Phơng trình lợng giác thờng gặp trần mạnh sâm thpt
lạng giang số 2
I. Phơng trình đa về phơng trình bậc 2, 3, bậc
cao chỉ chứa một hàm số lơng giác
Phơng pháp: Đặt t = hàm số lợng giác đó
Chú ý: Đặt
sin , cost x x=
. ĐK
1 1t

Các công thức hay sử dụng:
2 2 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= = =

3
sin 3 3sin 4sina a a=
;
3
cos3 4cos 3cosa a a=
Ví dụ 1. Giải các phơng trình
1.D-06
cos3 cos2 cos 1 0x x x+ =
(1)
Giải
( )
3 2
1 4 cos 3cos 2 cos 1 cos 1 0x x x x + =
3 2
2cos cos 2cos 1 0x x x + =
( )
( )

= +



=

Â
2.A-05
2 2
cos 3 .cos2 cos 0x x x =
(2)
( )
1 cos 6 1 cos 2
2 .cos 2 0
2 2
x x
x
+ +
=
cos 6 .cos 2 1 0x x =
( )
1
cos8 cos 4 1 0
2
x x + =
2
2cos 4 1 cos 4 2 0x x + =
2
cos 4 1
2cos 4 cos 4 3 0

x


+ + +
ữ

=
+
(3)
Điều kiện:
tan 1
cos 0
x
x





( ) ( ) ( )
3 2 sin 1 sin cos 2 1 tan .cos
4
x x x x x


+ + + = +
ữ


( ) ( )

6
7
2
6
x k
k
x k





= +




= +


Â
Bài tập tơng tự
4. B-04
2
5sin 2 3(1 sin ) tanx x x =
5.A-06
( )
6 6
2 sin cos sin cos
0



II. Phơng trình bậc nhất đối với sin và cos:

2 2
sin cos ( 0)a x b x c a b+ = +

Phơng pháp: Chia cả hai vế cho
2 2
a b+
rồi đặt
2 2 2 2
cos ;sin
a b
a b a b

= =
+ +
(0 2 )Đa phơng trình về dạng:
2 2 2 2
sin .cos cos sin sin( )
c c
x x x
a b a b

+ = + =
+ +

sin cos
2 2 2
x x + =

1
sin .cos cos .sin
3 3 2
x x

+ =
1
sin
3 2
x


+ =
ữ( )
2
2
3 6
6
5
2
2
3 6
2

Â
2.A-09
( )
( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x

=
+
(2)
Điều kiện:
sin 1
1
sin
2
x
x







( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sinx x x x = +
1

2
6 3
18 3
x k
x x k k
x k






= +


= + +

ữ


= +


Â
Kết hợp với điều kiện ta đợc nghiệm của phơng
trình là
2
18 3
x k


x x k



= +
ữ

( )
2
6
2
42 7
x k
k
x k




= +




= +


Â
Bài tập tơng tự
4)D-09.

có là nghiệm hay không?


Nếu
cos 0x
, chia cả hai vế của phơng
trình cho
2 3
cos ,cosx x
rồi đặt
tant x=
Ví dụ 3. Giải các phơng trình
1)B-08
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3 sin cosx x x x x x
=
Giải:
- Thay
( )
cos 0
2
x x k k


= = + Â
vào phơng
trình ta đợc
3
sin 0 sin 0x x= =
nên


=

( )
4
3
x k
k
x k





= +




= +


Â
2)
3
sin 2 sin
4
x x



sin 2
x
x x
x
=

=

=

(loại)
nên
,
2
x k k


= + Â
không là nghiệm của phơng
trình
- Khi
cos 0x

ta chia cả 2 vế của phơng trình cho
3
cos x
ta đợc:
( )
3 2 2
tan 3tan 3tan 1 4 tan 1 tan 0x x x x x+ + + + =

,
cos x
bởi
sin x
thì phơng trình
không thay đổi)
Phơng pháp:
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x


= =
ữ

ĐK:
2 2t
2
Phơng trình lợng giác thờng gặp trần mạnh sâm thpt
lạng giang số 2
Khi đó:
2
1
sin cos
2
t
x x

=

= + =
ữ ữ


7
sin sin sin
4 4 4
x x x


= = +
ữ ữ ữ

Điều kiện:
sin 0
,
cos 0
2
x
x k k
x







Â
( )




+ =
=



4 4
2 2 ,
4 8
5
5
2 2
4
8
x k x k
x k x k k
x k
x k






= + = +


= +
với
k Â
Bài tập tơng tự
2)A-07.
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x
+ + + = +
3)
1 1
2 2 sin
4 sin cos
x
x x


+ = +
ữ

4)
xxx 2sinsincos1
33
=+
V. Phơng trình đối xứng và nửa đối xứng đối với
tan x
và
cot x
(là phơng trình mà khi ta thay

4 4 4 2
tan cot 4 2x x t t+ = +
Ví dụ 5. Giải các phơng trình
1)B-06
cot sin (1 tan tan ) 4
2
x
x x x+ + =
(1)
Giải:
Điều kiện:
sin 0
cos 0 ,
2
cos 0
2
x
x x k k
x













+
ữ
+ =
ữ
ữ

cos
2
cot sin . 4
cos .cos
2
x
x x
x
x
+ =
cos sin
4
sin cos
x x
x x
+ =
1 4sin .cosx x
=
2 2
1
6
12
sin 2 ,

Â
Kết hợp điều kiên trên ta có nghiệm của phơng trình
là:
12
x k


= +
;
5
12
x k


= +
với
k Â
Bài tập tơng tự
2)
2
2
2
2 tan 5(tan cot ) 4 0
sin
x x x
x
+ + + + =
3)
2 2
tan cot 3(tan cot )x x x x+ =


+ = + = <
ữ ữ



2 ,
2 4 2
x k x k k


= + = + Â
3
Phơng trình lợng giác thờng gặp trần mạnh sâm thpt
lạng giang số 2
2)B-07
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ =
(2)
Giải:
( )
( )
2
2 sin 7 sin 1 2sin 2 0x x x =
2cos 4 .sin 3 cos 4 0x x x =
( )
cos 4 0







= +
= +






= + = +






= + = +




Â
3) B-02
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x =


=

= =




= =


=


Â
Bài tập tơng tự
4) D -10.
sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x + =
5) B-05
1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x
+ + + + =
6)
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x+ + =
7)A-03
2
cos2 1