PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Một trong những chuyên đề rất quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học
sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế, đó là phương trình hàm, bất phương trình hàm. Có
rất nhiều tài liệu viết về chuyên đề này. Qua một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học
sinh giỏi toán quốc gia và qua một số kì tập huấn hè tại Đại học khoa học tự nhiên – Đại học
quốc gia Hà Nội, chúng tôi rút ra một số kinh nghiệm dạy về chuyên đề này và trao đổi với các
đồng nghiệp.
Phần I: NHẮC LẠI NHỮNG KHÁI NIÊM CƠ BẢN
1. Nguyên lý Archimede
Hệ quả:
! : 1x k k x k
∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ ≤ < +
¢¡
.
Số k như thế gọi là phần nguyên của x, kí hiệu [x]
Vậy :
[ ] [ ]
1x x x
≤ < +
2. Tính trù mật
Tập hợp
A
⊂
¡
gọi là trù mật trong
¡

⇔

, ,x y x y
∀ ∈ <

thì a
≤
x
Số x được gọi là một cận dưới của tập A nếu với mọi
a A
∈
thì a
≥
x
Cận trên bé nhất( nếu có) của A được gọi là cận trên đúng của A và kí hiệu là supA
Cận dưới lớn nhất( nếu có) của A được gọi là cận dưới đúng của A và kí hiệu là infA
Nếu supA
∈
A thì sup A
≡
maxA
Nếu inf A
∈
A thì infA
≡
minA
Ví dụ: cho a < b
Nếu A = (a, b) thì sup A = b
inf A = a
Nếu A = [a, b] thì sup A = max A =b
inf A = min A = a
Tính chất:
Tính chất 1: Nếu A
≠ ∅
, A bị chặn thì tồn tại supA, infA

Với mọi
1 2 1 2 1 2
, ( , ), ( ) ( )x x a b x x f x f x∈ ≤ ⇒ ≤
• Hàm số f(x) gọi là giảm trên (a, b) nếu :
Với mọi
1 2 1 2 1 2
, ( , ), ( ) ( )x x a b x x f x f x∈ ≤ ⇒ ≥
Phần II. CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG
Phương pháp 1: Hệ số bất định.
Tạp chí toán học trong nhà trường, số 8 – 2004 trang 62 – 66 (bản tiếng Nga)
Nguyên tắc chung:
 Dựa vào điều kiện bài toán, xác định được dạng của f(x), thường là f(x) = ax + b hoặc f(x) =
ax
2
+ bx + c
 Đồng nhất hệ số để tìm f(x)
 Chứng minh rằng mọi hệ số khác của f(x) đều không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Phương pháp dồn biến
Bài 1: Tìm f:
→
¡ ¡
sao cho:
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 4 .( ), ,x y f x y x y f x y xy x y x y− + − + − = − ∀ ∈ ¡
Giải:
Đặt
2
2
u v
x

α
α
ε α ε
β
β
ε β ε
≤ ∀ ∈

= ⇔

∀ > ∃ ∈ − <

≥ ∀ ∈

= ⇔

∀ > ∃ ∈ + >

2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
, , 0
vf u uf v u v uv
f u f v
u v u v
u v
⇒ − = −
⇒ − = − ∀ ≠
Cho v = 1 ta có:

1 1
1 1
1 2 2 1 2 1
x y y
y x x
x y y
− −
= − ⇒ = ⇒ − =
− − −

1 1
( 1) 3 1 2 ,
1 2 2
1 1 1
3 ( 1) ,
1 2 2 1 2
3
8 ( 1) 1 2
1 2
1 3 1
( 1) 1 2 ,
8 2 1 2
1 3 1
( ) 1 2 ,
8 2 1 2
x
f x f x x
x
x
f f x x

 ÷
−
 
 
⇒ = + + ∀ ≠
 ÷
+
 
Ví dụ 1: Đa thức f(x) xác định với
x
∀ ∈
¡
và thỏa mãn điều kiện:

2
2 ( ) (1 ) ,f x f x x x+ − = ∀ ∈ ¡
(1) . Tìm f(x)
Giải:
Ta nhận thấy vế trái của biểu thức dưới dấu f là bậc nhất : x, 1 – x vế phải là bậc hai x
2
.
Vậy f(x) phải có dạng: f(x) = ax
2
+ bx + c
Khi đó (1) trở thành:
2(ax
2
+ bx + c) + a(1 – x)
2
+ b(1 – x) + c = x


=

=


 
− = ⇔ =
 
 
+ + =


= −


1 1 1
3 ( 1) ,
2 1 2 1 2
1 1 1
3 ( 1) ,
1 2 2 1 2
y
f f y y
y y
x
f f x x
x x
 
− −

2
0 0 0
2 ( ) (1 )g x g x x
+ − =
Thay x bởi 1 –x
0
ta được
2
0 0 0
2 (1 ) ( ) (1 )g x g x x
− + = −
Từ hai hệ thức này ta được:
2
0 0 0 0
1
( ) ( 2 1) ( )
3
g x x x f x
= + − =
Điều này mâu thuẫn với
0 0
( ) ( )g x f x
≠
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là
2
1
( ) ( 2 1)
3
f x x x
= + −

2 2
0
0 0
a a
a a
ab
b b
 
+ −

− =
= =
 
⇔ ∨
  
=

 
= =
 
Ta tìm được hai hàm số cần tìm là:
Hiển nhiên thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ví dụ 3: Hàm số
:f
→
¢ ¢
thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

) ( ( )) , (1)
) ( ( 2) 2) , (2)

0
a a
a
b b
ab b
= = −

=
 
⇔ ∨
  
= =
+ =
 

Với
1
0
a
b
=


=

ta được f(n) = n
Trường hợp này loại vì không thỏa mãn (2)
Với
1
0

là số tự nhiên bé nhất làm cho
0 0
( ) ( )f n g n
≠
Do f(n) cũng thỏa mãn (4) nên ta có:
0 0 0 0
0 0
( 2) ( ) 2 ( ) 2 ( 2)
( 2) ( 2)
g n g n f n f n
g n f n
− = + = + = −
⇔ − = −
Mâu thuẫn với điều kiện n
0
là số tự nhiên bé nhất thỏa mãn (5)
Vậy f(n) = g(n) ,
n
∀ ∈
¥
Chứng minh tương tự ta cũng được f(n) = g(n) với mọi n nguyên âm.
Vậy f(n) = 1 – n là nghiệm duy nhất.
Từ đó tính được f(1995), f(-2007).
Các bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm tất cả các hàm số
:f
→
¡ ¡
thỏa mãn điều kiện:
2

1 1 8 2
3 5 , 0, ,1,2
3 2 2 1 3
x x
f f x
x x x
− −
     
− = ∀ ∉ −
 
 ÷  ÷
+ − −
     