Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân
1
BÀI TẬP
MÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly
1.
cos2 sin 0
y y y

 

2.
cos sin 1
cos sin 1
y y
y
x x
 


 

3.
2 2
2 1
y x xy y


y x y x

  

8.




2 2
1 1 0
x y
y e dx e dy y dy
 
    
 

9.


 
2 2
2 2
1
2 2 2 2 0
xy y x dx
x y xy x y x dy
   
      


x

 

13.




2 2 2 4 4
1 0
y x y y x y
 
   

14.
1
1
y
x y


 

15.
1
x y
y e



2
2 1
1 1
dy x x
dx
x x
 

 

20.
2 2
2
y y xy x

   

1.2 Giải các phương trình vi phân thuần nhất
21.
2 2
xdy ydx x y dx
  
22.
y
x
xy y xe

 
23. cos ln
y

2 2 2 2
(3 ) ( ) 0
x y y y x xy

   

28.


2 2 2 2
2 ( 2 ) 0
x xy y dx y xy x dy
     

29.




2 1 4 2 3 0
x y dx x y dy
     

30.
sin
y y
y
x x

  , với


34.




1 2 0
x y y x y

     

35.
2 2 2
2 2 2 4
dx dy
x xy y y xy

  

36.
dx dy
y x y x

 

37.





 
 

1.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính
41.
2
arctan
xy y x x

 
42.
2 2 2
(1 ) 2 (1 )
x y xy x

   
43.
2
2
x
y xy xe


 

Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân
2
44.



 

48.


1 2
xy y


( 1)
y y
 

49.
3
y xy x

 

50.
2
1
0
2
y
x y

 



1
xy y
x

 


55.




2 1 3 4 2 1 0
x x y x y x x

     

56.
2
sin
xy y x x

 
57.
2
cos tan
y x y x

  thỏa mãn điều
kiện y(0)=0.

62.
3
sin ' 2
y x y xy y

 

63.


2 3
1 sin 2 cos 2 2
x y y x y x x

   
64.


2
y
x e y

 

65.
2
1
x y
y e


0y
 
.
69.


y xy dx xdy
 

70.


2 2
2 2
x y y xy y
 
 
(coi x = x(y))
71.
tan
cos
x
y y
y

 

72.
y x
y

2 2
2 1 0
x x y dx x ydy
    
.
77.


4 3 2 2
ln 2 3 0
x x xy dx x y dy
  
.
78.


2
2 3 0
y dx xy dy
  

79.


2
2 2 2 0
x x
e x y dx e ydy
   


x x y y y
 
  
 
 
 
   
 
 

83.




2
cos sin 1 sin cos 0
y x y x dx x y x dy
   

84.
1 0
x x
y y
x
x e dx e dy
y
 
 
   


 
  
 
 

87.




sin cos 0
x x
y e y dx x e y dy
   

88.




sin cos sin 0
x y dx x y y dy
   Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân
3
89.
3

2
2
1 cos
2
sin 2sin
x y
x
dx dy
y y

 
 
 
 

92.


2
2
2 cos2 ln
2
2 sin2 0
y x y dx
x
y x dy
y y
 
 
   

toàn phần của hàm u(x,y) nào đó và giải
phương trình vi phân


2 2
1 sin 2 cos 0
y x dx ay xdy
  
với a
tìm được.

1.6 Giải các phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0,
96.
3
' 1
xy y

 
.
97.
2
.
y
y e y


 .
98.
1
2

y
x
y y
 
 

103.
ln
xy y y
 
 
.
104.


2
2 1
y y xy
 
 
.
105.
3
2 ' '
y xy y
  Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO


108.


2 2
1 1 0
x y y
 
   

109.


2
1
y y ay
  
  .
110.


2 2
1 3 0
y y y y
   
  
111.
2
2
1
yy

  
  
115.
y
y y e
 

116.


2
1
y y y y
  
  

117.
2
1
yy y
 
 

118.
2
2 1
xy y y
  
 


  
 
124.
xy y x
 
 

Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân
4
2.2 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên
125.
2 3
2 cos
x y y x x

  , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần
nhất tương ứng là y
1
= x
2

126. Giải phương trình
2 cot
gx
y y y
x x
 

dạng đa thức.
129. Giải phương trình vi phân




2
2 1 2 1 2
x y x y y x x
 
     
biết nó có hai
nghiệm riêng
2 2
1 2
4 1 1
2 2
x x x
y y
  
 
130. Xác định hằng số  sao cho
2
x
y e

 là nghiệm riêng của phương trình vi
phân



'
xy y x

 

134. Giải phương trình
1
' 1
1 1
x
y y y x
x x

   
 
, biết một nghiệm riêng của
phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là
1
x
y e


135. Giải phương trình


2
ln 1 ' 0
x x y xy y

   

y e


137. Giải phương trình




2
2 2 1 ' 2 2
x x y x y y

     
, biết nó có hai nghiệm
riêng là
1 2
1,
y y x
 

138. Giải phương trình
2 2
2 1
'
1 1
x
y y
x x

 

x
y y y
x x

  
 
thỏa mãn




3 22, ' 1005 2000
y y  , biết một nghiệm riêng của nó là
1
y x
Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân
5
141. Giải phương trình
2 3
2 ' 2 cos
x y xy y x x

   , biết một nghiệm riêng của
phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là
1
y x




144. Giải phương trình
2
2
'
x
e
y y y
x x

   , biết một nghiệm riêng của phương trình
vi phân thuần nhất tương ứng là
1
x
e
y
x


145. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân


2 2
3 1 2 6 4 12
x xy y xy x
 
     biết rằng nó có hai nghiệm riêng
 
2

2 3 2 0
y y y y y
  
    
.
150.








7 6 5 4
3 3 0
y y y y
   
.
151.
2 4 cos
x
y y y e x

 
  
152.
2 2
3 2 3 2
x

*
x
y e
 .
157. Với những giá trị nào của
p
và
q
thì tất cả các nghiệm của
phương trình.

y py q
 
 
giới nội
0
x
 



0, 0
p q
 
.
158.
, ?
p q

thì tất cả các nghiệm của

 
      



ln 2 1
t x
 
.
161.
 
2
1 1
2sin ln
y y y x
x x
 
  
ln
t x

.
162.
     
2
1 1 4cosln 1
x y x y y x
 
     


  
165.


2 3
2 1
x x x
y e y e y e
 
    bằng
đổi biến
x
t e


166.
x
y y x e

 
  
167.


2 2 1
x
y y y x e
 
   


172.
2 cos
x
e
y y y x
x
 
   
173. 2
x
xy y xy e
 
  
bằng phép đổi
hàm
z xy

.

Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân
6
174.
2
tan cos 0
y y x y x
 
  
dùng t =
sinx
175.

 
  
bằng phép
biến đổi x = 1/t
179. 2 1
x
e
y y y
x
 
   

180.
2
x y xy y x
 
  
bằng biến đổi
t
x e


181.
x
y y xe

 
 
182.
2

   

186. 2 sin
x
e
y y y x
x

 
   
187.
2
x x
y y xe e


  
188.
2 cos 3sin
y y y x x
 
   

189.
2
2 2cos
y y x
 
 
190.

192.
5 3 0
3 0
dx
x y
dt
dy
x y
dt

  




  



193.
2
4
dx
x y
dt
dy
y x
dt

 

x y z
dt
dy
y x z
dt
dz
x z
dt

  



  



 



196.
2
2
2
dx
x y z
dt
dy
x y z




  



 



198.
dx
x z
dt
dy
y z
dt
dz
x y
dt

 



 




