Hàm số bậc nhất y = ax + b và hàm số y = ax
2
A.Tóm tắt lí thuyết:
1.Hàm số y = ax + b.
- Tính chất:
+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. + Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.
- Đồ thị:
Đồ thị là một đờng thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0).
-Các vẽ đồ thị: Tìm hai điểm thuộc đồ thị hàm số(thờng toạ độ nguyên). Kẻ đờng thẳng đi qua hai điểm đó.
2.Hàm số y = ax
2
(a 0)
- Tính chất:
+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. + Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
- Đồ thị:
Đồ thị là một đờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành.
3.Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d')
+(d) và (d') cắt nhau a a' +(d) // (d') a = a' và b b' +(d) (d') a = a' và b = b' +(d) vuông góc với (d') <=> aa' = -1
4.Một số phơng trình đờng thẳng đặc biệt:
Đờng thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
)có hệ số góc k: y = k(x x
0
) + y
0

*Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức:
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y= +
Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức:
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
*Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox:
Gọi

là góc cần tìm: +Nếu a > 0 thì tg

= a +Nếu a < 0 thì tg(180
0

Dạng 3:S ự t ơng giao của hai đồ thị
Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số y = f(x) và y = g(x).Hãy khảo sát sự tơng giao của hai đồ thị
Hoành độ giao điểm của (C) và (L) là nghiệm của phơng trình: f(x) = g(x) (*)
+Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung. +Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau.
+Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung. +Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung.
Dạng 4:lập ph ơng trình đ ờng thẳng
Bài toán 1: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x
A
;y
A
) và có hệ số góc bằng k.
Giải:
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b (*)
Xác định b: (D) đi qua A(x
A
;y
A
) nên ta có y
A
= kx
A
+ b b = y
A
- kx
A.
. Thay b = y
A
- kx
A
vào (*) ta có phơng trình của (D)

Giải:
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b ; Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:f(x) = ax + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm đợc hệ thức liên hệ giữa a và b (1)
Mặt khác: (D) qua A(x
A
;y
A
) do đó ta có y
A
= ax
A
+ b (2)
Từ (1) và (2) a và b Phơng trình đờng thẳng (D).
Dạng 5: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua.
Dạng 6: Viết ph ơng trình đ ờng thẳng đối xứng với đ ờng thẳng y = ax + b qua trục Ox, Oy.
Hệ thống bài tập:
*Bài 1. Cho hai hàm số: y = x và y = 3x
Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
Đờng thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đờng thẳng: y = x và y = 3x lần lợt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm
A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB
Bài 2: Cho hàm số y = - 2x và
1
2
y x=
.
Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên;
Qua điểm (0; 2) vẽ đờng thẳng song song với trục Ox cắt đờngthẳng
1
2
y x=



, (x < -1,5)
3x +2, (-1,5 x 1)
x + 4, (x >1)
1 2y x x
= +
*Bài 9: Tìm giá trị của k để ba đờng thẳng:
y = 2x + 7 (d
1
)
1 7
3 3
y x= +
(d
2
)
2 1
y x
k k
=
(d
3
)
đồng quy trong mặt phẳng tọa độ.
Bài 10: Cho hai đờng thẳng: y = (m + 1)x 3 và y = (2m 1)x + 4.
a. Chứng minh rằng khi
1
2
m =

)
1
2
2
y x=
(d
2
).
a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b. Gọi giao điểm của đờng thẳng (d
1
) với trục Oy là A, giao điểm của đờng thẳng (d
2
) với trục Ox là B, còn giao điểm của đờng thẳng (d
1
) và
(d
2
) là C. Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
c. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 14: Cho các hàm số sau: y = - x 5 (d
1
) ;
1
4
y x=
(d
2
) ; y = 4x (d
3

2
).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau.
b. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.
d. (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau.
e. (d
1
) và (d
2
) trùng nhau.
Bài 17: Cho hàm số y = (m + 3)x + n (m - 3) (d). Tìm các giá trị của m, n để đờng thẳng (d):
a. Đi qua điểm A(1; - 3) và B(- 2; 3).

6m + 12)x
2
.
a. Chứng tỏ rằng hàm số nghịch biến trong khoảng (-2005; 0), đồng biến trong khoảng (0; 2005).
b. Khi m = 2, hãy tìm x để y = 8; y = 2 và y = - 2.
c. Khi m = 5, hãy tìm giá trị của y, biết
1 2,x = + x = 1- 2
và
1 2
1 2
x
+
=

.
Bài 20: Cho hàm số: y = - (k
2
2k + 3)x
2
.
a. Chứng tỏ rằng hàm số đồng biến trong khoảng (0; +), hàm số nghịch biến trong khoảng (-; 0).
b. Khi k = 1, tính giá trị của y, biết
2 3x =
,
2 3x = +
và
2 3
2 3
x


d. Gọi A và B là giao điểm của (P) với đờng thẳng tìm đợc trong câu c, và C là giao điểm của đờng thẳng (d) với trục Oy. Tìm tọa độ các điểm
B, C và tính diện tích tam giác ABC.
*Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x
2
/4 và đờng thẳng (d): y = mx + n. Tìm các giá trị của m và n biết đờng thẳng (d) thỏa mãn
một trong các điều kiện sau:
a. Song song với đờng thẳng y = x và tiếp xúc với (P)
b. Đi qua điểm A(1,5; -1) và tiếp xúc với (P).
Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) trong mỗi trờng hợp trên.
*Bài 26. Cho hàm số:
2
1
2
y x=
.
1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết phong trình đờng thẳng MN.
3. Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và giao với (P) tại 1 điểm.
*Bài 27. Cho hàm số
2
1
2
y x=
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Lập phong trình đờng thẳng (D) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P).
Bài 28. Cho hàm số:
2
( ) 2 2 1y f x x x
= = +

có đồ thị (P) qua A. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc.
3. Tìm phong trình của đờng thẳng tiếp xúc với (P) tại A.
Bài 32. Cho (P) là đồ thị của hàm số y = ax
2
và điểm A(- 2; -1) trong cùng hệ trục.
1. Tìm a sao cho A thuộc (P). Vẽ (P) với a tìm đợc.
2. Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là 4. Viết phong trình đờng thẳng AB.
3. Viết phong trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB.
Bài 33. Cho parabol (P):
2
1
4
y x=
và đờng thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lợt là
- 2 và 4.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Viết phong trình của (D).
3. Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tơng ứng hoành độ)
[ ]
2; 4x

sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
*Bài 34. Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):
2
1
4
y x=
và đờng thẳng (D): y = mx 2m 1.
1. Vẽ (P).
2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).

1. Viết phong trình đờng thẳng đi qua A(2; 1).
2. Chứng minh rằng các đờng thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm tọa độ của M.
Bài 38. Cho hàm số:
3 2
2
2 2 8 8
( )
4
x x x
y f x
x
+
= =

.
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Vẽ đồ thị (D) của hàm số.
3. Qua điểm M(2; 2) có thể vẽ đợc mấy đờng thẳng không cắt đồ thị (D) của hàm số?
Bài 39. Cho parabol (P): y = x
2
4x + 3.
1. Chứng minh đờng thẳng y = 2x 6 tiếp xúc với (P).
2. Giải bằng đồ thị bất phong trình: x
2
4x + 3 > 2x 4.
Bài 40.
1. Cho đờng thẳng (d
1
): y = kx + 5. Tìm k để đờng thẳng (d
1

có đồ thị (P).
1. Vẽ đồ thị (P).
2. Tìm quỹ tích những điểm M qua đó có thể vẽ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau và cùng tiếp xúc với (P).
Bài 44. Trong cùng hệ trục tọa độ, cho parabol (P): y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b.
1. Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; -1).
2. Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1).
3. Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và 2).
4. Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm
3
; 1
2
C


ữ

và có hệ số góc m.
a. Viết phong trình đờng thẳng của (d).
b. Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau.
Bài 45. Cho hàm số y = x
2
có đồ thị (P) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
1. Vẽ (P).
2. Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lợt có hoành độ -1 và 2. Chứng minh rằng; tam giác OAB vuông.
3. Viết phong trình đờng thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P).
4. Cho đờng thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số).
a. Chứng minh rằng; (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b. Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x

3. Tìm tập hợp các điểm mà qua đó có hai tiếp tuyến vuông góc đến (P).
Bài 48. Cho hàm số: y = 2x
2
(P).
1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
2. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc và cùng tiếp xúc với (P).
Bài 49. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): y = - x
2
+ 4x 3 và đờng thẳng (D); 2y + 4x 17 = 0.
1. Vẽ (P) và (D).
2. Tìm vị trí của A thuộc (P) và B thuộc (D) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.
Bài 50. Cho parabol (P): y = - x
2
+ 6x 5. Gọi (d) là đờng thẳng đi qua A(3; 2) và có hệ số góc m.
1. Chứng tỏ rằng với mọi m, đờng thẳng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B, C.
2. Xác định đờng thẳng (d) sao cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 51. Cho parabol (P):
2
1
2
y x=
và đờng thẳng (d) có phong trình:
1
2
y mx= +
.
1. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
2. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.
Bài 52. Cho hai đờng thẳng (d
1

) có hoành độ x = 2. Tìm phong trình đờng thẳng (d
3
) đi qua A vuông góc với cả hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
Bài 54. Cho hàm số: y = mx 2m 1 (1) (m

0).
1. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O. Vẽ đồ thị (d
1
) vừa tìm đợc.
2. Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lợt với các trục Ox và Oy. Xác định m để tam giác AOB có diện tích bằng 2
(đ.v.d.t).
3. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Bài 55. Cho parabol (P): y = ax
2
và hai điểm A(2; 3), B(- 1; 0).
1. Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm M(1; 2). Khảo sát và vẽ (P) với a tìm đợc.