Trang 1
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
1. Phương trình một ẩn − bậc của phương trình
Ví dụ 1 : Phương trình một ẩn x
a)
2 3 1x x
− = +
→ bậc nhất.
b)
2
3 2 0x x− + =
→ bậc hai.
c)
3 2
4 3 0x x x− + =
→ bậc ba.
 Bậc của phương trình là số mũ cao nhất của ẩn.
 Thay ẩn x bằng một ẩn khác ta có phương trình theo ẩn mới.
Ví dụ 2 : Phương trình một ẩn y, t, z.
a)
2 3 1y y− = +
→ bậc nhất.
b)
2
3 2 0t t− + =
→ bậc hai.
c)
3 2
4 3 0z z z− + =
→ bậc ba.
2. Nghiệm của phương trình − tập nghiệm của phương trình

.
t
−3 −2 −1
0 1 2 3
2
3 2t t+ +
2 0 0 2 6 12 20
Vậy : Phương trình có hai nghiệm
2t = −
,
1t = −
, nghĩa là
{ }
2, 1S = − −
.
y
−3 −2 −1
0 1 2 3
( ) ( )
2 1 3 2y y− − −
−23 −18 −13
2
−3
2 7
( )
5 2 2y − +
−23 −18 −13
2
−3
2 7

=
.
 Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của ẩn gọi là phương trình có vô số
nghiệm, nghĩa là
S R
=
.
3. Các phép biến đổi phương trình
 Phép chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình mà đổi dấu là phép
biến đổi tương đương.
 Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế của phương trình với cùng một số ( hoặc cùng một
biểu thức ) khác O thì được một phương trình mới tương đương.
 Phép bình phương, phép khai phương, phép biến đổi tỷ lệ thức là những phép biến
đổi không tương đương.
LUYỆN TẬP
Bài tập 1 : Trong các số −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau:
a)
( ) ( )
2 1 3 1 2 7 2x x x+ − − = +
b)
2
4 3 0t t+ + =

c)
( )
2 1 3 1 2y y y+ − + = +
d)
( ) ( )
1 2 3m m m+ = +
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

2 5 6
x
x x
x
−
− +
+ + = −

Bài giải
a)
( ) ( )
3 2 2 4 2 1x x x− − = −
⇔
3 4 2 8 4x x x
− + = −
⇔
5 8x x
=
⇔
3 0x
=
⇔
0x
=
.
b)
( ) ( )
5 2 3 4 8 2x x x x− − = +
⇔
2 2

d)
( )
2 1
2 2 3
1
2 5 6
x
x x
x
−
− +
+ + = −
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
30 1 15 2 12 1 5 2 3x x x x+ + − = − − +
⇔
30 30 15 30 12 12 10 15x x x x
+ + − = − − −
⇔
67 3x
= −
⇔
3
67
x = −
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình
a)
4 1
0,5 3

0,5 3
5 7
x x
x
−
+ = −
⇔
4 1
3
2 5 7
x x x−
+ = −
⇔
( )
35 14 4 1 10 70x x x+ − = −

⇔
35 56 14 10 70x x x
+ − = −
⇔
81 56x
= −
⇔
56
81
x = −
.
b)
( ) ( )
2

1 2 3 4
1 1 1 1
99 98 97 96
x x x x+ + + +
+ + + = + + +
⇔
1 99 2 98 3 97 4 96
99 98 97 96
x x x x+ + + + + + + +
+ = +
⇔
100 100 100 100
99 98 97 96
x x x x+ + + +
+ = +
⇔
( )
1 1 1 1
100 0
99 98 97 96
x
 
+ + − − =
 ÷
 
⇔
100x
= −
.
d)

0B x =
Ví dụ 1 : Giải phương trình
a)
( ) ( )
2 1 3 0x x− − =
b)
( ) ( )
1,3 2,6 0,2 0x x− − =
c)
( )
( )
2
3 2 2 1 0x x x− + + =
d)
( ) ( ) ( )
2 3 2 4 1 0x x x− − + =
Bài giải
a)
( ) ( )
2 1 3 0x x− − =
⇔
2 1 0x − =
hoặc
3 0x− =
⇔
1
2
x =
hoặc
3x =

⇔
3
2
x =
hoặc
1x
= −
.
d)
( ) ( ) ( )
2 3 2 4 1 0x x x− − + =
⇔
2 0x
− =
hoặc
3 2 0x
− =
hoặc
4 1 0x
+ =
⇔
2x
=
hoặc
3
2
x =
hoặc
1
4

( )
2
2
2
5 7 2 5x x x− + = −
Bài giải
a)
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 1 3 4 5x x x x− + = − −
⇔
( ) ( )
3 2 1 4 5 0x x x− + − + =
⇔
( ) ( )
3 6 2 0x x− − =
⇔
3 0x
− =
hoặc
6 2 0x
− =
⇔
3x
=
.
b)
( ) ( )
2
4 2 2 5x x x− = + −
⇔

3
x =
.
d)
( ) ( )
2
2 1 3 6x x x x− + = + −
⇔
2 2
2 4 6 6x x x x+ − = + −
⇔
2
3 0x x+ =
⇔
( )
3 0x x + =
⇔
0x
=
hoặc
3x
= −
.
e)
2
3 2 0x x+ + =
⇔
2
2 2 0x x x+ + + =
⇔

1 4 0x x− − =
⇔
1x =
hoặc
4x =
.
g)
( ) ( )
2 2
2 3 1 0x x− − + =
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 . 2 3 1 0x x x x − − +   − + +  =
   
⇔
( ) ( )
2 3 1 2 3 1 0x x x x− − − − + + =
⇔
( ) ( )
4 3 2 0x x− − =
⇔
4x =
hoặc
2
3
x =
.
e)
( )
( )

,
2x =
.
Ghi nhớ 1:
Trang 10
1y = −
⇒
1
1x
x
+ = −
⇔
2
1 0x x+ + =
: phương trình này vô nghiệm.
2y =
⇒
1
2x
x
+ =
⇔
2
2 1 0x x− + =
⇔
( )
2
1 0x − =
⇔
1x

b
x
a
= −
.
Ví dụ 1 : Giải và biện luận phương trình
a)
( )
2 1 3m x x− = +
b)
( ) ( )
3 2 2 3m mx x− = +

c)
( )
2 3m mx x− = +
d)
( ) ( )
3 3 3mx m x m− = −
.
Bài giải
a)
( )
2 1 3m x x− = +
⇔
2 3mx m x
− = +
⇔
2 3mx x m
− = +

=
−
.
b)
( ) ( )
3 2 2 3m mx x− = +
⇔
2
3 4 6m x m x− = +
⇔
( )
2
4 3 6m x m− = +

⇔
( ) ( ) ( )
2 2 3 2m m x m− + = +
 Nếu
( ) ( )
2 2 0m m− + =
⇔
2 0
2 0
m
m
− =


+ =


⇔
2
2
m
m
≠


≠ −

thì phương trình (a) có duy nhất một nghiệm
( )
( ) ( )
3 2
3
2 2 2
m
x
m m m
+
= =
− + −
.
c)
( )
2 3m mx x− = +
⇔
2
2 3m m x x− = +
⇔

( ) ( )
3 3 0m m− + =
⇔
1
3m =
;
2
3m = −
.
Trang 11
 Nếu
1
3m =
;
2
3m = −
thì (d) có dạng
0. 0x
=
nên phương trình đã cho có vô số nghiệm.
 Nếu
3m ≠ −
;
3m ≠
thì phương trình đã cho vô nghiệm.
LUYỆN TẬP
Bài tập 1 : Giải phương trình
a)
( ) ( )
2 3 3 5 2 1x x x− − = −

( ) ( )
2
1 3
5
2
3 2
x x
x
− +
−
− =
g)
1 2 3 4
79 78 77 76
x x x x+ + + +
+ = +
h)
19 17 15 13
4 0
91 93 95 97
x x x x− − − −
+ + + + =
Bài 2 : Giải phương trình
a)
( ) ( )
2 3 4 5 0x x− + =
b)
( ) ( )
2,4 1,2 0,25 0,75 0x x− − =
c)

4 5 0x x x− + =
l)
3
7 6 0x x− − =

m)
3 2
3 3 1 0x x x+ + + =
n)
( ) ( )
2 2
2 5 3 4 0x x+ − − =
o)
( )
( )
2
2
2
5 3 4 3x x x+ − = −
p)
( ) ( )
2 2
2 2
3 5 7 3x x x x+ + = − −
Bài 3 : Giải phương trình
a)
1
3
2
x

x
+ −
+ =
−
e)
2 2
3 1
0
6 4x x x
− =
+ − −
f)
2
1 4 2 1
1
x x
x x x x
− −
+ =
+ +
g)
5
2 1
3 2
x
x
= +
−
d)
( )

x
x
x x x x
−
   
− + − =
 ÷  ÷
+ +
   
k)
3
2 2 2
1 1 1
0
1 1 2 1 1
x x
x x x x x
−
 
− + =
 ÷
− + − + −
 
Bài 4 : Giải và biện luận phương trình
a)
( )
2 1x m mx− = +
b)
( )
2 2 3 3m mx x− = −

.
 Cho số thực bất kỳ a bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau :

0a
<
: ta gọi a là số thực âm;

0a =
: ta gọi a là số thực không;

0a
>
: ta gọi a là số thực dương.
2. Định nghĩa : Ta gọi hệ thức
a b<
( hay
a b>
,
a b≤
,
a b≥
) là bất đẳng thức và gọi a là
vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.
Tính chất :

a b
a c
b c
>



⇒ ≤

≤

a b a c b c
> ⇒ + > +
Khi ta cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức đã cho.
Tương tự :
a b a c b c
≥ ⇒ + ≥ +

a b a c b c
< ⇒ + < +

a b a c b c
≤ ⇒ + ≤ +
. . , 0
. . , 0
a b a c b c c
a b a c b c c
> ⇒ > ∀ >
> ⇒ < ∀ <
Khi ta nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới
cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Khi ta nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một
số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
Tương tự :
. . , 0
. . , 0

“ bình phương của một số thực bao giờ
cũng là một số không âm ”.
Ví dụ 1 : Điền các dấu thích hợp vào các ô vuông
a) 3,45  3,54 b) −1,21  − 4,57 c) − 4  −7
d)
3
4

4
3
−
e)
5
9
−

7
8−
f)
5
7

7
8
Bài giải
a) 3,45 < 3,54 b) −1,21 > − 4,57 c) − 4 > −7
d)
3
4
>

− > −
.
b) Vì
5 1− <
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2m bất kỳ ”
Ta được
2 5 2 1m m
− < +
.
c) Vì
7 9<
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số −3m bất kỳ ”
Ta được
7 3 9 3m m− < −
⇔
( )
7 3 3 3m m− < −
.
Ví dụ 3 : Cho
0a b> >
chứng minh 1)
2
a ab>
2)
2
ab b>
3)
2 2
a b>
Bài giải

a)
2 1x +
và
2 1y +
b)
2 3x−
và
2 3y−
c)
5
3
x
+
và
5
3
y
+
Bài giải
a)
x y<
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”
⇔
2 2x y<
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 1 ”
⇔
2 1 2 1x y+ < +
.
b)
x y

a)
2 3 2 3a b− > −
b)
2 5 2 8a b− > −
c)
( )
7 3 3 3a b− < −
Bài giải
a)
a b>
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”
⇔
2 2a b>
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : − 3 ”
⇔
( ) ( )
2 3 2 3a b+ − > + −
⇔
2 3 2 3a b− > −
.
b)
a b>
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”
⇔
2 2a b>
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : − 5 ”
⇔
( ) ( )
2 5 2 5a b+ − > + −
⇔

a)
3 5 3 5x y− ≥ −
b)
7 4 7 4x y− < −
Bài giải
a)
3 5 3 5x y− ≥ −
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ”
⇔
3 5 5 3 5 5x y− + ≥ − +
⇔
3 3x y≥
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương
1
3
”
⇔
1 1
.3 .3
3 3
x y≥
⇔
x y≥
.
b)
( ) ( )
7 4 7 7 4 7x y− + − < − + −
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số −7 ”
⇔
4 4x y− < −

Bài giải
1) Với a, b bất kỳ ta có
( )
2
0a b− ≥
⇔
2 2
2 0a b ab+ − ≥
.
2)
2 2
2 0a b ab+ − ≥
⇔
2 2
2a b ab+ >
⇔
2 2
2
a b
ab
+
≥
.
3)
2 2
0a b ab+ − ≥
⇔
2 2
2 2
2. . 0

)
trong đó a, b là hai số đã cho,
0a ≠
, gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn
x
.
Ví dụ 1 : Trong các bất phương trình sau bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất
một ẩn ?
a)
2 3 0x
− >
→ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
b)
2
3 2 0x x− + <
→ không là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
c)
0. 0x ≥
→ không là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Nghiệm của bất phương trình − tập nghiệm của bất phương trình
Ghi nhớ :
 Giá trị
x m=
làm cho bất phương trình trở thành một bất đẳng thức đúng thì
x m=
là
một nghiệm của bất phương trình.
 Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình gọi là tập nghiệm của bất phương
trình, ký hiệu là S.
Ví dụ 1 : Trong các số −1, 0, 1, 2, 3 số nào là nghiệm của mỗi bất phương trình sau : a)

bất đẳng thức đúng nên
0x =
là nghiệm của bất phương trình
3 2 0x
+ >
. Tương tự
1x
=
,
2x
=
,
3x
=
là nghiệm của bất phương trình
3 2 0x
+ >
.
b)
1y = −
⇒
( ) ( )
4 3. 1 2. 1 1− − < − +
⇔
7 1
< −
bất đẳng thức sai nên
1y = −
không thể là
nghiệm của bất phương trình

là nghiệm của bất ph trình
4 3 2 1y y− < +
.
c)
1t = −
⇒
1 2 0− − ≥
⇔
3 0− ≥
bất đẳng thức sai nên
1t = −
không thể là nghiệm của bất
phương trình
2 0t
− ≥
.
0t =
⇒
0 2 0− ≥
⇔
2 0− ≥
bất đẳng thức sai nên
0t =
không thể là nghiệm của bất
phương trình
2 0t
− ≥
.
1t
=

Ví dụ 1 : Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.
a)
2 4 0x − >
b)
4 3 0x− ≤
c)
2 3 2 3x x− ≥ −
d)
7 3 8 5x x+ < −

Trang 16
Bài giải
a)
2 4 0x
− >
“ chuyển − 4 từ vế trái sang vế phải của bất phương trình và đổi dấu thành 4”
⇔
2 4x >
“ chia hai vế của bất phương trình cho số dương 2 ”
⇔
2x
>
///////////////////|///////////(
b)
9 3 0x− ≥
“chuyển
3x−
từ vế trái sang vế phải của bất phương trình và đổi dấu thành
3x
”

2 1 3 2 3 1x x x x+ − + > − −
b)
( ) ( ) ( )
2 2 3 3 3 2 2 1x x x x+ − ≤ − + −
c)
( )
1
1 2
3
x x− ≥ +
d)
2 1
3 2 6
x x x
x
−
− < −

Bài giải
a)
( ) ( )
2 1 3 2 3 1x x x x+ − + > − −
⇔
2 2 3 2 3 3x x x x+ − + > − +
⇔
4 4 3x x− > −
⇔
4 4 3x x+ < +
⇔
5 7x <

⇔
2 7x ≤ −
⇔
7
2
x ≤
| )//////////////
d)
2 1
3 2 6
x x x
x
−
− < −
⇔
( )
2.2 3 1 6x x x x− − < −
⇔
4 3 3 5x x x
− + < −
⇔
5 3x x
+ < −
⇔
6 3x
< −
⇔
3
6
x

0x
<
hoặc
0x
≥
b)
5 3 12B x x= − − +
nếu
0x
>
hoặc
0x
≤
c)
3 5C x x= − + −
nếu
7x
>
Trang 17
d)
2 3 2D x x= + + +
nếu
2x
≤ −
hoặc
2x
> −
.
Bài giải
a)

5 0x− ≥
⇒
5 5x x− = −
⇒
5 3 12 5 3 12 12 8B x x x x x= − − + = − − + = −
.
c)
7x >
⇒
7 0x − >
⇒
3 0x − >
⇒
3 5 3 5 2 8B x x x x x= − + − = − + − = −
.
d)
2x ≤ −
⇒
2 0x+ ≤
⇒
( )
2 3 2 2 3 2 1B x x x x x= + + + = + − + = +
.

2x > −
⇒
2 0x+ >
⇒
( )
2 3 2 2 3 2 3 5B x x x x x= + + + = + + + = +

<
nên
2x
= −
là nghiệm của phương trình.
Với
0x
≥
⇒
4 0x
≥
⇒
4 4x x=
⇒
3 2 4 0x x− + =
⇔
3 2 4 0x x
− + =
⇔
7 2 0x
− =
⇔
2
7
x =
giá trị này thỏa mãn điều kiện
0x
≥
nên
2

6x = −
giá trị này không thỏa mãn điều kiện
0x >
nên nó không là nghiệm.
Với
0x ≤
⇒
5 0x− ≥
⇒
5 5x x− = −
⇒
5 3 12 3x x− − + =
⇔
5 3 12 0x x− − + =
⇔
8 12x =
⇔
12 3
8 2
x = =
giá trị này không thỏa mãn điều kiện
0x ≤
nên nó không là nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Với
3 0x − >
⇔
3x >
.
⇒

≤
nên nó là nghiệm của phương trình.
Vậy
{ }
0,6S =
.
d) Với
2 0x+ ≤
⇔
2x ≤ −
.
⇒
( )
2 3 2 3 1x x x+ + + = −
⇔
( ) ( )
2 3 2 3 1x x x+ − + = −
⇔
1 3 3x x+ = −
⇔
2 4x =
⇔
2x
=
giá trị này không thỏa mãn điều kiện
2x
≤ −
nên nó không là nghiệm.
Với
2 0x+ >

4 0x <
⇒
4 4x x= −
⇒
3 2 4 3 2 4 2A x x x x x= − + = − − = − −
.

0x ≥
⇒
4 0x ≥
⇒
4 4x x=
⇒
3 2 4 3 2 4 7 2A x x x x x= − + = − + = −
.
b)
0x >
⇒
5 0x− <
⇒
( )
5 5 5x x x− = − − =
⇒
5 3 12 5 3 12 2 12B x x x x x= − − + = − + = +
.

0x ≤
⇒
5 0x− ≥
⇒

Nếu
0a ≥
,
0b ≥
thì
2
a b
ab
+
≥

“ Trung bình cộng của hai số không âm bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
hai số đó ”
Bài giải
Vì
0a
≥
,
0b ≥
nên tồn tại
a
,
b
và
( )
a b R− ∈
thế thì :
( )
2
0a b− ≥

được gọi là biến số.
 Khi hàm số được cho bằng công thức
( )
y f x=
, ta hiểu rằng biến
x
chỉ lấy những giá trị
mà tại đó
( )
f x
xác định.
Ví dụ 1 : a) Cho hàm số
( )
3f x x=
, tính :
( )
2f −
;
( )
1f −
;
( )
0f
;
1
3
f
 
 ÷
 

3f x x=
, tính :
Trang 19

( ) ( )
2 3. 2 6f − = − = −
;
( ) ( )
1 3. 1 3f − = − = −
;
( )
0 3.0 0f = =

1 1
3. 1
3 3
f
 
= =
 ÷
 
;
( )
3 3. 3f =
.
b) Cho hàm số
( )
3 1g x x= +
, tính :


f
 
 ÷
 
;
( )
3f
;
( )
f a
;
( )
f m n+
.
a)
2
2 3y x x= − +
; b)
3 2
1
x
y
x
+
=
+
c)
4 2y x= −
.
Bài giải

2
2. 3f a a a= − +
;
( ) ( ) ( )
2
2 3f m n m n m n+ = + − + +
.
b)
3 2
1
x
y
x
+
=
+
, tính :
Vì
1x = −
thì
1 0x + =
nên
( )
1f −
không xác định;

( )
3.0 2
0 2
0 1

3 1
3 1
f
+ −
+ − + − −
= = = =
+
−
;
Khi
1a ≠ −
thì
( )
3 2
1
a
f a
a
+
=
+
, khi
1a = −
hàm số không xác định;
Khi
1m n+ ≠ −
thì
( )
( )
3 2

2
3 4 2 3 3 1 3 1 3 1f = − = − = − = −
;
Trang 20
Khi
4 2 0 2a a
− ≥ ⇔ ≤
⇒
( )
4 2f a a= −
; khi
2a
>
thì
4 2 0a
− <
hàm số không xác định.
Khi
2m n
+ ≤
⇒
( ) ( )
4 2f m n m n+ = − +
; khi
2m n
+ >
thì hàm số không xác định.
Ví dụ 3 : Tìm tập xác định của hàm số
a)
2 3y x= −

x
−
=
+
xác định khi
1 0x
+ ≠
⇔
1x
≠ −
;
c)
5y x= −
xác định khi
5 0x
− ≥
⇔
5x
≤
;
d)
3 2y x x= + + −
xác định khi
3 0
2 0
x
x
+ ≥



2
2 3
4
3
x
y x
x
−
= − +
+
d)
( ) ( )
2 1
1 2
x
y
x x
+
=
+ −
e)
2
3 2 4 1 2y x x x x= − + + + − −
.
Bài giải
a)
2
2 3y x x= − −
xác định khi
2

;
(a1)
1 0
3 0
x
x
+ ≥


− ≥

⇔
1
3
x
x
≥ −


≥

⇔
3x
≥
;
(a2)
1 0
3 0
x
x

y
x
−
=
−
xác định khi
2 3
0
2
x
x
−
≥
−
⇔ hoặc
2 3 0
2 0
x
x
− ≥


− >

hoặc
2 3 0
2 0
x
x
− ≤

;
(b2)
2 3 0
2 0
x
x
− ≤


− <

⇔
3
2
2
x
x

≤



<

⇔
3
2
x ≤
.
Vậy hàm số xác định với mọi


⇔
( ) ( )
2 2 0
3
x x
x
 − + ≥


≠ −


⇔ hoặc
2 0
2 0
3
x
x
x
− ≥


+ ≥


≠ −

hoặc
2 0

2
2
3
x
x
x
≤


≥ −


≠ −

⇔
2 2x
− ≤ ≤
;
(c2)
2 0
2 0
3
x
x
x
− ≤


+ ≤


x
y
x x
+
=
+ −
xác định khi
( ) ( )
2 1
0
1 2
x
x x
+
≥
+ −
⇔ hoặc
( ) ( )
2 1 0
1 2 0
x
x x
+ ≥



+ − >


hoặc

2 0
x
x
x

≥ −


+ >


− >


hoặc
1
2
1 0
2 0
x
x
x

≥ −


+ <


− <



> −


>


⇔
2x >
;
o hoặc
1
2
1 0
2 0
x
x
x

≥ −


+ <


− <


⇔

+ − <


⇔ hoặc
1
2
1 0
2 0
x
x
x

≤ −


+ >


− <


hoặc
1
2
1 0
2 0
x
x
x


2
1
2
x
x
x

≤ −


> −


<


⇔
1
1
2
x− < ≤ −
;
o hoặc
1
2
1 0
2 0
x
x
x

nào thỏa mãn.
Vậy hàm số xác định với mọi
x
sao cho
1
1
2
x− < ≤ −
hoặc
2x
>
.
e)
2
3 2 4 1 2y x x x x= − + + + − −
xác định khi
2
3 2 0
4 1 0
2 0
x
x
x x

− ≥

+ ≥


− − ≥


+ − ≥

⇔ hoặc
3 2 0
4 1 0
2 0
1 0
x
x
x
x
− ≥


+ ≥


+ ≥


− ≥

hoặc
3 2 0
4 1 0
2 0
1 0
x
x



− ≥

⇔
3
2
1
4
2
1
x
x
x
x

≤



≥ −


≥ −


≤

⇔
1 3

x
x
x
x

≤



≥ −


≤ −


≥

không có
x
nào thỏa mãn.
Vậy hàm số xác định với mọi
x
sao cho
1 3
4 2
x− ≤ ≤
.
2. Đồ thị hàm số
Ví dụ 1 : Vẽ đồ thị hàm số
3y x=

y
lại giảm thì hàm số
( )
y f x=
được gọi là hàm số nghịch biến trên R.
Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên tập D.
 Nếu
1 2 1 2
, :x x D x x∈ <
mà
( ) ( )
1 2
f x f x<
thì hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên D.
 Nếu
1 2 1 2
, :x x D x x∈ <
mà
( ) ( )
1 2
f x f x>
thì hàm số
( )
y f x=

1 2
0f x f x− <
⇒ hàm số
1y x= −
đồng biến trên R.
b)
3 2y x= −
xác định với mọi
x R
∈
.
1 2
,x x R∀ ∈
, giả sử
1 2
x x<
, tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
3 2 3 2 2f x f x x x x x− = − − − = − −
Mà
1 2
x x<
⇒
1 2
0x x− <
⇒
( ) ( )
1 2
0f x f x− >

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2f x f x x x x x x x x x− = + − − + − = − + +
Mà
1 2
x x<
⇔
1 2
0x x− <
và
1 2
, 1x x > −
⇔
1 2
2 0x x+ + >
⇒
( ) ( )
1 2
0f x f x− <
⇒ hàm số
2
2 2y x x= + −
đồng biến khi
1x > −
.
Mà
1 2

đạt giá
trị nhỏ nhất bằng
3−
khi
1x = −
.
Ví dụ 3 : Tìm hàm số
( )
y f x=
biết
a)
( )
1 2 1f x x+ = −
b)
( )
2
3 1f x x x− = − −
c)
2
1 1 4
2 4
x x x
f
− + −
 
=
 ÷
 
Bài giải
a) Đặt

2
x
t
−
=
⇔
2 1x t
= +
⇒
( )
( ) ( )
2
1 4 2 1 2 1
1
2 4
t t
x
f f t
+ + − +
−
 
= =
 ÷
 
( )
( )
2
2
2
1 8 4 4 4 1

, 0y ax b a= + ≠
đồng biến khi
0a >
, nghịch biến khi
0a <
.
Ví dụ 1 : Các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất ? Hãy xác định các hệ số a, b của
các hàm số bậc nhất.
a)
3 2y x= −
b)
1 5y x= −
c)
( )
3y x x= −
d)
( )
2 1 3y x= − +
e)
( )
2
2 1 3 2y x x x= − + −
f)
( )
2
1y x x x= − +
g)
1
y x
x

.
f)
( )
2 2 2
1y x x x x x x x= − + = − − = −
là hàm số bậc nhất với
1, 0a b= − =
.
g)
2
1 1x
y x
x x
+
= + =
không là hàm số bậc nhất.
Ví dụ 2 : Với giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất ?
a)
( ) ( )
2 2y m x= − +
b)
( )
5 1y m x= − −
c)
1
3,5
1
m
y x
m

5m
<
.
Vậy với
5m
<
thì hàm số
( )
5 1y m x= − −
là hàm số bậc nhất.
Trang 25
c)
1
3,5
1
m
y x
m
+
= +
−
là hàm số bậc nhất khi
1
0
1
m
m
+
≠
−


thì hàm số
1
3,5
1
m
y x
m
+
= +
−
là hàm số bậc nhất.
Ví dụ 3 : Với giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất ?
a)
( )
2
4 3y m x= − +
b)
( )
2
2 3 1y m m x m= + − + −
Bài giải
a)
( )
2
4 3y m x= − +
là hàm số bậc nhất khi
2
4 0m− ≠
⇔

( )
2
2 3 1y m m x m= + − + −
là hàm số bậc nhất.
Ví dụ 4 : Cho hàm số
( )
, 0y f x ax a= = ≠
.
a) Nghiệm lại các hệ thức
( ) ( )
1 1
f kx kf x=
và
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
f x x f x f x+ = +
b) Các hệ thức trên còn đúng với hàm số
( )
; , 0y f x ax b a b= = + ≠
?
Bài giải
a) Vì
( )
, 0y f x ax a= = ≠
nên
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
f kx a kx k ax kf x= = =
;


1 5x = +
.
b) Tính giá trị của biến
x
khi
5y =
.
Bài giải
a) Vì hàm số bậc nhất
( )
1 5 1y x= − −
có hệ số
1 5 0a = − <
nên nó là hàm số nghịch biến
b) Khi biến
1 5x = +
thì
( ) ( ) ( )
2
2
1 5 1 5 1 1 5 1 5y = − + − = − − = −
.
b) Khi
5y =
thì
( )
1 5 1 5x− − =
⇔
( )
1 5 1 5x− = −