BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
 Giải phương trình:
1)
3
2 2 cos2 sin 2 cos 4sin 0
4 4
x x x x
π π
   
+ + − + =
 ÷  ÷
   
.
HD:
[ ]
(sin cos ) 4(cos sin ) sin 2 4 0x x x x x+ − − − =
4
x k⇔ = − +
π
π
;
3
2 ; 2
2
x k x k= = +
π
π π
2)
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
HD:

− − − = + −
 ÷  ÷  ÷
     
với
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
HD:
sin 2 sin
3 2
x x
π π
   
− = −
 ÷
 ÷
 
 
⇔
5 2
( ) ( )
18 3
5
2 ( ) ( )
6

sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − − =
HD: Ta có
2
cos 2 cos cos2 2cos2
sin 2 0
x x x x
x

− − =

≠

⇔ cos2x = 0 ⇔
4 2
x k= +
π π
5)
3sin 2 2sin
2
sin 2 .cos
x x
x x
−
=
HD:
2(1 cos )sin (2cos 1) 0

1 log 0x+ ≥
:
sin .tan 2 3(sin 3 tan 2 ) 3 3x x x x+ − =
HD:
(sin 3)(tan 2 3) 0x x− + =
⇔
;
6 2
x k k Z
π π
= − + ∈
Kết hợp với điều kiện ta được k = 1; 2 nên
5
;
3 6
x x
π π
= =
8)
3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8
x x x x
+
− =
HD:
2
cos4
2

. Vì
1 3 2 4x x− < ⇔ − < <
nên nghiệm là: x = 0
11)
(sin 2 sin 4)cos 2
0
2sin 3
x x x
x
− + −
=
+
HD:
(2cos 1)(sin cos 2) 0
2sin 3 0
x x x
x
− + =


⇔

+ ≠



2
3
x k
π


x x x
x x
( cos )(sin sin )
sin , cos
⇔
2
3
x k
π
π
= ± +
14)
4
1 3 7
4cos cos2 cos4 cos
2 4 2
x
x x x− − + =
HD: cos2x +
3
cos
4
x
= 2 ⇔
cos2 1
3
cos 1
4
x

( )
2
cos . cos 1
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
HD: ĐK:
sin cos
4
x x x m
π
π
≠ − ⇔ ≠ − +
Pt tương đương
(1 sin )(1 sin )(cos 1) 2(1 sin )(sin cos )+ − − = + +x x x x x x
( ) ( )
1 sin 0
1 sin 0
2
2
1 sin cos 1 0
sin cos sin cos 1 0
2
x
x

x x
π
 
+ − = −
 ÷
 
HD: PT
2
sin sin 1 2sin 2sin 1 0
2 2 2
x x x
x
  
⇔ − + + =
 ÷ ÷
  

4
x k
x k
x k
π
π
π π
=

⇔ ⇔ =

= +


− + = − − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
2
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
PT
3 3
1
sin .sin3 cos cos3
8
x x x x⇔ + =
1 cos2 cos2 cos4 1 cos2 cos2 cos4 1
2 2 2 2 8
x x x x x x− − + +
⇔ × + × =
3
1 1 1
2(cos2 cos2 cos4 ) cos 2 cos2
2 8 2
x x x x x⇔ + = ⇔ = ⇔ =

6
6
x k (l)
x k
π
π
π

Khi đó, VT =
3 3 2 2
sin cos sin cos cos sinx x x x x x+ + +
=
2 2
(sin cos )(sin sin cos cos ) sin cos (sin cos )x x x x x x x x x x+ − + + +
=
sin cosx x+
PT ⇔
2
sin cos 0
sin cos 2sin 2
(sin cos ) 2sin 2 (1)
x x
x x x
x x x
+ ≥

+ = ⇔

+ =

(1) ⇔
1 sin 2 2sin 2 sin 2 1( 0)x x x+ = ⇔ = >
⇔
2 2
2 4
x k x k
π π
π π

− = =
 
4
4
4
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π

= − +

⇔ ⇔ = ± +


= +


20)
1
cos3 cos2 cos
2
x x x− + =
HD: Nếu
cos 0 2 ,

x
cos =2
,
7 7
x k k
π π
⇔ = + ∈
¢
, đối chiếu điều kiện: k ≠ 3 + 7m, m∈Z .
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
3
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
21)
tan tan .sin3 sin sin 2
6 3
x x x x x
π π
   
− + = +
 ÷  ÷
   
HD: Điều kiện:
cos .cos 0
6 3
x x
π π

1
2
cos
2
2
3
k
x
x
x
x k
π
π
π

=
=



⇔ ⇔


= −

= ± +



Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là:

 
HD: PT ⇔
1 sin 0
(1 sin )(6cos sin 8) 0 1 sin 0
6cos sin 8 0
x
x x x x
x x
− =

− + − = ⇔ ⇔ − =

+ − =

23)
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − − =
HD: PT ⇔ − cos
2
2x − cosxcos2x = 2cos2x và sin2x ≠ 0
⇔
2
cos2 0 2cos cos 1 0( )x x x VN= ∨ + + =
⇔ cos2x = 0 ⇔
2
2 4 2

cos sin cos sin
cos sin
cos cos
x x x x
x x
x x
− +
⇔ + =

(cos sin )(cos2 1) 0x x x⇔ + − =
cos sin 0
,
4
cos2 1 0
x x
x m
m
x
x m
π
π
π

+ =
= − +


⇔ ⇔ ∈



π π α π α π
= = + = + + = − +
26)
2cos3 3sin cos 0x x x+ + =
HD: PT ⇔
cos cos3
3
x x
π
 
− =−
 ÷
 
⇔
cos cos( 3 )
3
x x
π
π
 
− = −
 ÷
 
⇔
3 2
k
x
π π
= +
27)

x k
π
π
= +
( không thoả). Vậy phương trình vô nghiệm
28)
3 3
2
cos cos3 sin sin3
4
x x x x+ ==
HD:
2
cos4 ,
2 16 2
x x k k Z
π π
= ⇔ = ± + ∈
29)
cot 3 tan 2cot 2 3x x x+ + + =
HD: Điều kiện:
sin cos 0
2
x x x k
π
≠ ⇔ ≠
.
Ta có:
2 2
cos2 cos sin

4
x x x
π
 
− − − =
 ÷
 
HD: PT ⇔
3 2
sin 2x 2sin 2x 3sin 2x 6 0− + + =
⇔
sin 2 1x = −
⇔
4
x k
π
π
= − +
31)
2
1
(1 4sin )sin3
2
x x− =
HD: Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được:
PT ⇔
3
2sin3 (4cos 3cos ) cosx x x x− =
⇔
2sin3 .cos3 cosx x x=

x k
π
π
= +
.
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
5
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
33)
3sin 3tan
2cos 2
tan sin
x x
x
x x
+
− =
−
HD: Điều kiện:
{
cos 0
sin 0
x
x
≠
≠
. PT ⇔
1
cos



≠

. PT ⇔
2
cos
2
x =
⇔
2
4
x k
π
π
= − +
.
35)
3
cos cos cos sin 2 0
2 6 3 2 2 6
x x
x x
π π π π
       
− + − + − + − =
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 
     

2
t
t
t

=


=


=



⇔
π
π
π
π π

= +

= +



= +



36)
2
2 3cos2 sin 2 4cos 3x x x− + =
HD: PT ⇔
3 1
cos2 sin 2 cos6
2 2
x x x
−
+ =
⇔
5
cos 2 cos6
6
x x
π
 
− =
 ÷
 
⇔
5
48 4
5
24 2
x k
x l
π π
π π


2
x m
x n
x p
π
π
π
π
π
π

≠ − +



≠ +



≠ +


GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
6
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
PT ⇔
2
cos 2sin .cos
3

( )
18 3
π
π
π π

= +



= − +

. Vậy PT có nghiệm:
2
18 3
π π
= − +x k
.
38)
2 sin 2 3sin cos 2
4
x x x
π
 
+ = + +
 ÷
 
HD: PT ⇔
( ) ( )
sin cos 1 2cos 3 0x x x+ + − =

x k x k
π
π π π
= − + = +
.
39)
2sin 2 4sin 1
6
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
HD: PT
3sin 2 cos2 4sin 1 0x x x⇔ + + − =
2
2 3 sin cos 2sin 4sin 0x x x x⇔ − + =
.
( )
2 3 cos sin 2 sin 0x x x⇔ − + =
⇔
sin 3 cos 2
sin 0
x x
x

− =

=


=

40)
( )
cos3 sin 2 3 sin3 cos2x x x x+ = +
HD: PT
cos3 3sin3 3 cos 2 sin 2x x x x⇔ − = +1 3 3 1
cos3 sin3 cos2 sin 2
2 2 2 2
x x x x⇔ − = +
cos 3 cos 2
3 6
x x
π π
   
⇔ + = −
 ÷  ÷
   
⇔
2
6
2
10 5
x k
k
x

( )
cos 2 0; cos 2 0
*
4 4
sin 2 0; tan cot 0
x x
x x x
π π

   
− ≠ + ≠

 ÷  ÷

   

≠ − ≠

Để ý rằng:
tan 2 .tan 2 tan 2 .tan 2 cot 2 .tan 2 1
4 4 4 4 4 4
x x x x x x
π π π π π π
           
− + = − − + = − + + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
           
Khi đó PT trở thành:
2
2

⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈Z
: Không thoả điều kiện (*). Vậy
phương trình đã cho vô nghiệm.
42)
2
2sin 3 sin 2 1 3sin cosx x x x+ + = +
HD: PT ⇔
( )
2
3sin cos 3sin cosx x x x
+ = +
⇔
( ) ( )
3sin cos 3sin cos 1 0x x x x+ + − =
⇔
3sin cos 0
3sin cos 1 0
x x
x x

+ =

+ − =


⇔
3
tan
3
sin sin


= = +


43)
2 3
2
2
cos cos 1
cos2 tan
cos
x x
x x
x
+ −
− =
HD: Điều kiện:
cos 0x ≠
.
PT ⇔
2 2 2
cos2 tan 1 cos (1 tan ) 2cos cos 1 0x x x x x x− = + − + ⇔ − − =

⇔
cos 1
1
cos
2
x
x

 ÷  ÷
   
π π
HD: PT ⇔
2
10sin 4sin 14 0
6 6
x x
π π
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
⇔
sin 1
6
x
π
 
+ =
 ÷
 
⇔
2
3
x k
π
π
= +
.

⇔
2
x k
π
=
.
46)
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
 
− = −
 ÷
 
HD: Điều kiện:
≠xcos 0
⇔
.
2
x k
π
π
≠ +
(*).
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
8
BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC

x l
π
π
π
π

= +



= − +

⇔
.
4
.
4
x k
x l
π
π
π
π

= +



= − +



5 5 1
sin 2 sin sin
12 12 4
2
x
π π π
 
⇔ − + = =
 ÷
 
5 5
sin 2 sin sin 2cos sin sin
12 4 12 3 12 12
x
π π π π π π
     
⇔ − = − = − = −
 ÷  ÷  ÷
     

( )
5
2 2
5
6
12 12
sin 2 sin
5 13
3



− = +
= +


¢
GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ “ Muốn thành công không có dấu chân của kẻ lười
biếng”
9