Bài tập chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
Hàm số bậc 3
1. Cho hàm số: y = -x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 - m
2
)x + m
3
- m
2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2) Tìm k để phơng trình: -x
3
+ 3x
2
+ k
3
- 3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.
2. Cho hàm số: y = x
3
- 3x
2
+ m (1)
1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 .
3. Cho hàm số: y =

) tại điểm
M song song với đờng thẳng 5x - y = 0.
6. Cho hàm số: y = 2x
3
- 9x
2
+ 12x 4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm m để phơng trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12x x x m + =
.
7. Cho hàm số y = x
3
- 3x + 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 2) và có hệ số góc là m. Tìm m để đờng thẳng d
cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
8. Cho hàm số: y = -x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
-1)x - 3m
2
- 1 (1) m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (1) và
các đờng x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4.
10. Cho hàm số: y = (x - m)
3
- 3x (m là tham số)
1) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1.
3) Tìm k để hệ bất phơng trình sau có nghiệm:
( )





+
<
11
3
1
2
1
031
3
2
2
2
3
xlogxlog
kxx
11.a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y =

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
1
) và trục hoành.
3) Xác định m để (C
m
) tơng ứng chỉ có một điểm chung với trục hoành.
15. Cho hàm số: y = x
3
- mx
2
+ 1 (C
m
)
1) Khi m = 3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm trên đồ thị hàm số tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
2) Xác định m để đờng cong (C
m
) tiếp xúc với đờng thẳng (D) có phơng trình
y = 5. Khi đó tìm giao điểm còn lại của đờng thẳng (D) với đờng cong (C
m
).
16. Cho hàm số: y = x
3
- 3mx
2
+ 3(2m - 1)x + 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
GV: Phạm Hoàng Tuyên trờng Hữu Nghị 80
2

(1) (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng: 0 < x < 3
20. Cho đờng cong (C
m
): y = x
3
+ mx
2
- 2(m + 1)x + m + 3, đờng thẳng (D
m
): y = mx - m + 2
m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
-1
) của hàm số với m = -1.
2) Với giá trị nào của m, đờng thẳng (D
m
) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt?
21. Cho hàm số: y = -x
3
+ 3x
2
- 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm t để phơng trình:
023
2

GV: Phạm Hoàng Tuyên trờng Hữu Nghị 80
3
Bài tập chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
3) Xét đờng thẳng (D): y = mx, thay đổi theo tham số m. Tìm m để đờng thẳng (D) cắt đ-
ờng cong (C) tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dơng.
23. 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (x + 1)
2
(x - 2).
2/ Cho đờng thẳng đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc là k. Hãy xác định tất cả giá trị
của k để đờng thẳng cắt đồ thị của hàm số sau tại bốn điểm phân biệt: y =
23
3

xx
.
24. Cho hàm số: y = 2x
3
- 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1.
a) Với các giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) của hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau
qua đờng thẳng y = x + 2.
b) (C
0
) là đồ thị hàm số ứng với m = 0. Tìm điều kiện của a và b để đờng thẳng
y = ax + b cắt (C
0
) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. Khi đó chứng minh rằng đ-

chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn luôn chạy
trên hai đờng thẳng cố định.
28. Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ (m + 1)x + 4m
1) Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên (-1; 1).
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = -1.
29. Cho hàm số: y = f(x) = -x
3
+ 3mx - 2 (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Xác định các giá trị của m để bất phơng trình: f(x) -
3
1
x
đợc thoả mãn x 1.
30. Cho hàm số: y = x
3
- 6x
2
+ 9x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tất cả các đờng thẳng đi qua điểm A(4; 4) và cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
31. Cho hàm số: y = x
3
+ mx
2
+ 9x + 4 (1) (m là tham số)

3) Với những giá trị nào của m thì hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đờng thẳng đi qua
các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị song song với đờng thẳng y = kx (k cho trớc)? Biện luận
theo k số giá trị của m.
33. 1) Chứng minh rằng nếu đồ thị của hàm số: y = x
3
+ ax
2
+ bx + c cắt trục hoành tại 3
điểm cách đều nhau, thì điểm uốn nằm trên trục hoành.
2) Cho hàm số: y = x
3
- 3mx
2
+ 2x(m - 4)x + 9m
2
- m
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau
34. Cho hàm số: y = x
2
(m - x) - m (1)
1) CMR đờng thẳng: y = kx + k + 1 luôn cắt đờng cong (1) tại một điểm cố định.
2) Tìm k theo m để đờng thẳng cắt đờng cong (1) tại ba điểm phân biệt.
3) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng 1 < x < 2.
35. Cho hàm số: y = 4x
3
+ (a + 3)x
2
+ ax
1) Tuỳ theo các giá trị của a, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số.
2) Xác định a để