Trang 1
HÀM SỐ
2
, 0y ax a= ≠
1. Tính chất hàm số
2
, 0y ax a= ≠
:
 Nếu
0a
>
thì hàm số nghịch biến khi
0x
<
và đồng biến khi
0x
>
.
 Nếu
0a <
thì hàm số đồng biến khi
0x <
và nghịch biến khi
0x >
.
Ví dụ 1 : Cho hàm số
2
y x=
lập bảng tính giá trị của hàm số
y
tương ứng với các giá trị của

tương ứng với các giá trị
của
1 1
2; 1; ;0; ;2;3;9
2 3
x = − − −
.
Bài giải
x
2−
1−
1
2
−
0
1
3
2 3 9
2
3y x=
12 3
3
4
0
1
3
12 27 243
Ví dụ 3 : Cho hàm số
2
3

8
0
1
6
6
27
2
81
2
2. Đồ thị hàm số
2
, 0y ax a= ≠
: là một đường cong đi qua gốc tọa độ
( )
0;0O
và nhận trục
Oy
làm trục đối xứng; đường cong đó có tên là parabol.
 Nếu
0a
>
thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và
( )
0;0O
là điểm thấp nhất của đồ thị.
 Nếu
0a
<
thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành và
( )

và
2
3y x=
.
So sánh và có kết luận gì ?
Bài giải
x
2−
1−
1
2
−
0
1
2
1 2 3
2
2y x=
8 2
1
2
0
1
2
2 8 18
2
3y x=
12 3
3
4

x
2−
1−
1
2
−
0
1
2
1 2 3
2
3y x=
12 3
3
4
0
3
4
3 12 27
2
3y x= − 12−
3−
3
4
−
0
3
4
−
3−

Trang 3
Bài giải
a) Đồ thị hàm số
2
y ax=
đi qua điểm
( )
3;12A
ta có
2
12 .3a=
⇔
12 4
9 3
a = =
.
b) Đồ thị hàm số
2
y ax=
đi qua điểm
( )
2;3B −
ta có
( )
2
3 . 2a= −
⇔
3
4
a =

2
0,2 2 0,8b = − =
.
Điểm
( )
' 2;A b
cũng thuộc đồ thị
2
0,2y x=
. Vì
'A
đối xứng với A qua trục tung.
b) Biết điểm
( )
;6B b
thuộc đồ thị hàm số
2
0,2y x=
, thì
2
6 0,2b=
⇔
2
30b =
⇔
30b = ±
.
Điểm
( )
; 6C b −

0
0,05 0,2
0,8
1,8
y x=
2−
1−
1
2
−
0
1
2
1 2 3
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
2
0,2y x=
và
y x=
là nghiệm của hệ phương trình
2
0,2
y x
y x
=


=

⇔

1
2
2
0
0
5
5
x
y
x
y
 =



=


=




=


.
Ví dụ 7 : Cho hàm số
2
3y x=

2
−
0
1
2
1 2 3
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
2
3y x=
và
y x=
là nghiệm của hệ phương trình
2
3
y x
y x
=


=

⇔
2
3 0
y x
x x
=


− =

0
1
3
1
3
x
y
x
y

=



=





=





=




4y x=
và
2
5y x= −
.
Bài 4 : Xác định hệ số a của hàm số
2
y ax=
biết :
a) Đồ thị của nó đi qua điểm
( )
2;2A −
. b) Đồ thị của nó đi qua điểm
( )
2;5B −
.
Bài 6 : Cho hai hàm số
2
0,3y x= −
và
y x=
.
a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị hai hàm số.
b) Tìm tọa độ của các giao điểm.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1. Nghiệm-tập nghiệm của phương trình
 Giá trị
0
x x=
làm cho hai vế của phương trình có cùng một giá trị thì

.
Ví dụ 1 : Giải phương trình, bằng cách biến đổi phương trình về dạng
2
2
2
4
2 4
b b ac
x
a a
−
 
+ =
 ÷
 
a)
2
3 2 0x x− + =
b)
2
3 0m m+ =
c)
2
4 9 0t − =
d)
2
2 3 0x x+ + =
e)
2
6 5 0x x− + =

2 4
b b ac
x
a a
−
 
+ =
 ÷
 
.
a)
2
3 2 0x x− + =
⇔
2 2
2
3 3 3
2 2
2 2 2
x x
   
− + = −
 ÷  ÷
   
⇔
2 2
3 1
2 2
x
   

0; 3m m= = −
.
c)
2
4 9 0t − =
⇔
2
9
4
t =
⇔
9 3
4 2
t = ± = ±
.
d)
2
2 3 0x x+ + =
⇔
2 2
2.1 1 2x x+ + = −
⇔
( )
2
1 2x + = −
: phương trình vô nghiệm.
e)
2
6 5 0x x− + =
⇔

f)
2
3 7 0x x− − =
⇔
2 2
2
3 3 3
2. 7
2 2 2
x x
   
− + = +
 ÷  ÷
   
⇔
2
2
3 37
2 2
x
 
− =
 ÷
 
⇔
3 37
2
x
±
=

3
x x− + =
⇔
2 2
5
2 1 1
3
x x− + = −
⇔
( )
2
2
1
3
x − = −
pt vô nghiệm.
Trang 6
CÔNG THỨC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠
.
1. Phương trình bậc hai khuyết

2
0ax =
⇔
2
0x =
⇔
1 2

⇔
1/ 2
0 : _
0 :
ac Vo nghiem
c
ac x
a
>



< = ± −


.
2. Phương trình bậc hai đủ
( )
2
0, 1ax bx c+ + =
a) Nhẩm nghiệm ( nếu được )
 Nếu
0a b c+ + =
thì
1
1x =
;
2
c
x

x
a
− + ∆
=
,
2
' 'b
x
a
− − ∆
=
.
 Nếu
' 0
∆ =
phương trình bậc 2 có nghiệm kép :
1 2
'b
x x
a
= = −
.
 Nếu
' 0∆ <
phương trình bậc 2 vô nghiệm.
c) Nếu b là số lẻ : tính
2
4b ac∆ = −
( gọi là biệt số của phương trình bậc 2).
 Nếu

nghiệm của phương trình :
a)
2
3 5 0x x− =
b)
2
2 7 3 0x x− + =
c)
2
4 3 5 0x − =

d)
2
5 2 10 2 0x x+ + =
e)
2
1 2
7 0
2 3
x x+ + =
f)
2
1,7 1,2 2,1 0x x− − =
Bài giải
a)
2
3 5 0x x+ =
ta có
3, 5, 0a b c= = =
phương trình bậc hai khuyết c.

2
1 2
7 0
2 3
x x+ + =
ta có
1 2
, 7,
2 3
a b c= = =
.
( )
2
2
1 2 2
4 7 4. . 47
2 3 3
b ac∆ = − = − =
phương trình có hai nghiệm phân biệt.
f)
2
1,7 1,2 2,1 0x x− − =
ta có
1,7, 1,2, 2,1a b c= = − = −
.
( ) ( )
2
2
4 1,2 4.1,7. 2,1 15,72b ac∆ = − = − − − =
phương trình có hai nghiệm phân biệt.

.
Bài giải
a)
2
3 5 0x x− =
⇔
1
0x =
;
2
5
3
x =
. b)
2
4 9 0x − =
⇔
1/ 2
9 3
4 2
x = ± ±
c)
2
3 5 0x + =
do a và c cùng dấu nên phương trình vô nghiệm.
d)
2
2 7 3 0x x− + =
vì
( )

vì
2
1 4.6.5 119 0∆ = − = − <
nên phương trình vô nghiệm.
f)
2
6 5 0x x+ − =
vì
( )
2 2
1 4.6. 5 121 11∆ = − − = =

nên
1/ 2
1 11
2.6
x
− ±
=
⇔
1
12
1
12
x = − = −
;
2
10 5
2.6 6
x = =

( )
2
8 4.1.16 128∆ = − − =
nên
1/ 2
8 128
2
y
±
=
.
k)
2
16 24 9 0z z+ + =
vì
2
24 4.16.9 0∆ = − =
nên
1 2
24 3
2 2.16 4
b
z z
a
= = − = − = −
Ví dụ 4 : Phương trình tích
( ) ( )
0x a x b− − =
luôn có hai nghiệm
1 2

.
b)
1 2
1
; 3
2
x x= − =
ph trình là
( )
1
3 0
2
x x
 
+ − =
 ÷
 
⇔
2
1 3
3 0
2 2
x x x− + − =
⇔
2
2 5 3 0x x− − =
.
c)
1 2
0,1; 0,3x x= = −

b) Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích tại sao các hoành độ này đều là
nghiệm của phương trình đã cho.
c) Dùng công thức nghiệm giải phương trình, so sánh các kết quả tìm được.
Bài giải
a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị các hàm số
2
2y x=
và
3y x= − +
.
x
2−
1−
1
2
−
0
1
2
1 2 3
2
2y x=
8
2
1
2
0
1
2
2

2
x = −
là nghiệm của phương trình hoành độ
2
2 3 0x x+ − =
.
c) Dùng công thức nghiệm giải phương trình :
2
2 3 0x x+ − =
Vì
( )
2 2 2
4 1 4.2. 3 25 5b ac∆ = − = − − = =
nên
1/ 2
1 5
2 2.2
b
x
a
− ± ∆ − ±
= =
⇔
1
1x =
;
2
3
2
x = −

và ngược lại.
Ví dụ 1 : Giải phương trình
a)
2
5 6 1 0x x− − =
b)
2
3 14 8 0x x− + − =
c)
2
7 4 3x x− + =
d)
2
9 6 1 0y y+ + =

Ví dụ 2 : Giải phương trình
a)
2 2
3 2 3x x x− = +
b)
( )
( ) ( )
2
2 2 1 1 1x x x− − = − +
c)
( )
2
3 3 2 1x x+ = +
d)
( ) ( )

b
x
a
= −
.
 Nếu
0a ≠
,
0b c= =
phương trình (1) ở dạng
2
0ax =
⇔
1 2
0x x= =
.
 Nếu
0a ≠
,
0b =
,
0c ≠
phương trình (1) ở dạng
2
0ax c+ =
:
o a và c cùng dấu phương trình (1) vô nghiệm.
o a và c trái dấu phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau
1 2
;

0c
≠
phương trình (1) ở dạng
2
0ax bx c+ + =
, tính
2
4b ac∆ = −
.
o Nếu
0
∆ >
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :
1
2
b
x
a
− + ∆
=
,
1
2
b
x
a
− − ∆
=
.
o Nếu

f)
2
4 2 1 0mx x m+ + − =
.
g)
2
2 10 1 0x x m− + − =
h)
2
5 12 3 0x x m− + − =
Hướng dẫn
Phương trình
2
0ax bx c+ + =
có nghiệm kép khi và chỉ khi
0
0
a ≠


∆ =

.
a)
2
2 3 1 0x mx− + =
,
2
9 8m∆ = −
b)

' 2 1m∆ = −
Ví dụ 2 : Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt ?
a)
2
3 0x x m− + =
b)
( )
2
3 2 1 2 0x m x m− + + − =
c)
2
2 3 0x x m+ − =
d)
2
4 3 0mx x m− + =
e)
2
4 2 1 0mx x m− + − =
f)
2
2 4 0x mx m− + − =
.
Trang 10
g)
2 2
2 0x kx k+ − =
h)
2 2
2 0m x mx− + =
.

' 1 3m
∆ = +
d)
2
4 3 0mx x m− + =
,
2
' 4 3m∆ = −
e)
2
4 2 1 0mx x m− + − =
,
( )
2
' 2 1m∆ = −
f)
2
2 4 0x mx m− + − =
,
2
' 4m∆ = −
Ví dụ 3 : Với giá trị nào của tham số m thì phương trình vô nghiệm ?
a)
2 2
5 1 0m x mx− + =
b)
( )
2
2 3 1 0mx m x m+ − + − =
c)


=


≠

hoặc
0
0
a ≠


∆ <

.
a)
2 2
5 1 0m x mx− + =
,
2
21m∆ =
b)
( )
2
2 3 1 0mx m x m+ − + − =
,
' 9 5m
∆ = −
c)
2

.
Ví dụ 4 : Với giá trị nào của tham số m thì phương trình có nghiệm ?
a)
( )
2
2 1 2 0mx m x m+ − + + =
b)
( )
2 2
2 4 3 2 1 0x m x m− + + − =
a)
2
2 3 1 0x mx− + =
,
2
9 8m∆ = −
b)
( ) ( )
2
1 2 1 2 0m x m x− + + + =
,
2
' 3m∆ = +
c)
2
9 4 1 0x mx− + =
,
2
' 4 9m∆ = +
d)



≠

hoặc
0
0
a ≠


∆ ≥

.
Ví dụ 5 : Giải và biện luận phương trình
a)
2 2
2 0x mx m− + =
b)
2
2 3 0x x m+ − =
c)
2
2 4 0x mx− + =
d)
2
2 3 0x x m+ − =
e)
2
2 2 0x mx m− + + =
f)

2
2 4 0x mx− + =
,
2
' 4m∆ = −
d)
2
2 3 0x x m+ − =
,
' 1 3m
∆ = +
e)
2
2 2 0x mx m− + + =
,
( ) ( )
2
' 2 1 2m m m m∆ = − − = + −
f)
2
4 2 1 0mx x m+ + − =
,
( )
2
' 2 1m∆ = −
i)
( )
2 1 3m x x− = +
j)
( ) ( )

1 2
x x+
b)
2 2
1 2
x x−
c)
3 3
1 2
x x−
d)
1 2
1 1
x x
+
.
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-ét
Nếu
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương trình bậc 2 :
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠
thì
1 2
1 2

b)
2
5 35 0x x− − =
,
...,∆ =

1 2
...,x x+ =

1 2
. ...x x =
;
c)
2
8 1 0x x− + =
,
...,∆ =

1 2
...,x x+ =

1 2
. ...x x =
;
d)
2
25 10 1 0x x+ + =
,
...,∆ =


b)
2
9 12 4 0x x− + =
c)
2
5 2 0x x+ + =
d)
2
159 2 1 0x x− − =
.
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 ( nếu được )
Nếu
0a b c+ + =
thì ph trình bậc hai
2
0, 0ax bx c a+ + = ≠
có 2 nghiệm
1
1x =
;
2
c
x
a
=
.
Nếu
0a b c− + =
thì ph trình bậc hai
2

c)
2
3 10 0x x− − =
d)
2
3 10 0x x+ + =
a)
2
2 3 1 0x x− + =
⇔
1
1x =
,
2
1
2
x =
b)
2
2 1 0x x− − =
⇔
1
1x =
,
2
1
2
x = −
c)
2

2
x =
b)
( )
2
2 2 2 2 0x x+ − − =
⇔
1
1x =
,
2
2
2
x = −
c)
( )
2
2 2 2 2 0x x− − − =
⇔
1
1x = −
,
2
2
2
x =
d)
( )
2
2 2 2 2 0x x+ + + =

2
x = −
c)
( )
2
2 2 3 3 0x x+ − − =
⇔
1
1x = −
,
2
3
2
x =
d)
( )
2
2 2 3 3 0x x+ + + =
⇔
1
1x = −
,
2
3
2
x = −
Ví dụ 2 : Nhẩm nghiệm phương trình