BÀI TẬP HÌNH HỌC SƠ CẤP
sưu tầm: Huỳnh Văn Thơ
Phần I
GÓC ĐỊNH HƯỚNG
1. Cho D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB của ABC.
(a) CMR: ba đường tròn (AEF ), (BF D), (CDE) có một điểm chung
gọi là M
(b) Tìm quỹ tích của M khi D, E, F thẳng hàng.
2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Lấy 4 điểm A

, B

, C

, D sao cho các tứ giác
AA

BB

, BB

CC

, DD

AA

nội tiếp. CMR: tứ giác A

B


.
(a) Tính góc giữa


1
, 
2

theo

AM
1
, AM
2

(b) Suy ra vị trí của M
1
, M
2
để 
1
và 
2
vuông góc với nhau
8. Cho điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC. A

, B

, C



N

P

sao cho MN

//AB,
M

P//AC (M, M

∈ BC; N, N

∈ CA ; P, P

∈ AB). CMR: NP

//BC.
4. Cho hình bình hành ABCD và điểm M trên AC. Gọi E là điểm đối
xứng của B qua M . Trên DC và AD lần lượt lấy P và Q sao cho
EP//AD, EQ//CD. CMR: P, Q, M thẳng hàng.
5. Trên các cạnh của ABC vuông tại A dựng các hình vuông ABDE và
ACF G về phía ngoài. CMR: CD và BF cắt nhau trên đường cao hạ từ
A của ABC.
6. Cho ABC và ba điểm P, Q, R lần lượt trên ba cạnh BC, CA, AB sao
cho AP, BQ, CR đồng quy tại O. CMR:
P O
P A
+

C, D. CMR: (ABCD) = −1
3. Cho đường tròn đường kính CD tâm O. Trên CD lấy A
1
, A
2
sao cho
(A
1
A
2
CD) = −1. Qua A
1
, A
2
lần lượt kẻ các đường thẳng d
1
, d
2
vuông
góc với CD. Một tiếp tuyến thay đổi của đường tròn cắt d
1
, d
2
lần lượt
tại M
1
, M
2
. CMR:
OM

qua điểm cố định
8. Cho ABC có trọng tâm G. Một đường thẳng d thay đổi qua G cắt
BC, CA, AB theo thứ tự M, N, P . CMR:
1
GM
+
1
GN
+
1
GP
= 0
Phần IV
PHƯƠNG TÍCH
1. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định. (K) là một đường tròn thay đổi
qua A và có tâm nằm trên đường tròn (C) đồng tâm với (O). CMR: trục
đẳng phương của (O) và (K) tiếp xúc với một đường tròn cố định.
2. Gọi R, r; O, I lần lượt là bán kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp và
nội tiếp một tam giác. CMR: OI
2
= R
2
− 2Rr
3. Cho ABC có trực tâm H. CMR: các đường tròn đướng kính AH và BC
trực giao.
4. Một cát tuyến thay đổi song song với BC của ABC cắt AB và AC lần
lượt tại D và E. Tìm trục đẳng phương của đường tròn đường kính BE
và CD
5. Qua điểm P cố định vẽ ba đường tròn đôi một cắt nhau tại A, B, C. Đường
tròn thứ tư qua P cắt (P AB), (P BC), (P CA) lần lượt tại C

2
)
=
1
2

P
M/(O
1
)
+ P
M/(O
3
)

Phần V
CỰC VÀ ĐỐI CỰC
1. CMR: điều kiện và đủ để hai điểm M và N liên hiệp với nhau đối với
đường tròn (O) là P
M/(O )
+ P
M/(O )
= MN
2
3
2. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D và D

là chân đường phân
giác trong của góc A, P là giao điểm của hai tiếp tuyến của (O) tại B và
C. CMR: cực của AP đối với (O) là trung điểm DD

1. Dựng đường thẳng có phương cho trước và bị hai đường tròn cho trước
chắn thành hai dây cung bằng nhau.
2. Trên hai đường tròn bằng nhau (O) và (O

) lần lượt lấy hai cung AM và
A

M

bằng nhau nhưng khác hướng. A, A

cố định còn M, M

thay đổi.
Tìm quỹ tích trung đoạn của MM

.
3. Hình vuông ABCD, E là điểm trong hình vuông sao cho CDE cân tại
E và góc đáy là 15
0
. Chứng mimh ABE đều.
4. Cho tam giác ABC. Gọi Bx, Cy lần lượt là các tia đối của các tia BA, CA.D
và E là các điểm chuyển động lần lượt trên hai tia Bx, Cy sao cho
BD = CE. Tìm quỹ tích trung điểm M của DE.
5. Cho ABC cố định có trực tâm H. Dựng hình thoi BCDE thay đổi. Từ
D và E kẻ các đường thẳng lần lượt vuông góc với AB, AC chúng cắt
nhau tại M. Tìm quỹ tích M
6. Dựng đường gấp khúc gồm năm đoạn khép kín. Biết trung điểm của năm
đoạn đó.
4

, CAB
1
, ABC
1
có tâm lần lượt là A

, B

, C

. CMR: A

B

C

đều.
4. Trên các cạnh của một hình bình hành dựng về phía ngoài các hình vuông.
Chứng minh tâm các hình vuông này tạo thành một hình vuông.
5. Cho cung tròn AB và điểm C lưu động trên đó. Trên AC lấy đoạn AD =
BC. Tìm quỹ tích D.
6. Dựng về phía ngoài ABC các tam giác ABD và ACE lần lượt vuông
tại B và C. M là trung điểm của DE. Xác định dạng của BMC.
7. Dựng trên cạnh AB, BC, CD, DA và ở bên ngoài tứ giác ABCD những
hình vuông có tâm lần lượt là O
1
, O
2
, O
3

(b) Tìm điều kiện cần và đủ để tứ giác O
1
O
2
O
3
O
4
là hình vuông.
8. Cho ABC nhọn. Tìm điểm M bên trong tam giác sao cho:
(MA + M B + M C)
min
9. Cho ABC, dựng về phía ngoài tam giác hai tam giác ABD và ACE
vuông cân tại A. GọiM, N, P, Q, I, J lần lượt là trung điểm của BC, CE, ED,
DB, CD, BE. CMR:
(a) Tứ giác MN PQ là hình vuông.
5
(b) CD = BE và AIJ vuông cân.
10. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác hai hình vuông ABEF và
ACGH có tâm lần lượt là M, N . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của
BC, F H. CMR: MP NQ là hình vuông.
11. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác này các tam giác ABP, BCM,
CAN vuông cân lần lượt tại B, M, C. I là trung điểm của PN .
(a) Chứng minh IBMC là hình vuông
(b) Chứng minh P N⊥AM và P N = 2AM
12. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác này các hình vuông ABM N, BCEF ,
ACP Q có tâm lần lượt là K, G, H. Gọi D là trung điểm của BC. CMR:
(a) NC = PQ và NC⊥P Q
(b) Tam giác KDH vuông cân
(c) AG, BQ, CN đồng quy.

, C
1
. CMR:
(a) Tam giác A
1
B
1
C
1
đều.
(b) AA

= BB

= CC

và AA

, BB

, CC

đồng quy.
17. Cho hình vuông ABCD và E là điểm ở trong đoạn BC. Đường phân giác
trong của

DAE cắt CD ở F . CMR: BE + DF = AE.
6
Phần VIII
PHÉP VỊ TỰ


.
CMR: N

P

đi qua một điểm cố định.
7. Chứng minh rằng trong một tam giác ba trung điểm của ba cạnh, ba chân
đường cao và ba trung điểm của ba đoạn nối từ đỉnh đến trực tâm nằm
trên một đường tròn (đường tròn Ueler)
8. Dựng hình vuông nội tiếp một tam giác đã cho. (có hai đỉnh liên tiếp nằm
trên một cạnh của tam giác còn hai đỉnh kia nằm trên hai cạnh còn lại).
9. Cho hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A lần lượt có đường kính lần lượt
là AB và AC. Từ điểm A người ta vẽ một cát tuyến cắt hai đường tròn
trên lần lượt tại B

và C

. Tìm quỹ tích giao điểm của B

C và BC

.
10. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O

) cắt nhau tại A, B. Một đường
thẳng thay đổi qua A cắt hai đường tròn tại P, Q. Tìm quỹ tích những
điểm M thỏa
−−→
AM = 2


thuộc một đường tròn cố định
(c) Đường thẳng M

N

đi qua một điểm cố định.
13. Cho hai điểm M, A cố định nằm ngoài đường tròn (O) cố định. Một đường
thẳng thay đổi qua M và cắt (O) tại B, C. Chứng minh rằng.
(a) Trung điểm I của BC thuộc một đường tròn cố định
(b) Trọng tâm G của ABC thuộc một đường tròn cố định.
14. Cho tứ giác ABCD với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA. I là điểm thay đổi trên một đường tròn (O) cố định. M

, N

, P

, Q

lần lượt là đối xứng của I qua M, N, P, Q. Chứng minh rằng.
(a) MP và NQ có cùng trung điểm.
(b) MP

, NQ

, P M

và QN


(a) Góc

MCN có số đo không đổi
(b) C thuộc một đường tròn cố định.
18. Trong mặt phằng, góc nhọn xOy và một điểm P nằm trong góc này. Hãy
tìm trên cạnh Ox điểm M sao cho khoảng cách MP bằng khoảng cách từ
M tới cạnh Oy
8
19. Cho đường tròn (O, R) và (O

, R

) cắt nhau tại A, B thỏa

OAO

= 135
0
. M điểm thay đổi trên (O), MA và MB lần lượt cắt lại (O

) tại C, D.
CMR.
(a) Hai tamg giác MAD và OAO

đồng dạng và CD = const
(b) Trọng tâm G của tam giác ACD thuộc một đường tròn cố định.
20. Cho O là trọng tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC. Gọi O
1
, O
2

3. Cho hình thang ABCD vuông cân tại A và D có AB = 2AD = 2CD. M
là điểm thay đổi trên cạnh CD. Đường thẳng vuông góc AM tại M cắt
BC tại N. Chứng minh trung điểm I của M N thuộc một đường thẳng cố
định.
4. Trên ba cạnh của ABC vẽ ba tam giác BCD, CAE và ABF đồn dạng
thuận với nhau.
(a) Tính tổng
−−→
BD +
−−→
CE +
−→
AF
(b) Suy ra hai tam giác ABC và BEF có cùng trọng tâm.
5. Cho bốn tam giác đồng dạng thuận ABM, CDN, ADP và CBQ.
(a) Chứng minh tứ giác MP NQ là hình bình hành.
(b) Dựng hai hình bình hành AMBR và CNDS. CMR:
−→
AR +
−−→
BQ +
−→
CS +
−−→
DP =

0
6. Cho điểm A thay đổi trên nửa đường tròn đường kính BC. Gọi H là hình
chiếu của A lên BC. I và J là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABH
và ACH. CMR: đường thẳng qua A và vuông góc với IJ đi qua một điểm

là đường tròn thay đổi tiếp xúc với (O) và d tại điểm khác A. CMR: (ω)
trực giao với đường tròn cố định.
5. Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai B của hai đường tròn thay đổi (O) và
(O

) cùng qua A cố định, cùng tiếp xúc với đường tròn (C) cố định và
trực giao với nhau. (A nằm trong (C) và khác tâm của nó)
6. Cho hai đường tròn (O) và (O

) tiếp xúc ngoài ở A và M chạy trên tiếp
tuyến tại A. Chứng minh rằng thường có haid đường tròn qua M và tiếp
xúc với (O) và (O

). Hãy tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường
tròn này.
7. Cho hai đường tròn (O) và (O

) tiếp xúc ngoài ở A và M chạy trên tiếp
tuyến tại A. CMR: thường có hai đường tròn qua M và tiếp xúc với (O)
và (O

). Hãy tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường tròn này.
8. Cho đường tròn (O) và hai đường thằng Ox, Oy vuông góc nhau. Tiếp
tuyến tại M thay đổi trên (O) cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B. Trục đẳng
phương của (O) và (OAB) cắt Ox, Oy lần lượt tại C, D. Tìm quỹ tích
trung điểm CD.
9. Cho hai đường tròn (O) và (O

) tiếp xúc ngoài tại A. Một tiếp tuyến chung
ngoài của (O) và (O

(b) Ba đường tròn trên còn có điểm chung thứ hai.
15. Gọi (O, R) và (I, r) lần lượt là hai đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của
ABC với OI = d. CMR: d
2
= R
2
− 2Rr
16. Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD thay đổi qua điểm P . Các
đường tròn (PAD) và (P BC) cắt nhau tại điểm thứ hai M, các đường
tròn (P AC) và (P BD) cắt nhau tại điểm thứ hai N .
(a) Tìm quỹ tích M, N
(b) CMR: MN qua điểm cố định.
17. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Một tiếp tuyến
thay đổi của (O) cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A tại B, C. CMR: đường tròn
(ABC) tiếp xúc với một đường tròn cố định.
18. Cho đường tròn (O) và hai dây cung thay đổi AA

, BB

vuông góc với
nhau tại P cố định trong đường tròn. M là chân đường vuông góc kẻ từ
P đến AB.
(a) CMR: P H đi qua trung điểm của A

B

và PH.P I = const
(b) Đường tròn (ω) qua A, P và tiếp xúc (O) cắt đường tròn (ω

) qua

điểm chạy trên d. (ω) và (ω

) là hai đường tròn thay đổi qua M và lần
lượt tiếp xúc với (O) tại A, B. Hai đường tròn này còn cắt nhau tại điểm
thứ hai là P . Tìm quỹ tích P.
23. Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d. Hai đường thẳng
thay đổi tạo với nhau một góc α không đổi, quay quanh O và lần lượt cắt
d tại A, B. CMR: (OAB) tiếp xúc với một đường tròn cố định
24. Cho phép nghịch đảo cực I, phương tích k biến đường (O) thành đường
tròn (O

). CMR: điểm O biến thành chân đường đối cực của I đối với (O

)
25. Cho hai điểm A, B trên đường thẳng d. Hai đường tròn (ω), (omega

) lần
lượt tiếp xúc với d tại A, B và trực giao nhau tại M, N. Tìm quỹ tích M
và N.
26. Cho hai đường tròn (O

) và (O”) cùng tiếp xúc với đường tròn (O) và cắt
nhau tại A, B. (ω) là đường tròn thay đổi tiếp xúc với (O

), (O

) và cắt
(O) tại M, N . CMR: tâm của đường tròn (AMN ) chạy trên một đường
tròn cố định.
27. Cho hai đường tròn (O) và (O

31. Cho điểm S nằm ngoài đường tròn (O), khác điểm O và một đường thẳng
 không cắt (O). Từ một điểm M thay đổi trên  kẻ hai tiếp tuyến
MP, MQ đến (O) với P, Q là hai tiếp điểm và P Q không qua S. P S, QS
cắt (O) lần lượt P

, Q

. Dựng hai đường tròn (α), (β) qua S và tiếp xúc
với (O) lần lượt tại P

và Q

. (α), (β) cắt nhau tại điểm thứ hai N. CMR:
(a) N chạy trên một đường tròn cố định
(b) Đường tròn (SP

Q

) đi qua một điểm cố định
(c) Đường thẳng P

Q

đi qua một điểm cố định.
32. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định ở ngoài (O) và điểm B thay đổi
trên (O). Hai đường tròn (α), (β) trực giao nhau tại A, B và cắt (O) tại
C, D. CMR:
(a) Đường tròn (ACD) và (O) trực giao nhau
(b) Đường thẳng CD đi qua một điểm cố định
33. Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định sao cho OA = R

(a) Hai đường tròn (ANP ) và (AN M) trực giao nhau
(b) M, N thuộc một đường tròn cố định.
13
37. Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt trên
(O). M là một điểm trên (O) và M khác A, B. (ω
1
) là đường tròn qua M
và tiếp xúc với đường thẳng AB tại A, (ω
2
) là đường tròn qua M và tiếp
xúc với đường thẳng AB tại B. Gọi N là giao điểm thứ hai của (ω
1
) và
(ω
2
) . CMR: khi M thay đổi trên (O) thì điểm N chạy trên một đường
tròn cố định. Hãy dựng đường tròn đó.
38. Cho đường tròn (O : R) và điểm A cố định thỏa OA = 2R. Một đường
thẳng d thay đổi qua A. Hai đường tròn (α), (β) cùng tiếp xúc với d tại
A và tiếp xúc với (O) lần lượt tại M, N. CMR:
(a) Đường tròn (AMN ) trực giao với (O)
(b) Đường thẳng MN đi qua một điểm cố định
(c) (γ) là đường tròn tiếp xúc với (α), (β) và (O). CMR: (γ) tiếp xúc với
một đường tròn cố định khác (O)
39. Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính AB. (ω) là
đường tròn đường kính AO. (γ) là một đường tròn thay đổi luôn tiếp xúc
với cả (O) và (ω) ( không qua A). CMR: đường tròn (γ) luôn trực giao với
một đường tròn cố định. (gợi ý: dùng PNĐ cực A, phương tích OA.OB)
Mục lục
I GÓC ĐỊNH HƯỚNG 1