Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
A - phần mở đầu
I- Lý do chọn đề tài
1- Cơ sở khoa học:
Nh chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững
đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào
các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa toán học còn là
cơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan
trọng trong nhà trờng phổ thông, nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động
nghệ thuật sáng tạo, để tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và
giải quyết các bài toán.
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học từ
tiểu học đến trung học. Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức
không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho
nhiều môn học khác nh hoá học, vật lý, tin học. Đặc biệt việc phát triển t duy
sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học. Nhng vấn đề đặt ra cho mỗi
giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung v Bất
đẳng thức nói riêng.
2- Cơ sở thực tiễn:
Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó. Nhiều
học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp
giải toán Bất đẳng thức nh thế nào. Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có
nhiều trong chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành những phơng
pháp nhất định, gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp, khi giải toán Bất
đẳng thức.
Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi
kể cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10
THPT.
-1-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Đối với học sinh khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp cho học

4) a < b, c < d

a + c < b +d (Cộng hai vế của một Bất đẳng thức
cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều với chúng)
-2-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
5) a < b, c > d

a - c < b - d (trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta
đợc một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng thức bị trừ)
6) Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m .
7) a<b



<>
><

0,
0,
mmbma
mmbma
8) Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc
một Bất đẳng thức cùng chiều: 0 <a<b, 0<c<d

a.c<b.d
9) a> b >0

a
n


Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc.
III - Một số Bất đẳng thức cân nhớ:
1) A
2k

0 với mọi A, Dấu"=" xảy ra khi A=0
2)
AA ,0
Dấu "=" xảy ra khi A=0.
3)
AAA
4)
BABA ++
Dấu "=" xảy ra khi A.B

0
5)
BABA
Dấu "=" xảy ra khi A.B

0 và
BA

Chú ý:
- Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các Bất đẳng thức đúng khác mang
tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý.
- Khi chứng minh song Bất đẳng thức a

b ta phải xét trờng hợp Dấu = xảy

2
1
Các k năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng
thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài:
3-Bài tập áp dụng
Bài 1- Chứng minh Bất đẳng thức a
2
+b
2

ab
Giải
Xét hiệu: a
2
+b
2
- ab = (a
2
+
4
1
b
2
-
2
1
.2
ab)+
4
3

2
=
4
3
b
2
=0 suy ra a =
b = 0
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Chứng minh tơng tự cho Bài a
2
+b
2

ab
Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát: (a
n
)
2
+(b
n
)
2

nn
ba .
Bài 2 - Cho ba số a, b, c thoả mãn 0<a

b


c
b
b
a
++=++
)]()()[(
1
222222
acbcbaabcbca
abc
++=
=
abc
1
[c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c
2
(a-b)]=
abc
1
(a-b)[c(a+b)-ab-c
2
]
=
abc
1
(a-b)(b-c)(c-a)

0 (do 0<a

b

4
1
(ax+ay+by+bx-2ax-2by)
=
4
1
[(ay-ax)+(bx-by)]=
4
1
(x-y)(b-a)

0 ( do x

y và a

b )
Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b
Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh
Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức:
33
.
3
czbyaxzyxcba ++

++++
Bạn đọc có thể tổng quát bài toán.
Bài 4: Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng:
a
2
+b

- ab-ac-ad -ae
-5-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
=
4
1
( 4a
2
+4b
2
+4c
2
+4d
2
+4e
2
- 4ab-4ac-4ad -4ae)
=
4
1
[(a
2
+4b
2
+4ab)+(a
2
+c
2
+4ac)+(a
2

2

0 và (a+2e )
2

0
Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e =
2
a
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Bài 5: Tổng quát bài 4
Cho a
i
i=1,2, ,n là các sổ thực. chứng minh rằng:
Chứng minh tơng tự bài 4
4- Bài tập áp dụng:
Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau:
1/ 4.x
2
+y
2

4xy
2/ x
2
+y
2
+1


(x+y+z):3
5/ (a
3
+b
3
+c
3
)

(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
): a,b,c >0
6/ Cho các số dơng a,b,c chứng minh rằng:
a/
cbaabc
cba 111
)(
3
888
++
++
b/
abc
a
bc
c

1
2
1
2
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
1) Nội dung ph ơng pháp:
Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần
chứng minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức đã
đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài.
2) Kiến thức cơ bản:
Các tính chất của Bất đẳng thức.
Các Bất đẳng thức thờng dùng.
Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức.
Các HĐ thức
3- Bài tập mẫu
Bài 1: Chứng minh rằng:
x
2
+2y
2
+2z
2


2xy +2yz+2z-1 (*)
Giải
(*)

x
2

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh.
Bài 2 : Chứng minh Bất đẳng thức:
(a
10
+b
10
) (a
2
+b
2
)

(a
8
+b
8
) (a
4
+b
4
)
Giải
(a
10
+b
10
) (a
2
+b


0


a
12
+ a
10
b
2
+ a
2
b
10
+ b
12
-a
12
-a
8
b
4
- a
4
b
8
-b
12



2
) -a
2
b
8
(a
2
-b
2
)

0

a
2
b
2
(a
2
-b
2
)( a
2
-b
2
)(a
4
+a
2
b

=b2

a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0
-7-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh.
*Nhận xét: Từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự:
Cho 0

a

b Chứng minh Bất đẳng thức:
(a
5
+b
5
) (a+b)

(a
2
+b
2
) (a
4
+b
4
)
Bài 3 : Chứng minh các Bất đẳng thức
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)


-7x+12)+9

0 (x
2
-7x +6)(x
2
-7x+6+6)+9

0
(x
2
-7x +6)
2
+6(x
2
-7x+6) +9

0 (x
2
-7x +9)
2

0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x
=> (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9
Dấu "=" xảy ra khi x
2
-7x +9 =0 x=



ab
c
2
+2c
)( ca

)( cb

+(a-c)(b-c)

0
( c-
)( ca

)( cb

)
2


0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn điều kiện của
đề bài vậy
)( cac

+
)( cbc


+
ca +
1
)
2
. biết a,b,c >0
Giải
Ta có
ab
1
+
cb
1
+
ac
1
=
abc
cba )( ++
. Do a, b, c >0 và (a+b)(b+c)(c+a)

8abc
=>
ab
1
+
cb
1
+
ac

ab
1
+
cb
1
+
ac
1
)

))((
8
cbca ++
+
))((
8
caba ++
+
))((
8
cbba ++
(1)
Trong (1) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Mặt khác ta có (a+b)
2


4ab



suy ra
ab
1
+
cb
1
+
ac
1



2
)(
4
ba +
+
2
)(
4
bc +
+
2
)(
4
ca +
(2)
Trong (2) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Từ (1) và (2) Ta có
ab

1
1
33
++ bc
+
1
1
33
++ ca


1
Giải
Do 0

a

b

c => (a-b)
2
(a+b)

0 Dấu "=" xảy ra khi a=b
-9-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
(a-b)(a+b)(a-b)

0
(a


a
2
b+ab
2
+abc a
3
+b
3
+1

(a+b+c)ab

1
1
33
++ ba



)(
1
cbaab ++
=
)( cba
c
++
(do abc= 1 =>
c
ab

++ ca


)( cba
b
++
Dấu "=" xảy ra khi a=c
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
1
1
33
++ ba
+
1
1
33
++ bc
+
1
1
33
++ ca


1
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c =1
4 - Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho 0

x,y,z

z


2
Bài 2: Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của tam giác, có chu vi bằng 2. Chứng
minh rằng: a
2
+b
2
+c
2
+2abc < 2
Bài 3: Chứng minh với mọi x, y >
2
ta có:
x
4
- x
3
y +x
2
y
2
-xy
3
+y
4
>x
2
+y

a)

3
3-
1+bc
a
+
+
+1ac
b
1+ba
c


2
-10-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
III - Ph ơng pháp 3: PP DUNG TINH CHÂT CủA Tỉ Số
1- Nội dung phơng pháp:
Khi vận dụng các tính chất của tỷ số thì việc chứng minh Bất đẳng thức trở
nên rất nhanh và gọn.
2- Kiến thức cần vận dụng:
- Với ba số dơng a,b.c
Nếu
b
a


1 Thì
b

d
c



b
a



db
ca
+
+



d
c
Dấu "=" xảy ra khi ad=bc
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho a,b, c là số đo ba cạnh của tam giác:
Chứng minh rằng:1<
cb
a
+
+
ca
b
+




ba
c
+
<
cba
c
++
2
Chứng minh tơng tự ta có:
ca
b
+
<
cba
b
++
2
và
bc
a
+
<
cba
a
++
2
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc

a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
>
cba
a
++
+
cba
b
++
+
cba
c
++
=1 Do a, b, c d-
ơng
-11-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Vậy 1<
cb
a
+

bbb
aaa
+++
+++21
21
Nằm giữa giá trị nhỏ nhất và
gí trị lớn nhất của (
1
1
b
a
,
2
2
b
a
, ,
n
n
b
a
) ở đó b
i
là các số dơng i=1,2, ,n
Giải
Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của (
1

a
i

b
i
.M Do b
i
>0 với mọi i=1,2, ,n
Lần lợt cho i+ 1,2, ,n rồi cộng các vế lại với nhau ta đợc:
m( b
1
+b
2
+ +b
n
) < a
1
+a
2
+ +a
n
< M( b
1
+b
2
+ +b
n
)



+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b
b
Giải
Ta chứng minh
2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba
-12-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Do a > 0 ta có
1+a

ba



2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba
(1)
*) Ta chứng minh
1++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b

Từ (1) Và ( 2) Ta đợc:
2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b
b
4- Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng
3
2
<
2005 753
2004 642
++++


b
a

n
m
chứng minh rằng
y
x

nba
max
20052004
20052004
++
++

n
m
IV - Ph ơng pháp 4 : PP PHảN CHứNG
1- Nội dung phơng pháp
Để chứng minh A

B ta giả sử phản chứng A<B rồi

điều vô lý với giả
thiết hoặc các hằng Bất đẳng thức từ đó khẳng định A

B là đúng.
2- Kiến thức cần nhớ:

0,25 và c(1-c)

0,25
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25
3
(2) ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2) vậy điều
giả sử là sai suy ra: trong các Bất đẳng thức sau: a(1-b) > 0,25; b (1-c)
>0,25; c(1-a) > 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai.
Bài 2: Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời
ba Bất đẳng thức sau:
x
<
zy
,
zxy <
,
xyz <
Giải: Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳng
thức nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có:
:
x
<
zy


x
2
< (y-z )
2

>++
0
0
0
abc
cabcab
cba

-14-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Hãy chứng minh rằng: a,b,c > 0 (*)
Giải: Giả sử (*) không đúng

có ít nhất một trong các số a,b,c phải

0
Không mất tình tổng quát giả sử a

0. do abc >0

bc <0
Xét trờng hợp a

0 b>0 c<0

a+c<0
từ gỉa thiết ta có b >-a-c

b(a+c) < -(a+c)
2

>0 ta có
b
a
+
a
b
< 2


b
a
+
a
b
- 2 <0

ba
abba 2
22
+
<0


ab
ba
2
)( +
< 0 Điêù này là vô lý





<
>
04)1(
0
2
acb
a
-15-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Chứng minh rằng trong các Bất đẳng thức sau có ít nhất một Bất đẳng
thức sai
ax
2
+bx +c

y ; ay
2
+by +c

z ; az
2
+ bz +c

x
V- Ph ơng pháp 5: PHƯƠNG PHAP QUI NAP
1) Nội dung phơng pháp;
Có rất nhiều bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thờng thì
không thể chứng minh đợc, các bất đẳng thức đó có dạng dãy số hoặc

daun
aaa
,

+++
<
2
141 ++ a
a

0
Giải
a) +) Với n =1 ta có (a+b):2

(a+b):2 đúng
+) Giả sử Bất đẳng thức đúng với n=k tức là [(a+b):2]
k


(a
k
+b
k
):2
+) Ta chừng minh Bất đẳng thức đúng với n =k+1 Tức là:
[(a+b):2]
K+1


(a

a
k+1
+b
k+1
+a
k
b+ab
k

2(a
k+1
+b
k+1
)

a
k+1
+b
k+1
-a
k b
b - ab
k

0

(a-b)( a
k
- b
k

k

b
k
a
k
- b
k

0

* đúng
Chứng minh tơng tự cho trờng hợp a

0

b ta đợc * đúng
Do a+b

0 nên a, b không cùng <0.
Vậy * đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đề bài.
+) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]
n


(a
n
+b
n
):2 với a+b

k tức là:


dauk
aaa
,

+++
<
2
141 ++ a
a

0
+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với

k+1 tức là

dauk
aaa
),1(

++
+++
<
2
141 ++ a
a

0

++
+++
=
k
xa
+

Ta chứng minh
k
xa
+
<
2
141 ++ a
a

0

(
k
xa
+
)
2
< (
2
141 ++ a
)
2


2
141 ++ a
a

0
Bài 2: cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnh
huyền của tam giác đó chứng minh rằng:
b
2n
+a
2n


c
2n
Giải:
+ Với

1 theo định lí Pithago ta có b
2
+a
2
= c
2
Bất đẳng thức đúng.
+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k tức là b
2k
+a

2
) =a
2k+2
+ a
2k
. b
2
+b
2k
a
2
+b
2k+2


a
2k+2
+ b
2k+2


b
2(k+1)
+a
2(k+1)


c
2(k+1)
(đfcm)



n bằng quy nạp.
+ Với n =1: ta có 3

1 * đúng
+ Với n =2: ta có 9

8 * đúng
+ Với n =3: ta có 27

27 * đúng
+ Với n = 4: ta có 81

64 * đúng
Giả sử Bất đẳng thức * đúng với n =k

4 tức là 3
k


k
3
Ta chứng minh Bất đẳng thức * đúng với n =k+1 tức là 3
k+1

(k+1)
3
Thật vậy: Ta có 3
k+1

-3) >1

3
k+1
> (k+1)
3


Bất đẳng thức * đúng với n = k+1
Vậy 3
n

n
3

n, Z
+


n


n
n
3
3



n


n
n



n
m



3
3
- Nếu m

n


m
m



m
n



m
n


1, Chứng minh:
d) 1+
212
1

3
1
2
1
++++ n
n
-19-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Bài 2: Chứng minh các Bất đẳng thức sau:
c) 2
n+2
>2n+5

n

1, N

n
d) [(n+1)!]
n


2!.4! .(2n)!


2


9bc. Biết a

b

c
Giải:
Ta có a+b+c

2b+c do a

b Ta đi chứng minh (2b+c)
2


9bc (1)
(1)

4b
2
+ 4 bc + c
2

9bc

4b
2
- 5 bc + c


(2) đúng
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh.
Bài 2: cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác hãy chứng minh rằng:
a
2
+b
2
+c
2
< 2 (ab+bc+ca)
Giải:
-20-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên ta có:
0<a<b+c

a
2
< ab + ac tơng tự ta có b
2
< ba+bc và c
2
< ca +cb
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
a
2
+ b
2
+c

c
3

a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2
- a
3
- b
3
- c
3
> 0


a[(b-c)
2
- a
2
] + b[(c-a)
2
- b
2
] + c[(a-b)
2
-c
2

> a
3
+ b
3
+

c
3
4- Bài tập áp dụng:
Bài 1 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
a
2
(b+c)+ b
2
(+-a) +c
2
(a+b ) >2abc + a
3
+ b
3
+

c
3
Bài 2 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
a
2
(b+c)+ b
2
(c+a) +c


1- Nội dung phơng pháp:
-21-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Dùng các tính chất của Bất đẳng thức để đa một vế của Bất đẳng thức về dạng
tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn tức là biến
Tổng S
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
=(a
1
-a
2
) + (a
2
-a
3
) +( a
3
-a
4
)+ .+(a
n
-a
n+1

2
1
u
)(1-
2
2
1
u
) (1-
n
u
2
1
). > 0,5
Giải:
không mất tính tổng quát giả sử 2

u
1
< u
2
< .< u
n

u
i
> i +1
( Do các u
i
phân biệt )

)
=(1-
2
1
)(1-
3
1
) (1-
)1(
1
+n
)(1+
2
1
)(1+
3
1
) (1+
)1(
1
+n
)
=
)1 (4.3.2
3.2.1
+n
n
.
)1 (4.3.2
)2 (34

) (1-
n
u
2
1
). > 0,5
Nhận xét ở đây ta thay các u
i
bởi các i+1 để đợc giá tri nhỏ hơn VT
vì u
i
> i +1
Bài 2 Chứng minh rằng

n tự nhiên ta có
)2 (8.6.4.2
)12 (7.5.3.1
n
n
<
12
1
+n
Giải:
ta có
)2(
)12(
n
n
=

<
12
1
+n
(Đfcm)
Bài 3 Cho h
n
=1+
3
1
+
5
1
+ .+
12
1
n
Chứng minh rằng

n là các số nguyên dơng ta có
1
2
1
h
+
2
2
3
1
h

)(12(
1
1

+


<
1
1
k
h
-
k
h
1
(Do h
k
= h
k-1
+
12
1
n
)

1
2
1
h

-
3
1
h
)+ +(
1
1
k
h
-
k
h
1
)

1
2
1
h
+
2
2
3
1
h
+
3
2
5
1

2
5
1
h
+ .+
2
)12(
1
n
hn
< 1+
1
1
h
=2
Vậy
1
2
1
h
+
2
2
3
1
h
+
3
2
5

<
n
nkn 1++
Giải:
Trớc tiên ta chứng minh Với ba số x,y,z thoả mãn x+y+z =0 ta có:
-23-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
222
111
zyx
++
=
zyx
111
++
* Thật vậy:
Xét (
zyx
111
++
)
2
=
2
1
x
+
2
1
y

2
1
x
+
2
1
y
+
2
1
z

222
111
zyx
++
=
zyx
111
++
áp dụng * với x=1, y=n, z= -(n+1)
Ta có
2
1
1
n
+
<
22
)1(

1
kn +
+
<1+
n
1
-
1
1
+n
+1 +
1
1
+n
-
2
1
+n
+
+1 +
kn +
1
-
1
1
++ kn
=k+1+
n
1
-

n
>1 n nguyên dơng
Bài 2 Cho n là số tự nhiên chứng minh rằng:
.a)
1
)1((
1

3.2
1
2.1
1
<
+
+++
nn
.b) 1+
nn
1
2
1

3
1
2
1
222
<+++
Bài 3 Chứng minh
2

4
31

2
1
1
1
2
1
<
+
++
+
+
+
<
nnnn
VIII - Ph ơng pháp 8: PP Sử DụNG BĐT CAUCHY Và BĐT
BUNHIACOPXKYBất
1 - Kiến thức cơ bản
Các kỹ năng biến đổi Bất đẳng thức
- Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b

0:
ab
ba

+
2
Dấu "=" xảy ra khi a=b

2
, , a
n
và a
1,
a
2
. a
n
=1
Chứng minh rằng: (1+ a
1
)
,
(1+a
2
). (1+a
n
)

2
n
Giải:
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy hai số 1 và a
i
, i=1,2,3 ,n ta đ ợc
(1+a
1
)


a
.2
2
a
.2
n
a

(1+ a
1
)
,
(1+a
2
). (1+a
n
)

2
n
do a
1,
a
2
. a
n
=1
Dấu "=" xảy ra khi 1= a
1
,1=a