KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN KHỐI 11
(Thời gian 180 phút)
Bài 1:(4điểm) Cấp số cộng (u
n
) thỏa mãn: tồn tại 2 số nguyên dương m và p để
( )
m p
1 1
u = ; u = m p
p m
≠
. Tính tổng m.p số hạng đầu của cấp số cộng đó
Bài 2:(4 điểm) Giải hệ phương trình:
22 × 2 2009 2053
2009 22 × 2 2053
x y
x y

+ + − =


− + + =



Bài 3: (4 điểm) Tổng:
1 1 1 1

1!2009! 3!2007! 5!2005! 2009!1!
S = + + + +

( )
( )
( )
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1
1
2 2 2
m
p
mp
u u m d
p
u u p d
m
u
mp
d
mp
mp

⇒ = = =
1đ
1,5đ
1,5đ
Bài
2
Điều kiện:
, 2009;x y ≥
Đặt u=22.2; v=2009. Hệ đã cho có dạng
x u y v u v
x v y u u v
x u y v x v y u x y

+ + − = +


− + + = +


⇒ + + − = − + + ⇔ =
Khi đó:
( ) ( )
1 1
x u x v
u v x u x v x u y v
x u x v
+ − −
= + ⇒ + − − = ⇒ + − − =
+ − −
Hệ đã cho tương đương với

Ta có :
( ) ( )
1 3 5 2009
2010 2010 2010 2010
2009
2009
.2010!
.2010! 2
2
; 2009;2010!
2010!
S C C C C
S
S a b
= + + + +
⇒ =
⇒ = ⇒ =
2đ
1đ
1đ
Bài
4
Ta có :
2 3 2008
2009
1 2.2 3.2 4.2 2009.2S = + + + + +

Tách
2009
S

1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1
2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
=2009.2 1 2 2 2 2 2008.2 1
S
+
− − − −
−
⇒ = + + + + +
− − − − −
− + + + + + = +
0,5đ
2đ
1đ
0,5đ
Bài
5
Gọi M’, N’ lần lượt là giao điểm của
CH, BH với d và d’. Ta có HA’MM’,
HA’NN’ là các hình bình hành
⇒ MM’NN’ là hình bình hành.
Gọi H’ là giao điểm của M’N’ với AA’
ta có
' ' 'H H M M N N= =
uuuuur uuuuuur uuuuur
⇒ M,N,H lần lượt là ảnh của 3 điểm
thẳng hàng M’,N’,H’ qua phép tònh tiến
theo
'H H