1. a
n
– b
n
= (a- b)(a
n-1
+ a
n-2
b

+ … + ab
n-2
+ b
n-1
)
2. a
2k
– b
2k
= (a + b )(a
2k-1
– a
2k-1
b + … + a
2k-3
b
2
–b
2k-1

2.1
)1( −nn
a
2
b
n-2
+nab
n-1
+ b
n
5. (a -b)
n
= a
n
- na
n-1
b +
2.1
)1( −nn
a
n-2
b
2
- …-
2.1
)1( −nn
a
2
b
n-2

2222
. BYAXBYAXYXBA
++−=++
Bài tập 2. Tính :
a/ A = 1
2
– 2
2
+ 3
2
– 4
2
+ … – 2004
2
+ 2005
2
b/ B = (2 + 1)(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) – 2
64
Giải
a/ A = 1

4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) – 2
64
B = (2
2
- 1) (2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) – 2
64
B = ( 2
4
– 1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2

+ 8x
c/ C = - 2x
2
+ 8x – 15
Giải
a/ A = x
2
– 4x + 7 = x
2
– 4x + 4 + 3 = ( x - 2)
2
+ 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
b/ B = x
2
+ 8x = (x
2
+ 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)
2
– 16 > - 16
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 4 = 0 ⇔ x = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.
c/ C = - 2x
2
+ 8x – 15 = – 2(x
2
– 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)
2
– 7 < - 7

2
- ab - bc – ac = 0
 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
- 2ab - 2bc – 2ac = 0
 ( a
2
– 2ab + b
2
) + ( b
2
– 2bc + c
2
) + ( c
2
– 2ac + a
2
) = 0
 ( a – b)
2
+ ( b – c)
2
+ ( c – a)
2
= 0
 ( a – b)

+ 12.6
n


19 ( n
∈
N)
b/ 11
n+2
+ 12
2n+1


133 ( n
∈
N)
Giải
a/ 7.5
2n
+ 12.6
n
= 7.(25
n
– 6
n
) + 19.6
n


19



133 = 11
2
. 11
n
+ 12.12
2n

= 12.( 144
n
– 11
n
) + 133.11
n


133
Vì (144
n
– 11
n
)

(144 – 11) nên (144
n
– 11
n
)


+ 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Giải
2x
2
+ 2y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
⇔ (x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz) + (x
2
+ 10x + 25) + (y
2
+ 6y + 9) = 0
⇔ ( x + y + z)
2
+ ( x + 5)
2
+ (y + 3)
2
= 0
⇔ ( x + y + z)
2
= 0 ; ( x + 5)

Ta có : y =

1 soá chöõ n
19...11
=

1 soá chöõ n
15...11
+ 4 = x + 4
Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x
2
+ 4x + 4 = ( x + 2 )
2
hay xy + 4 =
 
1 soá chöõ n
2
17...11
là số chính phương.
B. Ứng dụng hằng đẳng thức
HUỲNH MINH KHAI.THCSTTCKÈ
Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 8 Môn Toán Đại Số
Xét bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử: a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc
Ta có: a

+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ac)
=
2
1
(a + b + c) [(a-b)
2
+ (b-c)
2
+ (a-c)
2
]
Nhận xét: Nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc thì a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = 0
=>
2

Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)
3
+ (y – z)
3
+ (z - x)
3
thành phân tử.
Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x-y)
3
+ (y – z)
3
+ (z - x)
3
= 3(x-y) (y-z) (z-x)
Bài 2: Phân tích đa thức (x
2
+ y
2
)
3
+ (z
2
– x
2
)
3

3
+ (z
2
– x
2
)
3
+ (-y
2
- z
2
)
3
Ta thấy x
2
+ y
2
+ z
2
– x
2
– y
2
– z
2
= 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x
2
+y
2

) (x+z)(x-z)(y
2
+z
2
)
Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
thành nhân tử
(x+y+z)
3
– x
3
-y
3
-z
3
=[(x +y) +z]
3
– x
3
– y
3
– z
3

–(x+y-z)
3
-(x-y+z)
3
-(-x+y+z)
3
Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c.
=>x+y+z = a+b+c
=>(a+b+c)
3
- a
3
- b
3
-c
3
= 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
Bài 1: Cho
0
111
=++
zyx
tính P =
222
y
zx
x
yz
z

y
xyz
x
xyz
z
xyz
y
zx
x
yz
z
xy
Bài 2: Cho abc
≠
0, a
3
+b
3
+c
3
= 3abc tính A =






+



=++
cba
cba 0
Nếu a+b+c = 0 thì A =
1.. −=
−−−
=






+






+






+
α
b

z
2
. Tính P =






+






+








+
x
z
z
y



==
=++
cba
cba 0
Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz
HUỲNH MINH KHAI.THCSTTCKÈ