www.VIETMATHS.com
Ch ơng I : ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
& vẽ đồ thị của hàm số
@@@@
Chủ đề i : tính đơn điệu của hàm số
0 0
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trong một khoảng
Phơng pháp:
Định lí Viét: Nếu PT bậc hai ax
2
+ bx +c = 0 (a
0
) (

)
có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
1 2 1 2
;
b c
S x x P x x
a a
= + = = =
Hệ quả:
1) PT (*) có hai nghiệm trái dấu x
1
< 0 < x
2


>

4) PT (*) có hai nghiệm cùng dơng
1 2
0
0 0
0
x x S
P



< >


>

Nhận xét: Đặt : f(x) = ax
2
+ bx + c (a
0
)
1) f(x) = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
<

thoả mãn
1 2
x x

<
tức là
( )
1 2
0 0x x g t

< =
có hai nghiệm cùng âm
0
0
0
g
g
g
S
P



<


>

Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com




>


>

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
( )
2
1
1
1
x mx
y
x
+
=

đồng biến trên khoảng
( )
1;
+
Gợi ý: TXĐ :
{ }
\ 1D
=
Ă
Ta có:

f x

= <



=


,(*) có hai
nghiệm thoả mãn
( )
1 2
1 2x x
<
. Đặt : t = x- 1, g(t) = f(t + 1). áp dụng nhận xét 2 ĐK (2)
tơng đơng với
g(t) = t
2
m có hai nghiệm không dơng.
Tức là:
0
0 0 0
0
g
g
g
m
S m
P m

)
2
0(

<< x
Gợi ý:
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
a)
0,sin
6
3
><< xxx
x
x
(1)





>>+
>>

0,0
6
sin
0,0sin
3
x



( )
xxxg +=

sin
0,0)( >>

xxg
do (2)
Suy ra hàm số
)(xg

đồng biến khi x > 0.
Suy ra
0)0()( =

>

gxg

Suy ra g(x) đồng biến khi x > 0
Suy ra g(x) > g(0) = 0
Suy ra :
0,0
6
sin
3
>>+ x
x




+=

x
xf
x
x
x
xxf
Mà
)
2
0(

<< x
nên 0 < cosx <1
1
cos
1
>
x
. Suy ra :
0)(022)( >

=>

xfxf
0 < x <

a) Đồng biến trên R
b) Đồng biến trong khoảng (0 ; 1/3).
Gợi ý:
a) D = R.

mamxxy 34;03;43
2
=

>=+=

Hàm số đồng biến trên R
3
4
034 mm
b) Với
3
4
m
thì hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trong (0; 1/3)
Với
mm 34;
3
4
=

<
. Để hàm số đồng biến trong (0; 1/3) điều kiện là:
( )
( )

0
3
1
3
1





>









>








m

m
S
y
vô nghiệm.
Vậy với
1

m
thì hàm số luôn đồng biến trong (0 ; 1/3)
Dạng 3: Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phơng trình, bất
phơng trình
Ví dụ 1: Giải phơng trình :
11414
2
=+
xx
(1)
(HVNH_ĐHQG Khối D
-2001)
Gợi ý:
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
ĐK :
2
1
014
014
2



>

+

=

x
x
x
x
y
. Do đó hàm số luôn luôn đồng biến với
2
1
x
.
Nên PT nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Nhận thấy
2
1
=x
thoả mãn PT.
Vậy PT có nghiệm duy nhất.
Dạng 4: Tìm m để PT
( )
f x m
=
có đúng n nghiệm thực
Phơng pháp:
Khảo sát và lập BBT của hàm số y = f (x) trên TXĐ của nó.

x x x x
f x
x x x x
x x x x
x
x xx x x x
+

= + = +
+ +
+ +

ữ
= +
ữ
+ + + +

Mà
( )
1
2 1 . 8 . 1 8x x x x+ + +
( ) ( )
1
2 1 8x x
+
+
>0 với mọi
( )
1;8x



Chủ đề ii : cực trị của hàm số Soạn : 15/09/09
Dạng 1: Tìm các cực trị của các hàm số
Phơng pháp :
Quy tắc 1: Tìm
)(xf

Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, 3.) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm
số liên tục nhng không có đạo hàm.
Xét dấu
)(xf

. Nếu
)(xf

đổi dấu khi x đi qua điểm x
i
thì hsố đạt cực trị
tại x
i
.
Quy tắc 2:
Tìm
)(xf

Tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, 3.) của phơng trình

3
+ 3x
2
1 ; b) y =
3
2
2
4
+ x
x
c)
x
x
y


=
2
3
; d)
2
1
2


=
x
xx
y
Gợi ý:

= 3 tại x = 2.

Dạng 2: Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x
0
hay đạt cực trị bằng y
0
.
1. Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x
0
Phơng pháp:
Giải phơng trình
0)(
0
=

xf
để định m.
Thử lại điều kiện đủ bằng cách dùng lại dấu hiệu I hoặc II.
2. Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị bằng y
0
Phơng pháp:
ĐK
( )
( )



=
=


3m +2)x +5
D = R
( )
xfy

=

=x
2
2(m - 1)x + m
2
3m +2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 nên :

( )



=
=
=+=

2
1
02300
2
m
m
mmf
Thử lại :

=
=
=

=

2
0
0;2
2
x
x
yxxy
BBT :
x

0 2
+

y

+ 0 - 0 +

+
CĐ
y
CT

++
x
mxx
luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Gợi ý:
+ D = R
+
( )
( )
( )
[ ]
( )
( ) ( )
( )
mm
xxxy
x
xxx
x
xmx
y
>+=
=++=

+
++
=
+
++
=

b) Định m để cực y
CĐ
và y
CT
trái dấu.
Gợi ý:
a)
( )
mx
mxmmx
y

+++
=
11
32
+
{ }
( )
( )



+=
=
=+=


+
=


( )
( )
( )
( )
( )
( )
12
0
0
0
0
0
+=

== mmx
xv
xu
xv
xu
xy
.
Vì aa

> 0 nên:
y
CĐ
= y(x
1
) = 2(m - 1) m(m + 1) = - m

1
, x
2
( hay có y
CĐ
, y
CT
)thỏa
mãn một điều kiện cho trớc.
Phơng pháp:
Tìm TXĐ D
Tính
( )
xfy =

Định m để phơng trình
0
=

y
có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức cho
trớc:
o Nếu thoả một đẳng thức thì thờng dùng hệ thức Viét
o Nếu thoả mãn BĐT thì thờng dùng cách so sánh 1 số

với các nghiệm

+= xmxmmxy
+ D = R
+
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1023120
2312
2
2
==

=

mxmmxy
mxmmxy
Trớc tiên để hàm số có 2 cực trị là pt (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
( ) ( )






<
+>


m
và
0

m
(2)
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )










==

=+=
=+
c
m
m
xxP

( )( ) ( )






=
=
=

=
+
7
6
2
01287
23
4
265
2
2
m
m
mm
m
m
m
mm
(đều thoả

( 1 - x)
2
.
Bài 2: Cho hàm số : y = mx
3
+ 3mx
2
( m - 1)x 4. Tìm m để hàm số không có cực
trị.
Gợi ý:
+ D = R.
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
+ Ta có :
( )
163
2
+=

mmxmxy
+ Nếu m = 0 thì
>=

01y
y tăng trên R. Do đó hàm số không có cực trị.
+ Nếu
0m
thì y không có cực trị y đơn điệu trên R

( )

=

=

Để y đạt cực tiểu tại x = 1
( )
( )
4
3
2
3
4
3
0461
0431
=







<
=




>=

2
là 2 nghiệm phân biệt của pt y

= 0.
Hai điểm cực trị cách đều trục tung
( )
00
6
2
0
21
21
21
21
====+



=
=
=
a
a
Sxx
xx
loaixx
xx
Bài 5: Cho hàm số: y = mx
4
+ ( m

( )
( )
3
090
0980
0
2
2
<





=
>=

m
mg
mm
m
hoặc 0 < m < 3.
Bài 6: Cho hàm số: y = x
4
- 2mx
2
+ 2m + m
4
. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của
một tam giác đều.

Yêu cầu bài toán





=
=

22
22
ACBA
BCBA
( luôn đúng vì trục tung là trục đối xứng)

( )
( )
( )
( )
034
20
34
2
2
2
2
==+
=+
mmmmm
mmm

+ D = R.
+
( )
baxxxfy ++=

=

23
2
(C) có một điểm cực trị (-2 ; 0) và qua điểm A(1; 0), nên:

( )
( )
( )





=+++
=++
=+






=
=

+=

=

xxfyxxxfy
Suy ra :
( )
=+=

066122f
Hàm số đạt cực trị tại x = -2
ĐS: a = 3, b = 0 , c = -4.
Bài 9: Định m để hàm số :
1
12)1(
2
+
++++
=
x
mxmx
y
đạt cực trị tại 2 điểm x
1
, x
2
sao
cho:
x
1


xmxxy
x
mxx
y
.Đặt g (x) =
mxx + 2
2
ĐK bài toán

PT (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
đều khác -1 sao cho x
1
< x
2
< 2.

( )
( )
81
8
1
021
08
01
01
02



<
>

>

m
m
m
m
m
m
S
g
g

chủ đề iii: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Soạn : 20/09/09
D ng 1 : Tìm giỏ tr ln nht v giá trị nh nht của hàm số y = f(x) liên tục trên
đoạn [a ; b].
Phơng pháp:
Tính đạo hàm
( )
xfy =

Tìm các điểm x
1
, x
2








2
;
2

.
c) f(x) = 2sinx 4/3 sin
3
x trên [0;

]. (TN THPT 2003 - 2004)
Gợi ý:
a) * f(x) = x
3
3x
2
- 9x +5 trên đoạn [-4; 4].
Hàm số liên tục trên [-4 ; 4] nên đạt GTLN, GTNN trên đoạn ấy. Ta có:



=
=
==


3
1
09630)(
963)(
2
2
x
x
xxxf
xxxf
(loại)
Ta có: f(0) = 5; f(3) =-22 ; f(5) = 10.
Vậy: Max f(x) = 10; Min f(x)= -22.
[0;5] [0;5]
b)f(x) = sin2x x trên







2
;
2

.
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn


Vì :
x







2
;
2

, nên chọn
6

=x
.
Ta có:
22
;
62
3
6

=






ff
Vậy : Max f(x) =
2

; Min f(x) = -
2









2
;
2









2
;

22
2
3
====

=

=

==
tttty
ttgy
tttgy
Ta có: g(0) = 0;
( )
3
2
1;
3
22
2
1
==






gg

( )



=
=
0
,min
xfyMin
bfafyMax
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phơng pháp khảo sát trực tiếp
Phơng pháp:
Lập bảng biến thiên của hàm số trên D, rồi dựa vào đó kết luận.
Ví dụ 1: Tìm GFTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
x
xy
1
+=
trên
( )
+;0
b) y = 4x
3
3x
4
c)
1
1
2

′
xx
x
y
x
y
+ BBT:
x 0 2
∞+

y
′
- 0 +

∞+∞+
y
2
VËy : Min y = 2 t¹i x = 2, kh«ng cã GTLN.

( )
+∞;0
b) y = 4x
3
– 3x
4
+ D = R
+

+ 0 + 0 - y

∞−

∞−

VËy : Max y = 1, kh«ng cã GTNN.
c)
1
1
2
2
++
+
=
xx
x
y
+ D = R.
Lª DiÔm H¬ng – To¸n Tin – Trêng THPT Nga S¬n – Thanh Ho¸
www.VIETMATHS.com
+
1
11
1
1
1





++






+
=
+++
xx
x
xx
x
x
x
y
xxx
+
( )
1010;
1
1
2
2
2

2
, tại x = 1
Chú ý: Với kết quả trên ta đợc
Rx
xx
x

++
+
,2
1
1
3
2
2
2
Nên ta có thể đổi bài thành dạng:
CMR:
Rx
xx
x

++
+
,2
1
1
3
2
2

++
+
xx
x
= y có
nghiệm
Rx

(1).
Ta có :
( )
( )
( ) ( )
2011
111
2
22
=++
++=+
yỹxy
xxyx
y = 1: (2) trở thành x = 0. Suy ra PT (1) có nghiệm x = 0 . Suy ra : y = 1 (a).

1y
: (2) có nghiệm

( )
( )
byyy
yy

+
)(
lim
hoặc
axf
x
=

)(
lim
Đờng thẳng x = x
0
đợc gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu :

+=


)(
lim
0
xf
xx
hoặc
+=
+

)(
lim
0
xf

[ ]
baxxf
x
+

lim
. Có thể áp dụng công thức:
a =
( )
[ ]
axxfb
x
xf
xx
=

limlim
;
)(
(nếu a = 0 thì ta có tiệm cận ngang)
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau:
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
a)
2
12
+

=
x

=
+

y
x
lim
2
nên đờng thẳng x = -2 là tiệm cận đứng.
b)
x
x
y
1
2
+
=
+ D = R \ {0}
+ Ta có :
1
1
1
1
1
2
2
limlim
lim
=+=
+
=

x
y
, do đó đờng thẳng y = -1 là
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+ Vì :
=+=
+

yy
xx
limlim
00
;
, nên đờng thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số.
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
( )
1
2
3

=
x
x
xf
Gợi ý:
Cách 1:
( )
11
22

( )
( )
( )
[ ]
0
11
1
1
22
3
2
3
limlimlim
limlim
=

=










==
=


32
4 xxy =
Gợi ý:
a)
1
12
2
+
+
=
x
x
y
+ D = R nên đồ thị không có tiệm cận đứng
+
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
12
22
2
2

x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
xxxx
Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang về bên phải là đờng thẳng y = 2
+
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
12
22
2
2
limlimlimlim
=

x
x
x
x
x
x
x
y
xxxx
Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang về bên trái là đờng thẳng y = - 2
b)
3 32
4 xxy =
+ D = R nên đồt thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Ta có:
+
11
44
limlimlim
3
3
32
==

==
+++
x
x
xx
x

4
11
4
1
4
4
11
4
1
4
4
3
2
3
3
2
3
2
2
limlim
=
+









3
4
+= xy
Dạng 2: Biện luận số tiệm cận của đồ thị hàm số tuỳ theo m
Ví dụ 1: Biện luận theo m các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số:
2
4
2
+
+
=
x
mxx
y

Gợi ý:
+ D = R \ {-2}
+ Ta có:
2
12
6
2
4
2
+
+
+=
+
+
=

y
x
lim
2
nên có tiệm cận đứng là x = -2
Ví dụ 2: Tuỳ theo m tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số :
mx
mxx
y
+

=
32
2
Gợi ý:
+ D = R \ {-m}
+
mx
mm
mxy
+
+
+=
22
322
2
+ Với :




+ D = R \ {-m}
+
mx
m
mxy
+
++=
2
1
có đờng tiệm cận xiên nếu
0m
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
Phơng trình đờng tiệm cận xiên là d: y = - x + m +1(
0m
)
d đi qua A(2; 0)
1120
=++=
mm
ĐS : m = 1.
Ví dụ 2: Cho hàm số :
2
1
2


=
x
xx








++
2
1
1;
0
00
x
xxA
( )
C

Khoảng cách từ A đến d
1
là
2
01
=
xh
Khoảng các từ A đến d
2
là
22
1

nhỏ nhất khi h
1
= h
2
=
4
2
1
hay
=
2
0
x
4
2
1
4
4
0
4
0
2
2
1
3;
2
1
2 == yx
*Bài toán1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại3 điểm phân biệt(hoặc
phơng trình ax

0)(
2
lexaxxg
x

(*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm pb x


Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá
www.VIETMATHS.com
<= >




>
0)(
0
*

g
Chú ý: Khi đó điểm A
)0;(

là mộtđiểm cố định của đồ thị hàm số.
Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb

<=>



)
2
lexx ++
=0
<=>



=++=
>=
0)(
0
2
lexaxxg
x

(*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm dơng pb
x


<=>








>

( Hoặc phơng trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o có ba nghiệm âm pb)
Cách1(Ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của
phơng trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o do đó:
Ta có ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o (a
)0
<=> (x-

)( a
)
2
lexx ++
=0
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá

Có 2 nghiệm pb
21
, xx
2




>
<
>
0)(
0.
0
0

g
p
s
g
Cách2 .Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ âm
<=>





<
<
=
0)(.
0)().(
0'
21
oya

2
+ cx + d = o (*)
Giả sử pt(*) có 3 nghiêm
321
,, xxx
cách đều nhau ,khi đó ta có





=++
=+
a
b
xxx
xxx
321
231
2
<=>
a
b
x
3
2
=
Thay
a
b

yx
và có hệ số góc m tiếp xúc với
đồ thị hàm số y=f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (C)
- lập pt đờng thẳng (d): y=m(x-
11
) yx
+
- Đờng thẳng (d) tiếp xúc với ( C ) <= > hệ pt sau có nghiệm





=++
+=+++
mcbxax
yxxmdcxbxax
23
)(
2
11
23
- Sử dụng pp thế để tìm ra hệ số góc m rồi thay vào phơng trình đờng thẳng(d) ta đợc
đờng thẳng cần tìm.
Chú ý : Đờng thẳng (d) trong trờng hợp này cũng chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm
số. Do đó có thể sử dụng pp trên để giải bài toán viết pt tiếp tuyến với ( C) đi qua

0'
0
y
y
( Vì phơng trình của trục hoành là y=0)
Cách2.( PP đại số) Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt: ax
3
+ bx
2
+ cx + d =0
<= >(x-



=++=
=
=++
(*)0)(
0))(
2
2
lexaxxg
x
lexax


Ycbt <=> pt(*)có một nghiêm

=x
hoặc có nghiệm kép x

hoặc đồ thị hàm số có hai cực trị
nằm về một phía đối với trục hoành
Lê Diễm Hơng Toán Tin Trờng THPT Nga Sơn Thanh Hoá