Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 64
ĐẠO DIỄN: TRUNG đẹp trai hehe
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 2
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 63
®Ò 2


Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

⎧
++
≠
−
⎪
=
+
⎨
⎪
⎩
2
32
, khi x 2
()
2
3 , khi x = -2
xx
fx
x

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 2x
3
– 6x +1 (1)
a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số (1) rồi suy ra
(5)f
′
′
−

MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO
®Ò 1

Câu 1: Tính giới hạn của hàm số
a)
2
3
299
lim
3
x
xx
x
→
−−
−
b)
2
241
lim
32
x
x
x
x
→−∞
−
+
−
+

+ 8
b) y =
2
251
34
x
x
x
+−
−

c) y = 3sin3x - 3cos
2
4x
Câu 4:

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)
y = - 2x
4
+ x
2
– 3 tại điểm thuộc (C) có hoành độ x
0
= 1.
b) Cho hàm số y = x.cosx.
Chứng minh rằng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” = 0
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ở B và

A

y
x
2.
3sin2
2cos3
=
x
y
x

3.
cot(2 )
4
π
=−yx
4.
2
tan( 5 )
3
π
=+yx

5.
1
cos
1
−
=
+
x


9.
sin cos
cos 1 1 sin
=+
−+
x
x
y
x
x
10.
2
1
2sin
tan 1
=+ −
−
yx
x

Bài 2. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:
1.
cos3
x
y
x
= 2. 22sinyx x
=
−

13cos
y=
2
x
+
4. 24sincosyxx
=
−
5.
2
4sin cos2yxx=− 6. 3cos2 1yx
=
+
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 4
7. 73sin3yx=− 8.
22
52sin cosyxx=−

Bài 4. Hãy xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
1. sinyx=− 2. 2sinyx=−
3.
sin( )
3
yx
π
=+ 4. cos 1yx=+

sin3 cos2 0
x
x−= 6. tan4 cot2 1
x
x
=

7.
2cos( ) 1 0
6
x
π
−+= 8. tan(2 ) tan3 0
3
xx
π
+
+=
9.
2
cos 2sin 0
2
x
x −=
10.
44
2
cos sin
2
xx−=

cos sin cos2
x
xx+=
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 61
3. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và
SD
4. Tính : d
[
]
)(, SACM
Bài 6. Cho hình lăng trụ ABC.A
′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′
= a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a
3 .
1. Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′B′).
2. Tính khoảng cách từ A đến (A
′BC).
3. Chứng minh rằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khoảng cách
từ A
′ đến mặt phẳng (ABC′).
Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
1. Chứng minh: B’D
⊥
(BA’C’); B’D
⊥
(ACD’)
2. Tính d

[]
)(, ABCDA
3. d
[]
)(, SBCO với O là tâm của hình vuông.
4. d
[]
)(, ABCDI với I là trung điểm của SC.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và D AB = DC = a , SA
⊥
(ABCD) và SA = 2a
Tính :
1. d
[]
)(, SCDA ; d
[]
)(, SBCA
2. d
[]
)(, SCDAB
3. d
[]
)(, SCDAB
4. d
[]
)(, SBCDE , E là trung điểm của AB
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,tam
giac SAD đều và (SAD)
⊥

18.
2
(2 3)cos 2sin ( )
24
1
2cos 1
x
x
x
π
−−−
=
−

Bài 2. Giải và biện luận phương trình:
1.
sin 2 1
x
m
=
−
2.
(4 1)cos cos 8mxmx−=−
3.
4tan ( 1)tan
x
mm x
−
=+
4.

2
4cos 2( 3 1)cos 3 0xx
−
++=
2.
2
2cos x 5sinx – 4 0
+
=
3.
2cos2x – 8cosx 5 0
+
=
4. 2cosx.cos2x 1 cos2x cos3x
=
++
5.
2
2
3
32tan
cos
=+
x
x

6.
5tan x 2cotx 3 0
−
−=

1sin2
xx x
x
++ −
=
+

11.
44
3tan 2tan 1 0xx+−=
12.
11
cos sin
sin cos
xx
x
x
−= −

13.
2
2
11
cos 2(cos ) 1
cos
cos
xx
x
x
+− +=

SINu VÀ COSu

Bài 1. Giải các phương trình sau:
1.
2sincos3 =− xx

2.
1sin3cos −=− xx

Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 59
1. Chứng minh: (SAB)
⊥
(SAD), (SAB)
⊥
(SBC).
2. Tính góc giữa hai mp (SAD), (SBC).
3. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng
minh: (SHC)
⊥
(SDI).
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O, I, J lần lượt là
trung điểm của BC và AB, AC. Từ O kẻ đoạn thẳng
OS
⊥
(ABC).
1. Chứng minh: (SBC)
⊥


Bài 1. Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I
là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc
chung của các cặp đường thẳng:
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 58
1. Chứng minh: (SBC)
⊥
(ABC).
2. Chứng minh: (SOI)
⊥
(ABC).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Tam
giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. I, J, K
lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC.
1. Chứng minh: SI
⊥
(ABCD).
2. Chứng minh: trên mặt phẳng SAD và SBC là những tam
giác vuông.
3. Chứng minh: (SAD)
⊥
(SAB), (SBC)
⊥
(SAB).
4. Chứng minh: (SDK)
⊥

(ABCD).
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 7
3. sin3 3cos3 2xx+=
4.
2
2cos 3sin2 2xx−=

5.
2sin2 cos2 3cos4 2 0xx x
+
+=
6.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx −=−

7.
4
1
)
4
(cossin
44
=++
π
xx

8.
tan 3cot 4(sin 3cos )

x
x
xx
x
x
−
−=
Bài 2. Định m để phương trình sau đây có nghiệm:
1.
sin 2cos 3mx x
+
=
2.
sin2 cos2 2 0
x
mxm
+
+=
3.
cos3 ( 2)sin3 2mxm x
+
+=
4.
(sin 2cos 3) 1 cos
x
xm x
+
+=+
5.
(cos sin 1) sinmx x x
8
2.
22
3sin x 8sinxcosx ( 8 3 9)cos x 0++−=
3.
22
4sin x 3sin2x – 2cos x 4+=
4.
22
2sin x – 5sinx.cosx – cos x 2=−
5.
22
4sin 3 3sin 2cos 4
22
xx
x+−=
6.
22
2sin 6sin cos 2(1 3)cos 5 3xxx x+++=+
7.
32 3
sin 2sin cos 3cos 0xxxx+−=
8.
32 3
4sin 3sin cos sin cos 0xxxxx+−−=
9.
33 22
sin 3 cos sin cos 3sin cos

sin2x –12 sinx –cosx 12=−
4.
()
2 cosx sinx 4sinxcosx 1+= +
5.
cosx –sinx –2sin2x –1 0=
6.
(1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2 0xx xx++− −−=
7.
33
sin cos 1 sin cos
x
xxx+=−
8.
33
sin cos 2(sin cos ) 1xx xx+= +−
9.
tancot 2(sincos)
x
xxx+= +
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 57
3. Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng
minh rằng: (ACF)
⊥
(SBC), (AEF)
⊥
(SAC).

2.
Tam giác SBD là tam giác vuông.
Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của cạnh
BC, D là điểm đối xứng của A qua I. Dựng đoạn SD =
6
2
a

vuông góc với (ABC). Chứng minh:
1.
(SAB)
⊥
(SAC).
2.
(SBC)
⊥
(SAD).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác là tam
giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a, SA = SB = SC =
2a . Gọi
O là trung điểm của BC, I là trung điểm của AB.
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 56
3. Tính góc [(SMC), (ABC)].
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a, SA =
2a . SA

2.
Tính sđ[B, BC, D] theo a và x. Tính x theo a để số đo nhị
diện trên bằng 120
0

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA
⊥
(ABCD).
1.
Chứng minh: (SAC)
⊥
(SBD).
2.
Chứng minh: (SAD)
⊥
(SCD), (SAB)
⊥
(SBC).
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 9
10.
cos2
sin cos
1sin2
x
xx

7cos 8sin 8xx
+
=
3.
sin cos 2(2 sin3 )
x
xx+=−
4.
33 4
sin cos 2 sin
x
xx+=−

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1.
2
(1 2 sin ) cos 1 sin cos
x
xxx+=++
2.
3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0xxxx
−
−=
3.
3
sin cos sin 2 3 cos3 2(cos4 sin )
x
xx x x x++=+
4.

2
x
x
x
π
π
+
=−
−

www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 10
9.
2
(sin cos ) 3 cos 2
22
xx
x
++ =
10.
2
2sin 2 sin7 1 sin
x
xx+−=

11.
22

16.
1 sin cos sin 2 cos 2 0xx x x+++ + =
17.
22
cos 3 cos2 cos 0xx x−=
18.
2
5sin 2 3(1 sin ) tan
x
xx−= −
19. (2 cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin
x
xx xx−+=−
20.
2
cot tan 4sin 2
sin 2
xx x
x
−+ =
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 55
Bài 4. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm
trong hai mặt phẳng vuông góc nhau. Gọi I là trung điểm của
AB.
1.
Chứng minh: SI (ABCD)
⊥

tại B, AB = 2a, BC =
3a , SA
⊥
(ABC) và SA = 2a. Gọi M là
trung điểm của AB.
1.
Tính góc [(SBC), (ABC)].
2.
Tính đường cao AK của ∆ AMC.
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 54
4. Gọi d là đường thẳng vuông góc với (ABC) tại trung điểm
K của BC tìm d ∩ (
α
).

- GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẰNG VÀ MẶT PHẲNG
- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, tâm O, SO
⊥ (ABCD), M, N lần lượt là trung điểm của
SA và BC, biết

0
(,( ))60MN ABCD = .
1.

Chương II. TÔ HỢP – XÁC SUẤT

PHẦN 1. HOÁN VN - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

Bài 1.
Có 25 đội bóng tham gia thi đấu, cứ 2 đội thì đá với nhau
2 trận ( đi và về). Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu?
Bài 2.
1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên có 5 chữ số?
2.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số và là số chẵn?
3.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau
và chia hết cho 5?
Bài 3. Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ
tịch, 1 phó chủ tịch, 1 thư kí. Hỏi có mấy cách nếu không ai
được kiêm nhiệm?
Bài 4. Trong một tuần, An định mỗi tối đi thăm 1 người bạn
trong số 10 người bạn của mình. Hỏi An có thể lặp được bao
nhiêu kế hoạch thăm bạn nếu:
1.
Có thể thăm 1 bạn nhiều lần?
2.
Không đến thăm 1 bạn quá 1 lần?
Bài 5. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc?
Bài 6. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B,C,D,E vào một ghế dài
5 chỗ nếu:
1.

PP
P
−
+
−
=

3.

12
4
15
.
−+
+
<
nnn
n
PPP
P

Bài 10. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao
nhiêu cách?
Bài 11. Từ tập hợp
{}
X 0; 1; 2; 3; 4; 5= có thể lập được
mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.
Bài 12. Có 10 quyển sách khác nhau và 7 cây bút khác nhau.
Cần chọn ra 3 quyển sách và 3 cây bút để tặng cho 3 học sinh,
mỗi em được tặng 1 quyển sách và 1 cây bút. Có mấy cách?

9.
x
xx
A
AA+=
6.

4
2
21
143
0
4
n
nn
A
PP
+
+−
−<
7.
4
4
15
( 2)! ( 1)!
n
A
nn
+
<

)
2.
Tìm thiết diện của tứ diện SABC và
α

3.
Tính diện tích cua thiết diên theo a và x
Bài 14. Cho tứ diện SABC có hai mặt ABC và SBC là 2 tam
giác đều cạnh a và SA =
3
2
a
. Lấy điểm M thuộc AB và AM =
x (0<x<a).gọi (
α
) là mặt phẳng qua M và vuông góc vói BC, D
là trung điểm của BC
1.
Chứng minh: (
α
) // (SAD)
2.
Tìm thiết diện của tứ diện SABC và (
α
)
3.
Tính diện tích của thiết diện theo a và x
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông cân tại B,
AB = BC =2a. Cạnh SA
⊥

Chứng minh: H = h/c O/(SBC).
3.
Gọi N = OH ∩ SA. Chứng minh : SB
⊥
CN và SC
⊥

BN
Bài 9. Cho tứ diện S.ABC có SA
⊥
(ABC). Gọi H, K lần lượt
là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh:
1.
AH, SK, BC đồng quy
2.
SC
⊥
(BHK)
3.
HK
⊥
(SBC)
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B,
AB =a,SA
⊥
(ABC) và SA =a 3. Lấy điểm M tùy ý thuộc
cạnh AB với AM =x (0<x<a). Gọi
α
là mặt phẳng qua M và
vuông góc với AB

học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn khác nhau.
1. Nếu phải có ít nhất là 2 nữ.
2. Nếu phải chọn tuỳ ý.
Bài 21. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Người ta
muốn chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư rồi dán 3 tem thư vào 3 bì
thư đó. Có bao nhiêu cách ?
Bài 22. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12
nam, 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội đó về 3 tỉnh
miền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam, 1 nữ ?
Bài 23. Giải :
1.

123
xxx
7
C+C+C= x
2

2.

32 2
x-1 x-1 x-2
2
CC=A
3
−

3.


Bài 24. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 14
1.
10
4
1
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
2.
12
3
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
x
x


1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
x
x
Bài 26. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển
10
3
5
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ x
x

Bài 27. Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức
Niu-tơn

−
⎜⎟
⎝⎠
là 97. Tìm số hạng chứa x
4
.
Bài 29. Tính tổng:
1.

012
1
.
n
nnn n
SCCC C=++++
2.

024
2

nnn
SCCC=+++

3.

135
3

nnn
SCCC=+++

nn n n n n n n
CCCCCCCC
−
+++++=++++++

3.
0122
6 6 6 7
nn n
nn n n
CC C C++ ++ =
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11 51
3. Chứng minh: HK// BD OH=OK.
4.
Chứng minh: HK
⊥
(SAC).
5.
Chứng minh: AI
⊥
HK.
6.
Tìm mặt phẳng trung trực của đoạn BD và HK. Giải thích.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a
SA
⊥
(ABCD) và SA=a 2 . Gọi (

BD thì AD
⊥
BC.
Bài 7. Cho tứ diện có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên (ABC). Chứng
minh:
1.
OA
⊥
BC, OB
⊥
CA, OC
⊥
AB.
2.
BC
⊥
(OAH), AB
⊥
(OCH)
3.
H là trực tâm của tam giác ABC
4.

2222
1111
OH OA OB OC
=++
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT Ngô Thời Nhiệm Bài tập toán 11

A
CvaøBD
 
. - ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
- HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Bài 1. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B và
SA
⊥
(ABC).
1.
Chứng minh: BC
⊥
(SAB).
2.
Gọi M và N là hình chiếu của A trên SB và SC, MN cắt BC
tại I. Chứng minh: AM
⊥
(SBC) , SC
⊥
(AMN).
3.
Chứng minh AI
⊥
SC
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có AB=AC , DB=DC . Gọi I là trung
điểm của BC.
15
4.
17 0 1 16 1 17 17 17
17 17 17
3 4 .3 . 4 7CC C+++=

PHẦN 2. XÁC SUẤT

Bài 1.
Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi A là biến cố
“ tổng số chấm trên mặt của hai con xúc xắc bằng 4 “
1. Liệt kê các kết quả thuận lợi của biến cố A
2. Tính xác suất của biến cố A
Bài 2. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ bài tú –lơ –khơ :
1. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân
bài đó thuộc 1 bộ ( ví dụ : có 3 con 4)
2. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có 4 quân bài
thuộc một bộ
Bài 3. Gieo một con xúc xắc 2 lần . Tính xác suất để :
1. Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiên
2. Mặt 4 chấm xuất hiện ở ít nhất 1 lần
Bài 4. Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu
đỏ khác nhau. Lấy ra 2 quả cầu. Tính xác suất để :
1. Hai quả cầu lấy ra màu đen
2. Hai quả cầu lấy ra cùng màu
Bài 5. Gieo 3 con đồng xu. Tính xác suất để
1. Có đồng xu lật ngửa
2. Không có đồng xu nào sấp

50.000đ và 10 vé trúng 10.000. Một người mua ngẫu nhiên 3
vé.Tính xác suất để
1.
Người mua trúng thưởng đúng 30.000
2.
Người mua trúng thưởng 20.000
Bài 11. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê
phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lí chọn ngẫu
nhiên 6 người. Tính xác suất để
1.
Có 6 khách là nam
2.
Có 4 khách nam, 2 khách nữ
3.
Có ít nhất 2 khách là nữ
Bài 12. Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra hai
tấm thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên tấm thẻ là một số
chẵn
Bài 13. Một lô hàng gồm 100 sản phNm , trong đó có 30 sản
phNm xấu. Lấy ngNu nhiên 1 sản phNm từ lô hàng.
1.
Tìm xác suất để sản phNm lấy ra là sản phNm tốt
2.
Lấy ra ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phNm từ lô hàng. Tìm
xác suất để 10 sản phNm lấy ra có đúng 8 sản phNm tốt
Bài 14. Kết quả (b,c) của việc gieo hai con xúc xắc cân đối hai
lần, được thay vào phương trình x
2
+ bx+ c =0. Tính xác suất để:
1. Phương trình vô nghiệm

      
.
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, R thứ tự là trung
điểm AB, A’D’. Gọi P’, Q, Q’, R’ thứ tự là giao điểm của các
đường chéo trong các mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’,
ADD’A’. Chứng minh rằng:
1.
PP' QQ' RR' 0++=
  
.
2.
Hai tam giác PQR, P’Q’R’ có cùng trọng tâm.
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm tứ
diện ABCD và tam giác BCD. Chứng minh rằng: A, G, G’
thẳng hàng.
Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt
là trung điểm BB’, A’C’. K là điểm trên B’C’ sao cho
KC' 2KB=−

 
. Chứng minh bốn điểm A, I, J, K thẳng hàng.
Bài 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có
,',
B
AaBB bBCc===

     
. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên
AC, DC’ sao cho . , ' '
==

48
Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’.Gọi I và I’ lần lượt là
trung điểm của các cạnh BC và B’C’
1.
Chứng minh rằng AI // A’I’.
2.
Tìm giao điểm IA’ ∩ (AB’C’).
3.
Tìm giao tuyến của (AB’C’) ∩ (BA’C’).
Bài 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I , K , G lần lượt
là trọng tâm của các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’ . Chứng
minh rằng:
1.
(IKG) // (BB’C’C)
2.
(A’KG) // (AIB’)
Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm
A’B’
1.
Chứng minh rằng CB’ // (AHC’)
2.
Tìm giao tuyến d = (AB’C’)∩ (A’BC) .
Chứng minh rằng: d // (BB’C’C)
Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.
1.
Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (BA’C’).
2.
Gọi M, N lần lượt là hai điểm bất kì trên AA’ và BC. Tìm
giao điểm của B’C’ với mp(AA’N ) và giao điểm của MN
với mp(AB’C’).

=−++++
nn
n
.
2.
6
)12)(1(
321
2222
+
+
=++++
nnn
n .
3.
3
)14(
)12( 31
2
222
−
=−+++
nn
n .
4.
3
)12)(1(2
)2( 42
222
+

1

3.2
1
2.1
1
+
=
+
+++
n
n
nn

9.
14)14)(34(
1

9.5
1
5.1
1
+
=
+−
+++
n
n
nn


−+ n
n
chia hết cho 9.
4. nn
−
5
chia hết cho 30.
5.
133
115
++
+
nn
chia hết cho 17.
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 18
Bài 3. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1.Hãy chứng minh bất
đẳng thức

24
13
2
1

2
1
1

122
+> n
nDÃY SỐ Bài 1. Xét tính đơn điệu các dãy số sau :
1.
2
1
1
n
u
n
=
+
2.
12
3
+
=
n
n
n
u
3.
1
2

n
n
−= 3 8. 1
2
−−= nnu
n
.
Bài 2. Xét tính bị chặn các dãy số sau :
1. 23
−= nu
n
2.
1
(1)
n
u
nn
=
+

3.
1
3.2
n
n
u
−
= 4.
n
n

AM = x, AB = AC = CD = a. Tính x để diện tích này lớn
nhất.

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài 1. Cho hai hình bình hành ABCD , ABEF có chung cạnh
AB và không đồng phẳng . I, J, K lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, CD, EF. Chứng minh:
1.
(ADF) // (BCE).
2.
(DIK) // (JBE).
Bài 2. Cho tứ diện ABCD.Gọi H, K, L là trọng tâm của các tam
giác ABC, ABD, ACD. Chứng minh rằng (HKL)//(BCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O.
Tam giác SBD là tam giác đều. Một mp (
α) di động song song
với (SBD) qua điểm I trên đoạn AC. Xác định thiết diện của
hình chóp cắt bởi (
α).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông
tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a, tam giác SAB vuông cân
tạiA.Trên cạnh AD lấy điểm M. Đặt AM =x. Mặt phẳng (
α) qua
M và //(SAB).
1.
Dựng thiết diện của hình chóp với (α).
2.
Tính diện tích và chu vi thiết diện theo a và x.
Bài 5. Cho hai mp (P) và (Q) song song với nhau và ABCD là

Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD .
1.
Chứng minh MN // (SBC) và MN // (SAD)
2.
Gọi P là trung điểm của cạnh SA. Chứng minh SB //
(MN P) và SC // (MN P).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên
SB và CD. (
α) là mặt phẳng qua MN và song song với SC.
1.
Tìm các giao tuyến của (α ) với các mặt phẳng (SBC),
(SCD) và (SAC).
2.
Xác định thiết diện của S.ABCD với mặt phẳng (α) .
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi
M,N là trung điểm SA,SB. Điểm P thay đổi trên cạnh BC
1.
Chứng minh rằng CD//(MN P)
2.
Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MN P) .
Chứng minh rằng thiết diện là 1 hình thang.
3.
Gọi I là giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện ,tìm quĩ tích
điểm I
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB,
CD, (
α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SA.
1.
Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (α).

n
n
n
u
u
u
u
;
1≥
∀
n .
Chứng minh rằng
n
u bị chặn trên bởi
2
3
và bị chặn dưới bởi 1.
Bài 4. Cho dãy số ()
n
u xác định bởi:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
=
+
2

2).1(
1
1
1

;
1≥
∀
n .
Chứng minh rằng :
1. ( )
n
u là dãy tăng.
2.
n
n
nu 2).1(1 −+= , 1≥
∀
n .

CẤP SỐ CỘNG

Bài 1.
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng, biết :
1.
⎩
⎨
⎧
=+
=+−

uu
4.
⎩
⎨
⎧
=+
=+
1170
60
2
12
2
4
157
uu
uu

5.
⎩
⎨
⎧
−=−
=++
24
25
82
541
uu
uuu
6.

3. Cho cấp số cộng có số hạng đầu bằng -2, công sai bằng 3.
Hỏi 55 là số hạng thứ bao nhiêu của CSC. Tính tổng của 20 số
hạng liên tiếp kể từ số hạng thứ 15.
4. Tính tổng tất cả các nghi
ệm của phương trình:
sin
2
3x-5sin3x +4=0 trên khoảng (0; 50
π
).
Bài 3. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (
n
u ), biết
rằng:
⎩
⎨
⎧
=+
=−
450)()(
30
2
23
2
17
1723
uu
uu
.
Bài 4. Hãy tìm tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (

1.
x310 − ; 32
2
+x ; 7-4x
2.
23 +x ;
45
2
++ xx
;
68
3
++ xx

Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 45
2. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG).
Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để
thiết diện là hình bình hành.
Bài 6. Hình chóp S.ABCD,đáy ABCD là hình bình hành. Lấy
một điểm M thuộc cạnh SC .Mặt phẳng (ABM) cắt cạnh SD tại
điểm N . Chứng minh N M// CD.
Bài 7. Hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm
trong một mp. Trên AC lấy một điểm M và trên BF lấy một
điểm N sao cho
k
BF
BN

Chứng minh: PQ // SA.
2.
Gọi K là giao điểm của MN và PQ, chứng minh SK // AD
// BC.
3.
Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm
giao điểm của Qx với (SAB) và của Qy với (SCD). ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Bài 1.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của
tam giác ABD và ACD.
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 44
2. Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN ) ?
3.
Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN ) với hình chóp
Bài 18: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành .
M là trung điểm SC
1.
Tìm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA
= 2IM .
2.
Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là
trung điểm SD ?

2.
Trên cạnh SC lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chóp
với mặt phẳng (MKH).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang với các cạnh
đáy là AB và CD. Gọi I, J lầm lượt là trung điểm của DA và BC
và G là trọng tâm tam giác SAB.
1.
Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG)
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 21
Bài 11. Chứng minh rằng ba số dương a, b, c lập thành cấp số
cộng khi và chỉ khi các số:
baaccb +++
1
,
1
,
1
lập
thành cấp số cộng.
Bài 12. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng
của chúng là 20 và tích của chúng là 348.

CẤP SỐ NHÂN

Bài 1.
Trong các cấp số nhân dưới đây, hãy tính số hạng
n


1.
⎩
⎨
⎧
=
=
192
96
6
5
u
u
2.
⎩
⎨
⎧
=+
−=++
10
21
42
531
uu
uuu

3.
⎩
⎨
⎧

531
uu
uuu
6.
⎩
⎨
⎧
=+−
=+−
20
10
653
542
uuu
uuu
.
Bài 3. Tìm cấp số nhân (
n
u ) biết:
1234
2222
1234
15
85
uuuu
uuuu
+++=
⎧
⎪
⎨

=+
123
16
43
52
uu
uu
.
Bài 7. Tính tổng:
1.

3
2
.)1(
9
4
3
2
1
1
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++−+−=
+
n

⎨
⎪
=
⎩

Bài 9. Một cấp số cộng và một cấp số nhân đều là các dãy tăng.
Các số hạng thứ nhất đều bằng 3, các số hạng thứ hai bằng
nhau. Tỉ số giữa các số hạng thứ ba của cấp số nhân và cấp số
cộng là 9/5 .Tìm hai cấp số ấy.
Bài 10. Tìm hai số a, b biết rằng 1,a,b là cấp số cộng và 1,a
2
,b
2

là cấp số nhân.

Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 43
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, cạnh đáy lớn
AB. Gọi I, J, K lần lợt là các điểm nằm trên SA, AB, CD
1.
Tìm giao điểm của IK và (SBD).
2.
Tìm giao điểm của SD và (IJK).
3.
Tìm giao điểm của SC và (IJK) .

THIẾT DIỆN

MD; N D =
2
1
N C
1.
Tìm giao tuyến PQ của (IMN ) với (ABC) ?
2.
Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN ) với tứ diện ?
3.
Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?
Bài 17: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB
là đáy . Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC .
1.
Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 42
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang với đáy
lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SB. M là điểm
tuỳ ý trên cạnh SD.
1.
Tìm giao tuyến của(SAD) và (SBC).
2.
Tìm giao điểm K của IM với mặt phẳng (SBC).
3.
Tìm giao điểm N của SC với mặt phẳng (IJM).
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M
là trung điểm của SC.

1.
Tìm giao điểm của CD và (MN K).
2.
Tìm giao điểm của AD và (MN K)
Bài 12: Cho tứ diện ABCD. M, N là 2 điểm trên cạnh AC, AD.
O là 1 điểm bên trong
Δ BCD. Tìm giao điểm của:
1.
MN và (ABO).
2.
AO và (BMN ).
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 23
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
1. lim
92
14
2
2
+
−−
n
nn

nn
nn

5. lim
23
4
11100
3373
nn
nn
−
−+
6. lim
)32(3
)31(
23
22
nn
nn
+−
−

7. lim
23
32
)42(
)2()23(
n
nn
−


3.
32
232
lim
2
4
+−
−+
nn
nn
4.
12
21
lim
2
+
−+
n
nn

5. lim
756
1
4
3
362
−+
+++
nn
Bài 3. Tính các giới hạn sau:
1.
12
13
lim
−
+
n
n
2.
n
nn
5.37
5.23
lim
+
−

3.
11
5)3(
5)3(
lim
++
+−
+−
nn
nn

12
1
lim
+−+ nn

5.
(
)
nnn −+1lim
2
6.
(
)
nnn +−
3
32
lim
7.
(
)
3
3
1lim nn −+ 8.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++ nnnnlim

x

3.
72
15
lim
1
+
−
→
x
x
x
4.
3
2
4
2
2
232
lim
+−
++
−→
xx
xx
x

Bài 2. Tính các giới hạn sau:
1.

⎛
−
−
−
→
3
1
1
3
1
1
lim
x
x
x
4.
253
103
lim
2
2
2
−−
−+
→
xx
xx
x

5.

23
2
−−
++
−→
xx
xxx
x
8.
6
23
lim
2
23
2
−−
++
−→
xx
xxx
x

9.
6
293
lim
3
23
2
−−

→
x
x
x
2.
2
153
lim
2
−
−−
→
x
x
x

3.
11
lim
0
−+
→
x
x
x
3.
x
x
x
−

Tìm giao điểm của MN và (BCD)
2.
Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD)
3.
Mặt phẳng (OMN ) cắt các đường thẳng BD và CD tại H
và K. Xác định các điểm H và K.
Bài 3: Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J, K lần lượt là các điểm
trên các cạnh SA, AB, BC. Giả sử đường thẳng JK cắt các
đường thẳng AD, CD tại M, N . Tìm giao điểm của các đường
thẳng SD và SC với mặt phẳng (IJK).
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N , P là các điểm lần lượt trên
các cạnh AC, BC, BD.
1.
Tìm giao điểm của CP và (MN D).
2.
Tìm giao điểm của AP và (MN D).
Bài 5: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AC và BC. Trên BD lấy điểm P sao cho
BP=2PD.
1.
Tìm giao điểm của các đường thẳng CD với mặt
phẳng(MN P)
2.
Tìm giao điểm của hai mặt phẳng (MN P) và (ACD).
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 40
SE, SB lần lượt tại M, N . Một mặt phẳng (Q) qua BC cắt SD và

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB// CD) điểm S nằm ngoài mặt
phẳng chứa ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC,
SD. Gọi I là giao điểm của AD và BC, J là giao điểm của AN và
BM.
1.
CMR : S, I, J thẳng hàng.
2.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. CMR : SO, AM, BN
đồng quy.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm BC, BD.
Các điểm P và S lần lượt thuộc AD, AC sao cho
1
3
A
RAD= ;
1
3
A
SAC= . CMR : ba đường thẳng AB, MS, N R đồng quy.
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 25
5.
25
34
lim
2
5
−

x
x
336
1
lim
2
1
++
+
−→

9.
1
132
lim
2
1
−
+−
→
x
xx
x
10.
23
2423
lim
2
2
1

x
x
141
lim
3
0
−+
→
4.
x
x
x
3
11
lim
3
0
+−
→

5.
11
lim
3
0
−+
→
x
x
x

−+
+
−→
x
x
x

9.
x
xx
x
3
0
812
lim
−−−
→
10.
1
57
lim
2
3
1
−
−−+
→
x
xx
x

x

3.
)(lim
1
xf
x→
biết
()
⎩
⎨
⎧
>+
≤−
=
1;1
1;13
2
xx
xx
xf

4.
)(lim
1
xf
x→
;
)(lim
3