Chuyªn ®Ị I. ®¹i c¬ng vỊ dao ®éng ®iỊu hoµ
A. lý thut.
* Dao ®éng, dao ®éng tn hoµn, dao ®éng ®iỊu hoµ.
• Dao ®éng: Lµ chun ®éng cã giíi h¹n trong kh«ng gian, lỈp ®i lỈp l¹i nhiỊu
lÇn quanh mét vÞ trÝ x¸c ®Þnh (gäi lµ vÞ trÝ c©n b»ng- VTCB).
• VTCB lµ vÞ trÝ cđa vËt khi ®øng yªn.
• Dao ®éng tn hoµn: Lµ dao ®éng mµ tr¹ng th¸i chun ®éng cđa vËt ®ỵc lỈp
l¹i sau nh÷ng kho¶ng thêi gian b»ng nhau bÊt k×.
• Tr¹ng th¸i cđa vËt ®ỵc x¸c ®Þnh bëi vÞ trÝ vµ híng chun ®éng.
• Dao ®éng ®iỊu hoµ: Lµ dao ®éng trong ®ã li ®é cđa vËt lµ mét hµm cosin
(hay sin) cđa thêi gian.
* Phương trình của dao động điều hòa
• Phương trình dao động ®iỊu hoµ: x = Acos(ωt + ϕ). Trong đó: A, ω và ϕ là
những hằng số.
• A là biên độ dao động (A > 0). Nó là li độ cực đại (độ lệch cực đại khỏi vò
trí cân bằng) của vật. Nếu gọi BB’ là chiều dài quỹ đạo của vật dao động điều hoà
thì: A =
2
'BB
.
• (ωt + ϕ) là pha của dao động tại thời điểm t; đơn vò rad – Cho biết trạng
thái dao động (vò trí và chiều chuyễn động) của vật tại thời điểm t.
• ϕ là pha ban đầu của dao động; đơn vò rad – Cho biết trạng thái dao động
của vật tại thời điểm ban đầu ( t
0
= 0 ).
• Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi
là hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều có đường kính là đoạn thẳng đó.
Đường tròn quỹ đạo của điểm M gọi là đường tròn Fresnen. Một dao động điều hoà
có thể được biểu diễn bằng một véctơ quay.
• Trạng thái dao động của vật tại một thời điểm được đặc trưng bởi: vò trí và

2
π
).
• Ở vò trí biên (x = ± A), vận tốc bằng 0.
• Ở vò trí cân bằng (x = 0), vận tốc có độ lớn cực đại : v
max
= ωA.
• Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian: a = v' = x’’ = - ω
2
Acos(ωt +
ϕ) = - ω
2
x hoặc a = v’ = x’’ = - ω
2
Acos(ωt + ϕ) = ω
2
Acos(ωt + ϕ + π).
• Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vò trí cân bằng và
có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ.
• Ở vò trí biên (x = ± A), gia tốc có độ lớn cực đại : a
max
= ω
2
A.
• Ở vò trí cân bằng (x = 0), gia tốc bằng 0.
• Đồ thò của dao động điều hòa là một đường hình sin.
• Hệ thức độc lập với thời gian:* A
2
= x
2

Dạng 1. X¸c ®Þnh pha ban ®Çu cđa dao ®éng.
• NÕu bµi ra cho ®iỊu kiƯn ban ®Çu x
0
vµ v
0
, ta dùa vµo ph¬ng tr×nh dao ®éng
tỉng qu¸t d¹ng: x = Acos(ωt + φ) khi ®ã pha ban ®Çu φ ®ỵc x¸c ®Þnh theo ®iỊu kiƯn: t
0
= 0



−=
=
⇒
ϕω
ϕ
sin
cos
0
0
Av
Ax
(1) ; thay x
0
vµ v
0
vµo (1) ta t×m ®ỵc φ (chó ý: vËt chun ®éng theo
chiỊu d¬ng v
0

đợc chọn khi vật đi qua VTCB theo chiều âm thì pha ban đầu là bao nhiêu?
4. Một vật dao động điều hoà với biên độ A = 10cm, thời điểm ban đầu đợc chọn
khi vật đi qua vị trí có li độ x = - 5cm theo chiều âm của trục toạ độ. Xác định pha ban
đầu của dao động của vật.
5. Nếu mốc thời gian đợc chọn là lúc vật ở vị trí biên thì pha ban đầu của dao
động của vật là bao nhiêu?
Daùng 2. Xác định chu kì, tần số của dao động.
Xác định T và f theo các công thức định nghĩa: Từ phơng trình x = Acos(t +
), nếu gọi T là chu kỳ của dao động ta có: x = Acos(t + ) = Acos[(t + T) + ] =
Acos(t + + T) = Acos(t + + 2). Vậy T = 2 hay T =


2
. Từ đó theo định
nghĩa ta có: f =


2
1
=
T
.
Xác định T và f theo định nghĩa: Nếu gọi t là thời gian để vật thực hiện N dao
động thì chu kỳ dao động của vật là: T =
N
t
và tần số của dao động là: f =
t
N
.

1
đến t
2
: N =
T
m
n
T
tt
+=

12
với
T =


2
(n

Z).
Nếu m = 0 thì s
T
= n4A.
Nếu m

0 thì:
Tính x
1
và xác định dấu của v
1

.
* Tính quãng đờng dài nhất mà vật có thể đi đợc trong khoảng thời gian
12
ttt =
(với 0 <
t
<
2
T
).
Nhận xét:
- Vì 0 <
t

<
2
T
nên s
max
<2A.
- Để quãng đờng vật đi trong thời gian 0 <
t

<
2
T
là lớn nhất thì phần
lớn thời gian trong khoảng t vận tốc của vật phải tăng, nghĩa là trong phần lớn thời gian
đó vật phải chuyển động hớng về VTCB đồng thời vật chỉ có thể đi qua VTCB một lần.
- Để quãng đờng mà vật đi đợc là lớn nhât thì vận tốc của vật phải

1
+ )| =






+
+




)
2
(sin)
2
sin(2
12
tt
t
A
.
)
2
sin(2
max
t
As

max
t
AnAs

+=


* Tính quãng đờng ngắn nhất mà vật có thể đi đợc trong khoảng thời gian
12
ttt =
(với 0 <
t
<
2
T
).
Nhận xét:
- Vì 0 <
t

<
2
T
nên s
min
< 2A.
- Để quãng đờng vật đi trong thời gian 0 <
t

<

1
+
) + Acos(t
2
+ )] = 2A- 2Acos






+
+



)
2
(cos
2
21
tt
t

2
cos22
min
t
AAs


1
+
) + Acos(t
2
+ )] = 2A + 2A cos






+
+



)
2
(cos
2
21
tt
t

2
cos22
min
t
AAs


( với 0<
't

<
2
T
) khi đó quãng
đờng ngắn nhất mà vật đi đợc là
)
2
cos(2)1(2
min
t
AnAs

+=


Baứi taọp aựp duùng.
1. Một vật dao động điều hoà với tần số góc = 10 rad/s. Tại thời điểm ban đầu
t = 0 vật ở vị trí có li độ x = 2cm và có vận tốc v =
(cm/s)320
. Tính quãng đờng mà
vật đi đợc trong khoảng thời gian
4
1
chu kì kể từ thời điểm t = 0.
2. một vật dao động điều hoà theo phơng trình x = 4sin(20t -
6


chu kì T. Trong khoảng thời gian
3
1
T, quãng đờng nhỏ nhất mà vật có thể đi đợc là bao
nhiêu?
8. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh VTCB O với biên độ A,
chu kì T. Trong khoảng thời gian
4
1
T, quãng đờng nhỏ nhất mà vật có thể đi đợc là bao
nhiêu?
9. Một vật dao động với phơng trình
x

=

4cos4t

(cm). Tính quãng đờng mà vật
đi đợc trong khoảng thời gian 30s kể từ lúc t = 0.
10. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 10sin(
3
4


+t
) cm. Tính
quãng đờng vật đi từ thời điểm t
1
=

.
* Phơng pháp.
* Cách 1: Giải phơng trình x
0
= Acos(t + ).
1
0
2
2
cos( ) cos 2
2
b k
t
x
t b t b k
b k
A
t

= +


+ = = + = +


ứng với nghiệm t
1
(nếu b > 0), ứng với
nghiệm t
2
(nếu b < 0).
* Khi
0
b



>
thì
1
2
n
k

=
nếu n lẻ,
1
2
n
k =
nếu n chẵn.
* Khi
0
b


với s là độ dài cung
MOM
0
.
Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x
0
lần thứ n là: t =


2
)
2
1
(
n
+ t
1
nếu n là số
nguyên lẻ; t =


2
)
2
2
(
n
+ t
1
nếu n là số nguyên chẵn.

3
cm theo chiều dơng của trục toạ độ lân thứ
2015.
6. Một vật dao động điều hoà theo phơng trình x = 4cos(
2 3
t


) cm. Xác định
thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = -2
3
cm theo chiều âm của trục toạ độ lân thứ
2009.
4.2. Xác định thời điểm vật có vận tốc v
0
.
* Phơng pháp.
* Cách 1: Giải phơng trình: v
0
= - Asin(t + ).



+=+
+=+
==+






= +


Với k

N khi



>
>
0
0


b
b
và k
*
N
khi



<
<
0
0


b
b
thì
1
2
n
k

=
nếu n lẻ,
1
2
n
k =
nếu n chẵn.
* Khi



<
<
0
0


b
b
thì
1
2

v
uur
lần thứ n.
* Bài tập áp dụng.
1. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 8cos(2t -
6

)(cm). Xác định
thời điểm vật có vận tốc v
0
= - 8 cm/s lần thứ 2010.
2. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 2cos(10t +
2

)(cm). Xác định
thời điểm vật có vận tốc v
0
= 0 cm/s lần thứ nhất.
3. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 5cos(2t -
2

)(cm). Xác định
thời điểm vật có vận tốc bằng nữa vận tốc cực đại lần thứ 2011.
4. (Đề ĐH 2008). Một vật dao động điều hoà có chu kỳ T. Nếu chọn mốc thời
gian lúc vật đi qua vị trí cân bằng, thì trong nữa chu kỳ đầu tiên, vận tốc của vật bằng
không ở thời điểm nào?
5. Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = 4cos(10t -
3

)(cm). Xác định




=
=
A
x
A
x
2
2
1
1
cos
cos


thoả mãn 0
1
;
2
.
Thời gian ngắn nhất cần tìm là:




12

=



+t
)(cm). Tìm khoảng
thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x
1
=-3
2
(cm) đến li độ x
2
=3
3
(cm).
5. Một vật dao động điều hòa có biên độ A= 4(cm), chu kỳ T= 0,1(s). Chọn t=0 là
lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều (+).Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ
vị trí có li độ x
1
=2(cm) đến vị trí có li độ x
2
= 4(cm).
Daùng 5. Xác định tần suất ( số lần vật đi qua vị trí có li độ x
0
hoặc số lần vật có vân tốc
đạt giá trị v
0
).
* Phơng pháp.
Trớc khi tìm hiểu chi tiết phơng pháp giải bài toán dạng này ta có các nhận xét sau:
Mỗi 1 chu kỳ vật qua vị trí bất kỳ 2 lần (riêng với điểm biên thì 1 lần).
Mỗi một chu kỳ vật đạt vận tốc

Từ t ta cung tròn bán kính quỹ đạo quét đợc trong khoảng thời gian d
(cung d) t:

= t.

từ đó vị trí cuối quá trình
2
=
1
+ .
Đếm số giao điểm của cung d với vị trí đề bài cho.
Nếu khi t = 0 vật xuất phát từ vị trí khác x
0
thì N = số giao điểm nói trên.
Nếu khi t = 0 vật xuất phát từ vị trí x
0
thì N = N của trờng hợp trên cộng thêm
1.
*Phơng pháp đồ thị.
Vẽ đồ thị li độ (hoặc vận tốc ) theo thời gian.
Xác định số giao điểm của đồ thị với đờng thẳng x = x
0
(hoặc v = v
0
) trong
khoảng thời gian [ t
1
,t
2
] đã cho.


= +


Kết hợp với điều kiện t
1
t t
2
đếm số các giá trị nguyên của k.
Giải phơng trình: v
0
= - Asin(t + ).



+=+
+=+
==+




2
2
sin)sin(
0
kbt
kbt
b
A

đếm số các giá trị nguyên của k.
* Bài tập áp dụng.
1. Một con lắc dao động với phơng trình x = 3cos(4t-
3

) cm. Xác định số lần
vật qua li độ x = 1,5cm trong 1,2s đầu.
2. Một vật dao động với phơng trình x = 4cos3t cm. Xác định số lần vật có tốc
độ 6 cm/s trong khoảng (1;2,5) s.
3. Một chất điển dao động điều hoà với phơng trình x = 3cos
)
6
5(


+t
(cm, s ).
Trong một giây đầu tiên kể từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = + 1cm
mấy lần?
4. Phơng trình li độ của vật dao động điều hoà là:
)
2
5sin(4


= tx
. Kể từ khi
bắt đầu dao động đến thời điểm t = 1,5s thì vật đi qua li độ x = 2cm bao nhiêu lần?
5. Phơng trình li độ của vật dao động điều hoà là:
)


=
cm. Trong
7
6
s
kể từ khi bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có li độ x = 1cm mấy lần?
9. Phơng trình li độ của một vật là x = 4cos(
5 t

+
) cm. Kể từ lúc bắt đầu dao
động đến thời điểm t = 1,5s thì vật qua vị trí có li độ x = 2cm đợc mấy lần?
Daùng 6. Lập phơng trình dao động
* Phơng pháp.
Tính

:
+

=
2
2 f
T


=
.
+ A
2

a
max
=


• TÝnh A:
+ A
2
= x
2
+
2
2
ω
v

2
2
2
ω
v
xA +=⇒
.
+
2 2 2 2
2
4 2 4 2
a v a v
A A
ω ω ω ω

vµ
ϕ
vµo ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t: x = Acos(ωt + ϕ). Ta cã ph-
¬ng tr×nh dao ®éng cđa vËt.
* Bµi tËp vËn dơng.
1. Mét vËt dao ®éng ®iỊu hßa víi tÇn sè f = 2(Hz), A = 20(cm). LËp ph¬ng tr×nh
dao ®éng trong mçi trêng hỵp sau:
a. Chän gèc thêi gian lóc vËt qua vÞ trÝ c©n b»ng theo chiỊu (+).
b. Chän gèc thêi gian lóc vËt qua vÞ trÝ cã li ®é x=10(cm) theo chiỊu ©m cđa trơc
to¹ ®é.
c. Chän gèc thêi gian lóc vËt ë vÞ trÝ biªn (+).
d. Chän gèc thêi gian khi vËt ®i qua vÞ trÝ cã li ®é x = -10
3
cm theo chiỊu d¬ng
cđa trơc to¹ ®é.
2. Mét vËt dao ®éng ®iỊu hßa trªn mét ®o¹n th¼ng dµi 20(cm) vµ thùc hiƯn 150
dao ®éng/phót. Lóc t = 0 vËt qua vÞ trÝ cã täa ®é +5(cm) vµ ®ang híng vỊ vÞ trÝ c©n b»ng.
Vݪt ph¬ng tr×nh dao ®éng cđa vËt.
3. Mét chÊt ®iĨm dao ®éng ®iỊu hßa ®i ®ỵc 40(cm) trong mét chu kú. ViÕt ph¬ng
tr×nh dao ®éng biÕt r»ng lóc t = 0 chÊt ®iĨm qua vÞ trÝ c©n b»ng víi vËn tèc 31,4(cm/s)
theo chiỊu (+) ®· cho trªn q ®¹o.
4. Mét vËt dao ®éng ®iỊu hßa víi T=1,256(s) lóc t = 0 chÊt ®iĨm qua vÞ trÝ cã li
®é x=-2(cm) víi vËn tèc 10(cm/s) vỊ phÝa biªn gÇn nhÊt. ViÕt ph¬ng tr×nh dao ®éng cđa
vËt.
5. VËt dao ®éng ®iỊu hoµ thùc hiƯn 5 dao ®éng trong thêi gian 2,5 s, khi qua vÞ trÝ
c©n b»ng vËt cã vËn tèc 62,8 (cm/s). LËp ph¬ng tr×nh dao ®éng ®iỊu hoµ cđa vËt, chän gèc
thêi gian lóc vËt cã li ®é cùc ®¹i (+).
6. VËt dao ®éng ®iỊu hoµ: khi pha dao ®éng lµ
3
π

9. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, vận tốc của vật khi đi qua VTCB
là 62,8cm/s và gia tốc cực đại của vật là 2m/s
2
. Lấy
2
10

=
. Viết phơng trình dao động
của vật nếu gốc thời gian đợc chọn là lúc vật qua điểm M
0
có li độ x
0
= - 10
2
cm theo
chiều dơng trục tọa độ còn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của vật.