Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
2
2

NH
À

A. LÝ THUY
1. CÔNG TH
Cho 2 s ,a b và s n thì:

0 1 1
0
0 1 1
0

1 1
n
n
k n k n n n n n
n n n n
k
n
n k n
k n k n n n n n
n n n n
k

C C C
g. Tam giác Pascal:
0 1
1 1 1
2 1 2 1

n
n
n
1
1

1
1 1

m m
k k
m
k
n k C C
n k CV
1
1
m m m
k k k
C C C


n
n k n
n n n n
k
n
n k n
k n
n n n n
k
C C C C
C C C C

0 1 1 0
0
1
n
n
k n k n n
n n n n
k
x C x C C x C x

0 0 1 1
0
1 1 1
n
n k n
k n k n n
n n n n
k

n
i
i i C
thì ta dùng àm i
Trong bi
1
n
i
n
i
i k C
thì ta nhân hai v
k
x
, r àm.
Trong bi
1
n
k i
n
i
a C
thì ta ch x a thích h
Trong bi
1
1
1
n
i
n

k hay
1
2
n
k v n l
2
n
k v n ch

Vi ày s ên
–

B. CÁC BÀI TOÁN V

1. Bài toán tìm h
Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
4
4
Ví d 1.1: (D(H Th Khai tri à rút g
9 10 14
1 1 1Q x x x x
a th
14
0 1 14
Q x a a x a x
9

A A C
x
Gi
x
là s
3
x

Ta có: b ình
2 1 2 6 2 1
1 10
2 3!
2 2 1 1 2 1 10
3 12 4
x x x x
x x
x
x x x x x x
x x
Vì
x
3
x
nên 3.4x

Ví d 1.3: Tìm h
16
x trong khai tri
10
2

x trong khai tri à:
4
10
3360
C

Ví d 1.4: Tìm h
1008
x trong khai tri
2009
2
3
1
x
x

Gi
S
1
k
trong khai tri
2009
2 4018 5
1 2009 2009
3
1
k
k
k k k
k

8 8
0 0 0
1 1
k
k
i
k k k i i
k
k k i
f x C x x C x C x
.
V
8
x
là
8
1
i
k i
k
C C th
0
0 8
4
2 8
2
,
3
i
i k

2
8
3
3
1C x x
S
2
8
4
4
1C x x
V
3 2 4 0
8 8 3 8 4
238
A C C C C

Ví d
3
x
trong khai tri àm s
10
2
1 2 3P x x x theo l
x
Gi
Ta có:
10
10
2

1 1f x x x
Gi
Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
6
6
Xét khai tri
16
2 2 2
16
1 0
1
n
k
k
i
i k
f x C C x x

16 16
2
2 2
16 16
0 0 0 0
1 1 1
k k
k i i

16 8 16 7 16 8 16 8 16 8
258570
C C C C C C C C C C

Ví d Tìm h c
 
  trong khai tri

  

Gi
Ta có:
200
200
200 200
200
0
2 3 2 3 2 3
k k
k
k
x y x y C x y

200
200 200
200
0
1 .2 .3 . .
k
k k k k k

1024
. Hãy tìm
h
a

*
a N c
12
ax
trong khai tri ) )
Gi
a) S 1k trong khai tri à:
12 12 2
12 12
0 12
1
k
k k k k
k
a C x C x
x
k
Ta ch
12 2 8 2
k k
V
8
x
và có h à:
2

Nguy - Lê Hoàng Nam
7
7

10
10
2 2
n
n

a
(c
12
x
) là:
6
10
210
C
c)
Ví d A- 2006) Tìm h
26
x trong khai tri
th
7
4
1
n
x
x

C C k k n , nên:
0 1 0 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
2
2
n n
n n n n n n
C C C C C C
T nh c
2 1
1 1 :
n
suy ra
2 1 2 1
0 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 2 3
n n
n
n n n
C C C
1 , 2
2 20
3
2 2 10
n
n
Ta có s
10

Ví d 1. - 1998) Tìm h
5
x
trong khai tri
4 5 6 7
2 1 2 1 2 1 2 1f x x x x x
Gi
Ta xét các khai tri u:
4 5
4 4 5 5
4 5
0 0
6 7
6 6 7 7
6 7
0 0
2 1 2 ; 2 1 2
2 1 2 ; 2 1 2
k k
k k
k k
k k
k k
k k
x C x x C x
x C x x C x
Nh : S
5
x c
4

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
8
8
Ví d - 2003) V
n
là s
3 3
n
a là h
3 3
n
x
trong khai tri
2
1 2
n
n
x x . Tìm
n
3 3
26
n
a n

Gi
Cách 1: Ta có

2
1 2
n
n
x x là:
2
3 3
5
2 2 3 4
26 26
7
3
( )
2
n
n
n n n
n n
n L
a
oai
V
5
n
là giá tr ìm th ãn ài toán (
n
.

Cách 2: Xét khai tri
2 3 3

x x x
x x x x
x
Trong khai tri
x
là
0
3
3 3 2 3
1
1
i
k
n i k
i
k
Nên c h
3 3
n
x là:
2
3 3
5
2 2 3 4
26 26
7
3
( )
2
n

3 1
5
n n
C C và s
b
20
n
. Tính
n
và
x
.
Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
9
9
Gi
n N
và
3
n

Ta có:
3 1
! !
5
3!

3 32 2
7
0
2 2
k
x x
x x
k
k
x C x
V ên là:
3
4
1
3 2 2
32
7
2 35.2 .2
x
x
x x
C x
K
2 2 2
35.2 .2 140 2 4 4
x x x
x
Ví d 1.14: Tìm
x
bi

1
1 22
22
2
x x
n n
x x x
n n
n n n
n n n
C C
n n
n
C C C
2 2
2 2 1
4 1
2 2
1 1
4
2 9 2 2 0
2 2
2 2
42 0
6
7 ( )
x
x
t x
t x

1
0,1,2, ,17
5
k
k
k
a x k

Ta có
k
a
1
1
17 17
1
1
17 17
1
1
1 1
5 5
max
1 1
5 5
k k
k k
k k
k k
k k
k k

2
k
thì h à:
2
2
17
1
5.44
5
C
V
k
thì h à:
3
3
17
1
5.44
5
C
V à:
3
3
17
1
5.44
5
C
T bài toán t
Ví d 5.2 Tìm h

k u u u
Gi ình
1
1
k
k
u
u
tìm
1 1
0 1 0

k k
k u u u

T ãy là
0 1
max ,
k k
u u

Gi ình
1
0
1
k k
k k
u u
k
u u

C xx
12
2 0,1,2, ,12 1
k k
k
a C k
Xét b
1
k k
a a
Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
11
11
1
1 1
12 12
12!2 12!2
2 2
! 12 ! 1 ! 11 !
k k
k k k k
C C
k k k k

1 2 23 2
3 23 7 0 7

3 3
2 2
12 1
k k k k
k k k k
C C
k k
k k
C C
k k
8 18
0 1 2 12 8 12
max , , , .2 126720
a a a a a C

Ví d 1.17: Tìm h
4
x trong khai tri à rút g
4 5 15
1 1 1f x x x x
Gi
Vì t f x có
12
s ên ta có:
12 16 4
4
1 1 1 1
1
1 1
x x x

1
n n
q
S u u u u
q
Xét t
1 2
1 1 1
m m m n
S x bx bx bx
n
s
tiên c nhân v
1
1
1
m
u bx và công b 1q bx
Áp d 1.9
1 1
1
1 1 1 1
1
1 1
n m n m
m
bx bx bx
S x bx
bx bx
Suy ra h

2 1
1 1 2 1 1 1 1
n n
S x x x n x n x
2 2 1
2 3 1
1 1 2 1 3 1 1 1 1
1 1 1 1 1
'
n n
n n
f x x x x n x n x
F x x x x x x
S x f x xf x
F x f x
Suy ra h
x
c S x b
x
và không
ch
x
c f x b
x
và hai l ch
2
x
c F x
T F x có
n

6
n n
n n n
C C

2. Bài toán tìm s trong khai tri

Ví d 2.1: Tìm s
21
trong khai tri
25
2 3x
Gi
S
21
trong khai tri à:
20
20 5 20 5 20 20
25 25
2 3 2 3C x C x
Ví d 2.2 Tìm s
28
x trong khai tri
10
3
x xy
Gi
S à:
10
3 30 2


Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
13
13
Gi
a. Khai tri
20
3
x xy có
21 1
s ên có hai s à s
th
11
và
12

S
11
:
11
10
10 3 10 43 10
21 21
C x xy C x y
S
12

3
20 20
C x xy C x y
( V x là ký hi n nguyên c
x
ngh à s ên l
x
).
Ví d 2.4 Tìm s
3
x
trong khai tri
10
1 1x x
Gi
Cách 1: Xét khai tri
2 3 10
0 1 2 2 3 3 10 10
10 10 10 10 10
10
1 1 1 1 1 1x C C x x C x x C x x C xx x
Nh
3
x
ch
S
2
2 2 2 2 3 4
10 10
1 2C x x C x x x

10
1C x x nên s
3
x
là:
2 3
10
2
C x

V
k
3
3 3
10
1C x x nên s
3
x
là:
3 3
10
C x
V ìm là:
2 3 3 3 3
10 10
2 210
C x C x xVí d - 2004) Tìm s

ta có:
7 7
0 4
3 12
k k
Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
14
14
V
x
trong khai tri f x là:
4
7
35
C
Ví d Tìm h
x
trong khai tri n:
17
34
3 2
0
1
x x
x


17
24310
C

Ví d – TH&TT- - 2004) S ,
a b
và có s
trong khai tri
21
3
3
a b
b a

Gi
Ta có s
21
21
1 1 1 1
3 6 6 2
3
3
. .
a b
a b a b
b a

21 3 21 63 4
21
21 21

3
15
0
n
x x xx . Hãy tìm
s ào
x
, bi
1 2
79
n n n
n n n
C C C
Gi
T
1 2
1
79 1 79
2
n n n
n n n
n n
C C C n

2
156 0 12
n n n
Ta có s
28
3

792
C

Ví d Tìm s
6
trong khai tri
2 2
*
3
2 2
, , 0,
n
x y
x y n N
y x
Bi c c ày b
4096
Gi
ìm
n
thông qua gi ã cho: Có th ình bày theo hai cách sau
Cách 1: Ta có:
0 1
1 4096 *
n
n
n
x xx a a a
k
k n

6
trong khai tri
12
2 2
3
2 2
x y
y x
là:
32
5
7
2 2
3
5
3
12
2 2
792
x y x
C
y x y

Ví d - 2001) Cho khai tri
10
9 10
0 1 9 10
1 2

3 3

2 2
max
2 2
k k
k k
k k k k
k k k k
C C
C
a a
C
a a

2 10! 2 10!
1 2
! 10 ! 1 ! 9 !
19 22
10 1
2 2
3 3
2 10! 2 10!
11
! 10 ! 1 ! 11 !
k k
k k
k k k k
k k
k
k k
k k k k

0.2
5
k
k k
k
k
T C C
S
1
k
:
1 1000
1
5
k
k
k
T C
S
1
k
:
2
1 1000
2
1
5
k
k
k

1
5 1001
6 6
1002
5 1
k k
k k
k k
k k
k
k
V
166
1000
166
1
max
5
k
T C

Ví d Tìm s
10
3
1
5
2

Gi
S

0
10
1 1
32 32
C
V
6k
s à
3 2
10
1 2625
2 .5
32 2
k
C
V ìm là:
2625 1
à
2 32
v
Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
17
17

S à
m r

S g t
124 124
1 1 1 1
124 124
10
62
4
2 4 2 4 2 4
124 124
0 0
3 5 3 5 3 . 5 1 3 .5
k k
k k
k
k k
k k
C C
S
62
2
0 124
0 124 0 31 0,1, ,31
4
4 4
4
0 124
k
N
i N i N
k

C C
S ên
15
12 , 0 36 0,15,30
3 5
k
k k
N k k
k ZBài T Áp D

Bài 1 - 2002) G
1 2 11
, , ,a a a là các h ong khai tri
11 10 9
1 2 11
1 2 x x x a x a x a .
Hãy tính h
5
a

Bài 2: Tìm h nh sau:
Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
18

3 2
n
x x . Bi
4
3 4
1
24
23
n
n
n n
A
A C
e) H ch
3
x
trong khai tri
3 4 22
1 2 1 2 1 2f x x x x
f) H
5 3 6 6
x y z t
trong khai tri
20
x y z t ( “TH&TT”- 2003)
Bài 3: - -2009- Th Tìm h
8
x
trong khai
tri

x x bi t:
2 2 1 2
2 2 2
2 0
2
3 1 3 3 1024
k
n n k n k
n n n n
n
C C C C
Bài 6 Tìm các s
a) S
13
trong khai tri
17
34
3 2
1
, 0
x x
x
b) S
3
trong khai tri
2
2
n
x . Bi
0 1 1 2 2


Bài 8 Tìm các s
x
trong các khai tri :
a)
60
12
1
x
x
b)
12
3
4
1
x
x
c)
8
2 4
1 x x
d)
1
n
x
x
Bi s
35

Bài 9

x
3 3 5 3 10
0 1 2

n n n
P x a x a x a x Bi
0 1 2
, ,
a a a
l ành m
c
4
x
Bài 11: Trong khai tri
200
4
2 3 có bao nhiêu s ó h à h
Bài 12: Tìm h
a)
1001
1 0.0001 b)
21
1 2x c)
11
1 2
2 3
x

C. ÁP D C VÀ TÍNH
T

Gi
ùng nh
a 1,b 3
:

0 1 1 2 2 3 3 4 4 2000 2000 2001
2001 2001 2001 2001 2001 2001
2001
C 3 C 3 3 3 3 (3C C C 1) 4C
ìm ch
k
2001
C v ên ta ph
các s
a 1,b 3

0 1 1 2 2 3 3 4 4 2000 2000 2001
2001 2001 2001 2001 2001 2001
2001
C 3 C 3 3 3 3 (3C C C 1) 2C
ìm là
2001 2001
2000 2001
4
2 2
2
2
1
T ài toán t



L 1 2
2 2
0 2 2 2 2
2 2 2
1 1 2
n n
n n
n n n
x x C C x C x
Ch
3
x
suy ra:
2 2
0 2 2 2 2
2 2 2
4 2 2 3 3
n n
n n
n n n
C C C
4 2
0 2 2 2 2
2 2 2
2 2
0 2 2 2 2
2 2 2
2 1 2 0 2 2 2 2
2 2 2

, b
3
1 11
vì v ta c
gi
2 à 3
v
trong m
1
V
10
0 10 0 2 8 2 9 1 9 9 0 10 10
2009 2009 10 10
2.3 2 3 2 3 2 3 2 3 6 2 3 6.5S C C C C
Ví d I.5 : Tính t
0 2009 1 2008 1 2 2007 2 2008 1 2008 2009
2009 2009 2009 2009
3 3 4 3 4 3 4 4S C C C C
Gi
Ta có:
2008 2008
1 2008 2008
1 3 4 3 4
k
k k k k k k
k
T C C

2009
2009

1
1
n

Suy ra :
0 1 2 3

0(**)
1
n
n
n n n n n
C C C C C
Ta có:
1
1 3 1 1
! ! !
(*) 2
1! 1 ! 3! 3 ! 1 !1!
C C C 2
n
n n
n n n
n n n
n n n

T
0 1 2 3 1
0 1 2 3 1
0

2
2
2
n
n n
n n n
C C C PCM
Ví d Ch ên
n
có:
3 5 2 1 0 2 4 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1

n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C
Gi
Ta có khai tri
2
0 2 1 2 1 2 2 2 2
2 2 2 2
1
n
n n n n
n n n n
x C x C x C x C
Ch
1
x

1
x
0 1 2
20 20 20
0 2 1
20
19 20
20 20
20 3 19
20 2
20 0
0
20 2

0 C C C C C
C C C C C C

A B
v
0 2
20 20
1
20 20
20
20
3 19
20

(1)


1
k k k
n n n
C C C và
0
1
n
C
2
19 19
19
1 3 5 19 1 3 18 19 19
20 20 20 2 10 19 19 9
. 1 1 2 C C C C C C C C C

Ví d Rút g
2006 1 2004 3 3 2002 5 5 2007 2007
2007 2007 2007 2007
3 .2. 3 .2 . 3 .2 . 2 .S C C C C
Gi
Ta có các khai tri
2007
2007 0 2006 1 2005 2 2 2006 2007 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
2007
2007 0 2006 1 2005 2 2 2006 2007 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
3 2 3 3 .2. 3 .2 . 3.2 . 2 . *
3 2 3 3 .2. 3 .2 . 3.2 . 2 . **
C C C C C

2004
2004
2004 2004
0
2004
2004
2004
0
2004
0
0 2 2
2004 2004
1
1 1
1

k k
k
k
k k
k
k
k
k
x C x
x x C x x
x C x
C C x
2004 2004
2004

1
1 . .
(*)
.
p p p p q q p
a a b
a
a a
a a a a
b
b b
b b b b
a b
p
a b a b b
x C C x C x C x
x C C x C x C x
x C C C C C C C xCM
V à m
p
x

M
0 1
1 (*. .
)
*
a b
p p a b a b
a b a b a b a b

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
23
23
Ví d II.1.1:( - 1999) Tính t
1 2 3 4 n 1 n
n n n n n
C 2C 3C 4C ( 1) nC
Gi
Ta th òn l
a 1,x 1
ta tính

Cách khác: S
k k 1
n n 1
kC nC

0 1 2 3 n 1 n 1 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
nC nC nC nC ( 1) nC n(1 1) 0
Dùng cách này có th
àm ho àm.

Ví d II.1.2:Tính t
1 2 2 2 n n 1
n n n n
2C 2.C 2 3C 2 nC 2
Gi

Cách 1: Ta có:
n
0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n
n n n n
2 x C 2 C 2 x C 2 x C x
àm hai v theo bi
x

n 1
1 n 1 2 n 2 3 n 3 2 n n
n n n n
n 2 x C 2 2C 2 x 3C 2 x C n.x
V
1 1 1 2 2 3 3
1 3 2 2 .2 2 .3 PCM
n n n n n
n n n n
x n C C C C n
Cách 2: Ta có:
n
0 1 2 2 n n
n n n n
1 x C C x C x C x
àm hai v
x
n 1
1 2 n n 1
n n n
n 1 x C 2C x nC x
Ta ch

n n n n
n(x a) nx C (n 1)x aC (n 2)x a C a C
Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
24
24
n 1
n5

Cách khác: Khéo léo s
k k k 1
n n n 1
n k
n
C C ,kC nC ta có th
ph àm ph
n 1 n n 2 n 1 n 3 2 n 2 n 1 1
n n n n
n 1 n 1 n 2 n 2 n 3 2 n 3 n 1 0
n 1 n 1 n 1 n 1
n 1 n 1 n 2 n 2 n 3 2 n 3 n 1 0 n 1 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1
S n2 C (n 1)2 3C (n 2)2 C 3 C
n2 C n2 n2 3 C n3 C
n 2 C 2 2 3 C 3 C n(2 3) n5
3
3C

(x 1) (2008x 1) 2008C x 2007C x 2C x C
C
Thay x = 1 vào ta tìm c t à
2006
2009.2Ví d II.1.6: Ch
:
2
1
1 3
2 3 2. .
n n n
n n n n
nC C C C x
b)
1 1 2 1
2 3 1 1 2 .2
p n n
n n n n n
C C C p C n C n
Gi
a) Xét nh
0 1 2 2
1
n
n n
n n n n
x C C x C x C x

x thì ta có:
1 1
0 0 3
4
0 3
3 '
4 '
3 '
n n
n
n n
n
n n
C C x
C C x
n C C x

Suy ra:
0 3 3 01 4 2 5 3 1 3 3 32
.3 1
n n n n n n n
n
n n n
n
n
C x C x C x n C x x C C x xC x C x x
Nh à

Thân T – ê H – 2009)


3.2 2 2 6
n n n
n n

2. àm c

D Khi h -1).n hay (n-1)n, …,
2.3 , 1.2 hay
2 2 2
1 ,2 , ,n ( không k
k n k
n
k(k 1)C a hay t
k n k k
n
k(k 1)C a b thì ta có th
n 0 1 n 1 2 n 2 2 2 n 3 3 3 n n n
n n n n n
3
(a bx) C C a bx C a b C a bx x C b x
àm hai v
n 1 1 n 1 2 2 3 n 3 3 2 n n n 1
n n
n
n n
2
bn(a bx) C a a b x 3C a b x nCb xC b2
àm l
n2 2 n 2 2 3 n 3 3 n n n 2
n n

n 2 n 2 n 2 n
1
2
n 2 n 2
S n1C n2C n3C n(n 1)C
n(n 1)C n(n 1)C n(n 1)C n(n 1)C
n(n 1)(1 1) n(n 1)2

c t -1 và n = 16
2 3 4 15 16
16 16 16 16 16
1.2C 3.4C .2.3C 14.15C 15.16C
Ho
k k 1
n n 1
kC nC
Ví d I.2.2 Rút g
2 1 2008 2 2 2007 2 3 2006 2 2009
2009 2009 2009 2009
1 C 2 2 C 2 3 C 2 2009 C
Gi
Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam
26
26
V Ví d
2009 0 2009 1 2008 2 2007 2 2006 3 2009 2009

2.1C 3.2C 4.3C (n 1)nC ta c
h
k
n
C nên ta ph àm 2 l

Ví d – CS Kh Cho 1 , 2
n
f x x n Z
a) Tính
'' 1
f
b) Ch
2
2 3 4
2.1 3.2 4.3 1 1 1 2
n n n
n n n n n
C C C n nC n nC n n
Gi
a)
1 2 2
' 1 '' 1 1 '' 1 1
n n n
f x n x f x n n x f n x
b) Ta có:
0 1
1 2
1
n n

k
n n
n n n n
f x C kC x
f x k k C x
f k k C
C C p C n nC n n

T b ta thay
1 1
n n thì ta có m bài toán khác:
b’) Ch
1 2 2
2.1 3.2 1 1 1 2
p n n
n n n n
C C n pC n nC n n
V bài toán này ta có th
Xét nh
0 1 2 2
1
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
Nhân hai v
#0
x àm c
1 2
1 1