PHƯƠNG TÍCH
VÕ QUANG MẪN
Tháng 11 năm 2011
1 Tóm tắt lý thuyết
1.1 Phương tích của một điểm đối với đường tròn
Định lý 1.1. Cho đường tròn (O, R) và một điểm M trên mặt phẳng cách O
một khoảng bằng d. Từ M kẻ cát tuyến MAB tới (O). Khi đó
MA.MB = d
2
− R
2
(1)
Định nghĩa 1.1. Ta gọi đại lượng d
2
− R
2
là phương tích của điểm M đối
với (O), kí hiệu là P
M|(O)
= d
2
− R
2
+Nhận xét 1.1. Nếu P
M/(O)
> 0thì M nằm ngoài (O), P
M/(O)
= 0 thì M
nằm trên biên (O), P
M/(O)
< 0 thì M nằm trong (O). Trong nhiều bài toán,

) là một đường thẳng vuông góc với đường
thẳng nối hai tâm O
1
, O
2
. Nếu gọi O là trung điểm O
1
O
2
, H là hình chiếu của
M trên O
1
O2 thì
OH =
R
1
− R
2
2O
1
O
2
Định nghĩa 1.2. Đường thẳng MH được gọi là trục đẳng phương của hai
đường tròn. Cách dựng trục đẳng phương:
(a) (O
1
) giao (O
2
) tại 2 điểm phân biệt A,B. Đường thẳng AB chính là trục
đẳng phương của (O

) và
(O
3
). Hai đường thẳng này giao nhau tại M. Từ M kẻ MH⊥O
1
O
2
. MH chính
là trục đẳng phương của (O
1
) và (O
2
).
Định nghĩa 1.3. Điểm đồng quy của các đường thẳng l
1
, l
2
, l
3
được gọi là
tâm đẳng phương của các đường tròn (O
1
), (O
2
), (O
3
).
1.3 Phương tích, trục đẳng phương trong hệ toạ độ
Định lý 1.7. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương
trình:

)
+Nhận xét 1.2. Vị trí của M đối với (C): M nằm ngoài (C) ⇔ C(x
o
, y
o
) > 0,
M nằm trên (C) ⇔ C(x
o
, y
o
) = 0, M nằm trong (C) ⇔ C(x
o
, y
o
) < 0.
Định lý 1.8. Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm:
(C
1
) : x
2
+ y
2
+ 2a
1
x + 2b
1
y + c
1
= 0
(C

− b
2
)y +
c
1
− c
2
2
= 0
2 Ví dụ
2.1 Chứng minh các hệ thức hình học
Ví dụ 2.1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R), ngoại tiếp (I, r). CMR
OI
2
= R
2
− 2Rr (hệ thức Ơ-le)
3
Lời giải.
Kéo dài BI cắt (O) tại M. Kẻ đường kính MK của (O). (I) tiếp xúc với BC
tại D. Ta có BDI ∼ KCM ( g.g )
⇒
BI
KM
=
ID
MC
= IDMI
⇒ IB.IM = ID.KM = 2Rr
Mà IB.IM = R

Suy ra O là trung điểm MN.
Áp dụng công thức tính đường trung tuyến trong tam giác IMN ta có:
OI
2
=
IM
2
+
IN
2
−
MN
4
=
IM
2
+
IN
2
− R
2
4
Do đó
1
(R − d)
2
+
1
(R + d)
2

2
.ID
2
=
1
IB
2
+
1
ID
2
=
sin
B
2
r
2
+
sin
D
2
r
2
=
1
r
2
2.2 Tính các đại lượng hình học
Ví dụ 2.3. (USAMO 1998). Cho 2 đường tròn đồng tâm O, (C
1

=
1
2
AB.2AB = AD.AC
Suy ra tứ giác DCFE nội tiếp.Do đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
DCFE. Mà M nằm trên AC nên MD = MC =
1
2
DC. Từ đó tính được AM =
5
4
AB và MC =
3
4
AB ⇒
AM
MC
=
5
3
.
2.3 Chứng minh tập hợp điểm cùng thuộc một đường tròn
Ví dụ 2.4. (IMO 2008). Cho tam giác ABC, trực tâm H. M
1
, M
2
, M
3
lần lượt
là trung điểm BC, CA, AB. (M

1
, B
2
, C
1
, C
2
cùng thuộc
một đường tròn.
Lời giải.
Do M
1
M
2
 AB và AB⊥HC nên M
1
M
2
⊥HC. Suy ra HC là trục đẳng phương
của (M
1
) và (M
2
). ⇒ CA
1
.CA
2
= CB
1
.CB

thuộc
đường tròn (W
3
). Nếu 6 điểm A
1
, A
2
, B
1
, B
2
, C
1
, C
2
không cùng thuộc một
đường tròn thì các trục đẳng phương của 3 đường tròn (W
1
), (W
2
), (W
3
) phải
đồng quy tại một điểm, nhưng chúng lại cắt nhau tại A, B, C nên vô lý. Vậy ta
có đpcm.
Ví dụ 2.5. (IMO shortlist 2006). Cho hình thang ABCD (AB > CD). K,
L là hai điểm trên AB, CD sao cho
AK
BK
=

1
, B
1
, C
1
. CMR A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng và nằm trên đường
vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
Lời giải.
Gọi A
2
B
2
C
2
là tam giác tạo bởi 3 phân giác ngoài góc A,B,C. Dễ dàng có
AA
2
⊥B
2
C
2
, BB
2

2
.B
1
A
2
= B
1
A.B
1
C, C
1
B
2
.C
1
A
2
= C
1
A.C
1
B. Suy ra
A
1
, B
1
, C
1
cùng nằm trên trục đẳng phương của đường tròn (O) ngoại tiếp tam
giác ABC và đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác A

, C
1
vuông góc với OI.
Ví dụ 2.7. (Iran NMO 2001): Cho tam giác ABC nội tiếp (O).(I), (I
a
) lần
lượt là đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A. Giả sử II
a
giao BC và (O) lần
7
lượt tại A’, M. Gọi N là trung điểm cung MBA. NI, NI
a
giao (O) lần lượt tại
S,T. CMR S,T,A’ thẳng hàng.
Lời giải.
Ta có ∠N T S =
1
2
(sdNA + sdAS) =
1
2
(sdNM + sdAS) = ∠NIM. ⇒ ∠I
a
T S =
∠I
a
IS. Suy ra tứ giác I
a
T IS nội tiếp (w
1

Gọi G,H,I,J,K,L lần lượt là tiếp điểm của AB,BC,CD,DE, EF,FA với (O). Trên
tia KF, HB , GB, J D, ID, LF lần lượt lấy các điểm P, S, Q, R, N, M sao cho
KP = SH = GQ = JR = IN = LM. Dựng (O
1
) tiếp xúc với EF, CBtiP, S, (O
2
)
tiếp xúc AF, CD tại M, N, (O
3
) tiếp xúc AB, ED tại Q, R. Ta có F P = P K −
F K = LM − LF = F M, CS = SH + HC = IN + IC = CN Suy ra F C là trục
đẳng phương của (O
1
) và (O2). Tương tự AD là trục đẳng phương của (O
2
) và
(O
3
), BE là trục đẳng phương của (O
3
) và (O1). Áp dụng định lý về tâm đẳng
phương ta có AD, BE, CF đồng quy (đpcm).
2.5 Chứng minh điểm cố định, đường cố định
Ví dụ 2.9. : Cho (O,R) và hai điểm P,Q cố định (P nằm ngoài (O), Q nằm
trong (O)). Dây cung AB của (O) luôn đi qua Q. PA, PB lần lượt giao (O) lần
thứ hai tại D,C. CMR CD luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải.
9
Gọi E là giao điểm thứ hai khác P của PQ với đường tròn ngoại tiếp tam
giác PAB. CD giao PQ tại F. Ta có OQ

2
) tại E,F. D là giao điểm của EF với tiếp tuyến tại A của (O
2
). CMR D
di động trên một đường thẳng cố định.
Lời giải.
Qua M kẻ tiếp tuyến chung của (O
1
) và (O
2
). Ta có ∠MCA = ∠CM
y
=
∠F MD = ∠F AM.( Do đó F AM ∼ F CA(g.g) ⇒ F A
2
= F M.F C =
F O
2
1
− R
2
1
.(1) Tương tự EA
2
= EO
2
1
− R
2
1

90
o
.
Lời giải.
10
Kí hiệu (A,0) là đường tròn tâm A, bán kính bằng 0. Do EB
2
= EA
2
− 0
2
=
EA
2
và F C
2
= F A
2
nên EF là trục đẳng phương của (A,0) và (O). Suy ra
DA
2
= DP
2
= DQ
2
do đó D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ. Lại
có M nằm trên trục đẳng phương của (A,0) và (O) nên MA
2
= MP.M Q. Suy
ra MA là tiếp tuyến của (D,DA). Vậy ∠D AM = 90

đối xứng với H qua N. Do đó W

B
tiếp xúc với AC tại E, W

C
tiếp xúc với AB
tại F và AE
2
= AF
2
nên A nằm trên trục đẳng phương của W

B
và W

C
Mặt
khác, qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Trên d lấy 2 điểm P,Q thoả
mãn AP=AF=AE=AQ. Gọi S là giao của QF với BC, J là giao của PE với
BC.QF ∩ P E = {R}. Vì AQ=AF=BH=BT và AQ BC nên Q đối xứng với T
qua N. Suy ra Q ∈ W

C
, tương tự P ∈ W

B
. Tứ giác PQEF nội tiếp nên W’B và
W’C.
RP.RE = RQ.RF suy ra R nằm trên trục đẳng phương của

=
CE
AE
=
AF
BF
. CMR nếu 2 tam giác ABC và DEF có
chung trực tâm thì tam giác ABC đều.
Lời giải.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Dễ dàng phân tích theo vecto ta có:
−−→
GD +
−−→
GE +
−−→
GF =
−→
GA +
−−→
GB +
−−→
GC =
−→
0
Suy ra hai tam giác ABC và DEF có chung trọng tâm G. Mà chúng lại chung
trực tâm H nên dựa vào tính chất của đường thẳng Ơ-le OH=2OG suy ra chúng
có chung tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. Do OD=OE nên P
D/(O)
= P

, ⇒ DB =
EC.
12
Mà
DB
BC
=
EC
AC
⇒ BC = AC. Tương tự AB = AC suy ra tam giác ABC
đều.
2.7 Khảo sát vị trí hai đường tròn
Ví dụ 2.14. Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đựng nhau thì hai đường
tròn đó nằm vế một phía với trục đẳng phương. Nếu hai đường tròn nằm ngoài
nhau thì chúng nằm về hai phía của trục đẳng phương.
Lời giải.
+Nếu hai đường tròn đựng nhau, hiển nhiên trục đẳng phương không có
điểm chung với đường tròn lớn vì nếu M là điểm chung thì phương tích từ M
tới đường tròn nhỏ phải bằng 0 và hai đường tròn giao nhau tại M, vô lý. Do
đó đường tròn lớn nằm về một phía của trục đẳng phương và mọi điểm trong
của đường tròn cũng nằm về phía đó. Vậy hai đường tròn nằm về một phía với
trục đẳng phương.
+Nếu hai đường tròn ngoài nhau. Gọi O là trung điểm O
1
O
2
. M là một
điểm nằm trên trục đẳng phương. H là hình chiếu của M trên O
1
O

. Vậy O
1
, O
2
nằm khác phía đối với H, mà trục đẳng phương không
có điểm chung với hai đường tròn nên hai đường tròn (O
1
), (O
2
) nằm khác phía
đối với trục đẳng phương.
Ví dụ 2.15. Chứng minh rằng nếu trục đẳng phương của hai đường tròn cắt
một trong hai đường tròn thì hai đường tròn đã cho cắt nhau. Nếu trục đẳng
phương của hai đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường tròn thì hai đường
tròn đã cho tiếp xúc nhau.
Lời giải.
Gọi C
1
, C
2
là hai đường tròn có trục đẳng phương d và M là điểm chung
của C
1
với d. Ta có P
M/(C
1
)
= P
M/(C
2

Lời giải.
14
Bài tập 3.3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). P nằm trên cung CD không
chứa A,B. PA,PB giao DC lần lượt tại M,N. CMR
MD.NC
MN
= const.
Lời giải.
Bài tập 3.4. Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R). Gọi G là trọng tâm tam
giác. Giả sử GA,GB,GC cắt (O) lần thứ hai tại A’,B’,C’. CMR:
1
G

A
2
+
1
G

B
2
+
1
G

C
2
=
27
a

R
2
, (Hệ thức Ơ-le).
Lời giải.
3.2 Tính các đại lượng hình học
Bài tập 3.7. Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp (O). Đường tròn (O’,R)
tiếp xúc với cạnh BC và tiếp xúc với cung BC nhỏ. Tính AO’ theo a và R.
Lời giải.
16
Bài tập 3.8. (All-Russian MO 2008). Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R),
ngoại tiếp (I,r). (I) tiếp xúc với AB,AC lần lượt tại X,Y. Gọi K là điểm chính
giữa cung AB không chứa C. Giả sử XY chia đôi đoạn AK. Tính ∠BAC?
Lời giải.
Bài tập 3.9. (All-Russian MO 2007). Hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) giao nhau
tại A và B. PQ, RS là 2 tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (P, R ∈ (O
1
), Q, S ∈
(O
2
)). Giả sử RB  P Q, RB cắt (O
2
) lần nữa tại W. Tính
RB
BW
?
Lời giải.

1
A
2
. Từ K lần lượt kẻ 2
tiếp tuyến KB
1
, KB
2
tới (O
1
), (O
2
).A
1
B
1
∩ A
2
B
2
= {L}, KL ∩ O
1
O
2
= {P }.
CMR B
1
, B
2
, P, L cùng nằm trên một đường tròn.

, B
2
∈ (O
2
)). CMR A
1
B
1
, A
2
B
2
, O
1
O
2
đồng quy.
Lời giải.
19
Bài tập 3.15. (Việt Nam TST-2009). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp
(O).A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là chân đường vuông góc của A, B, C xuống cạnh đối
diện. A
2
, B

1
A
3
, B
1
B
3
, C
1
C
3
đồng quy.
Lời giải.
Bài tập 3.16. (Olympic toán học Mĩ 1997). Cho tam giác ABC. Bên ngoài
tam giác này vẽ các tam giác cân BCD, CAE, ABF có các cạnh đáy tương ứng
là BC, CA, AB.CMR 3 đường thẳng vuông góc kẻ từ A, B, C tương ứng xuống
EF, FD, DE đồng quy.
Lời giải.
Bài tập 3.17. (IMO 1995). Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo
thứ tự đó). Đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y. Đường thẳng
20
XY cắt BC tại Z. Lấy P là một điểm trên XY khác Z. Đường thẳng CP cắt
đường tròn đường kính AC tại điểm thứ 2 là M, và BP cắt đường tròn đường
kính BD tại điểm thứ 2 là N. Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui.
Lời giải.
Bài tập 3.18. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Đường tròn bàng tiếp góc A
có tâm I, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. CMR tâm
đường tròn Ơ-le của tam giác MNP thuộc đường thẳng OI.
Lời giải.
21

AC tại E, DE giao (O) lần thứ 2 tại F. CMR AF, BC,OE đồng quy.
Lời giải.
23
3.5 Chứng minh điểm cố định, đường cố định
Bài tập 3.23. Cho (O) và dây AB. Các đường tròn (O
1
), (O
2
) nằm về một
phía của dây AB và tiếp xúc trong với (O).(O
1
) ∩ (O
2
) = {H, K}. CMR HK
luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải.
Bài tập 3.24. Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R). M là điểm di động trong
(O). AA’, BB’, CC’ là các dây cung đi qua M và thỏa mãn hệ thức
MA
MA

+
MB
MB

+
MC
MC

= 3. CMR M thuộc một đường tròn cố định.