SỞ GIÁO DỤC  ĐÀO TẠO KIÊN GIANG
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt

KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC ĐBSCL NĂM HỌC 2005_2006
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN : TOÁN
( Thời gian: 180 phút )

BÀI 1: (4 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 2
x
+ 3
y
= z
2BÀI 2: (4 điểm)
Cho 6 số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn : a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 và m + n + p = 5.
Tìm giá trò lớn nhất của : A = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m

BÀI 3: (4 điểm)
Cho dãy số
 
 
0

x
BÀI 4: (4 điểm)
Cho đường thẳng (d) và hai điểm A, B không thuộc (d); AB không vuông
góc với (d). Bằng thước và compa hãy dựng M nằm trên (d) sao cho:
a.
MA
MB
đạt giá trò nhỏ nhất b.
MA
MB
đạt giá trò lớn nhất

BÀI 5: (4 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I là tâm của mặt
BCC’B’ và

là đường thẳng qua D và I. Đoạn MN thay đổi có trung điểm
K luôn thuộc đường thẳng

, M
( ' '), ( ' ' ' ')BCC B N A B C D
. Tìm giá trò bé
nhất của đoạn MN.

HẾT
) là một nghiệm của (1) thì (x
0
; y
0
,; - z
0
)
cũng là một nghiệm của (1). Do đó ta chỉ cần giải (1) với điều
kiện z > 0.
0.25
đ
TH1
(1đ)
Nếu x = 0, khi đó y

1
(1)

1 + 3
y
= z
2


3
y
= (z – 1).(z + 1) (2)
0.25
đ
Ta có






0.5đ
TH2
(1đ)
Nếu y = 0, khi đó x

1
(1)

2
x
+ 1 = z
2


2
x
= (z – 1).(z + 1)
0.25
đ
Mặt khác (z – 1), (z + 1) là hai số nguyên cùng tính chẵn lẻ
và
((z - 1) , (z + 1)) = 1
((z - 1) , (z + 1)) = 2







0.5đ
TH3
(1.5đ)
Cả hai số x, y
1
, khi đó từ (1) suy ra: (z ; 2) = (z ; 3) = 1
2
2
13
14
z (mod )
z (mod )









Từ (1) suy ra :
2
2 1 3 2
x*
z (mod ) x k ,k N    

= z
2
– 4
k


9
q
= (z – 2
k
)(z + 2
k
)
(4)
Vì (z ; 2) = 1 nên ((z – 2
k
) ; (z + 2
k
)) = 1. Từ điều này ta
có :
(4)
2 1 2 2 9 1
2 9 2 1
k k q
k q k
z . (*)
zz

   



     



   

   


0.5đ

BÀI 2: (4 điểm)
Cách 1:
Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu (C)
tâm O bán kính R = 1: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 và
mặt phẳng
(P): x + y +z – 5= 0 ( (P) không cắt ( C )
Xét M(a ; b ; c) và N(m ; n ; p). Từ
giả thiết ta có M


333
;;
) và
H (
555
333
;;
) . (0.5đ)
Ta có MN

IH = OH – OI = d
O/(P)
– 1 =
5
1
3

.
(0.5đ)
Suy ra
2
22
5
26 2 1
3
MN IH A

    



0 1 2
(x;y;z) ( ; ; )
(x;y;z) ( ; ; )
(x;y;z) ( ; ; )







0.25đ
P
I
0
H
N
M
Dấu “=” đạt được khi
MI
NH





hay


m.n + m.p + n.p +
222
m n p

Đặt : m.n + n.p + p.m = t.
Ta có : m.n + m.p + n.p
2
1
3
(m n p)  
=
25
3
hay t
25
3


m
2
+ n
2
+ p
2
= (m + n + p)
2
– 2(m.n + n.p + p.m) = 25 – 2t
Vậy A
25 2tt  

   

Dấu “=” xảy ra khi
5
3
1
3
m n p
a b c






  


. Vậy Max A =
25 5 3
3
Cách 3:
Ta có 2A=2(am+bn+cp) + 2mn +2 np +2 pm = 2 (
am+bn+cp)+m(n+p)+n(m+p)+p(n+m)
= 2 ( am+bn+cp)+m(5-m)+n(5-n)+p(5-p) = 2 ( am+bn+cp) + 5.5 – ( m
2
+n

thì theo BCS ta có
5
3
t 
. Dấu bằng xẩy ra khi
m=n=p (**). Thay vào (2) ta được :
2
2 ( ) 2 25A f t t t    
(3 )