Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
11


4. khảo sát và vẽ hàm bậc ba
Dạng 1:
Khảo sát và vẽ hàm số
3 2
(a 0)
y ax bx cx d
= + + +

Phơng pháp
1.

Tìm tập xác định.
2.

Xét sự biến thiên của hàm số
a.

Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn tại vô cực (nếu có). Tìm các đờng tiệm cận.
b.

Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
+ Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị.
+ Điền các kết quả vào bảng.

3 3
2 3
3 3
2 3
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
+ +

+ = + = +
+ = + =

c.

Bảng biến thiên
2 2
0
' 3 6 ' 0 3 6 0
2
x
y x x y x x
x
=

Số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của 2 đồ thị
3 2
3 1
y x x
= +
và y =m
Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận:
m > 3: Phơng trình có 1 nghiệm.

3 phơng trình có 2 nghiệm
-1< m < 3: Phơng trình có 3 nghiệm.
m = -1: Phơng trình có 2 nghiệm
m < -1: Phơng trình có 1nghiệm
m
=
Các bài toán về hàm bậc ba
Bài 1(TNTHPT 2008)

Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
= +


2
-2
-5
5
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
12
b.

Biệm luận theo m số nghiệm của phơng trình
3 2
2 3 1
x x m
+ =Bài 2 (TN THPT- lần 2 2008)

Cho hàm số y = x
3
- 3x
2

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đ cho.
b.

3
x x
+
-m=0 .

Bi 5 (TNTHPT 2004- PB)

Cho hm s y=
3 2
6 9
x x x
+
cú ủ th l (C) .

a/ Kho sỏt v v ủ th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti ủim
có hoành độ là nghiệm của phơng trình y=0 .
c/ Vi giỏ tr no ca m thỡ ủng thng y=x+m
2
-m ủi qua trung ủim ca ủon thng ni cc ủi
vo cc tiu .
Bi 6 (TNTHPT 2004 - KPB)
Cho hm s y=
3 2 3
3 4
x mx m
+
.
a/ Kho sỏt v v ủ th hm s khi m=1 .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti ủim cú honh ủ x=1 .


Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.
b.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

Bài 9 (ĐH-B- 2007)

Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1
y x x m x m
= + +

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b.

Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.
Bài 10 (ĐH - D - 2004)
Cho hàm số y = x
3
3mx
2
+ 9x + 1
a.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2
b.


a.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2
b.

Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài 5 (ĐH 2006- D)
Cho hàm số
3
3 2
y x x
= +

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b.

Gọi d là đờng thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đờng thẳng d cắt (C ) tại 3
điểm phần biệt. (Gợi ý đờng thẳng d qua M(x
0
;y
0
) có hệ số góc m có dạng: y = m(x - x
0
) + y
0
)
Bài 7


Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
14

Hàm bậc bốn trùng phơng và một số bài tập có liên quan
I. Một số tính chất của hàm trùng phơng


Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho
0
a




Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu
2
' 0 2 (2 ) 0
y x ax b
= + =
có ba nghiệm phân biệt
0
2
b
a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0
b.

Với giá trị nào của m hàm số có 3 cực trị
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
15
Bài tập hàm số trùng phơng
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4 2 4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
. y= -x 2 b. y = x 2 c.
y = x 6 1
1 5
. y = 3 e.y = -x +2x +3 f. y = x +2x +
2 2
a x x x
d x x
+ + +
=
1

Bài 2.
Cho hàm số
4 2 2
2 1
y x m x

4 2
m
2 (C )
y x mx= +
a.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b.
Hy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
Bài 5. (ĐH Vinh - 2002)
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
5 4
y x x
= +

2.
Xác định m để phơng trình
4 2 2
5 3 0
x x m
+ =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 6
Cho hàm số
4
2
9
2
4 4

4 2
2 2
y x x m
= +
(C
m
)
a.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
b.
Tìm các giá trị của m để đồ thị (C
m
) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox
c.
Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân.
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi đại học (Chun ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chun ðề
16
HỌ ĐƯỜNG CONG

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT
:
Cho họ đường cong
),(:)(
mxfyC
m
=

Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M
0

Cụ thể
:
• Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M
0

• Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M
0

• Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M
0

Trong trường hợp này ta nói rằng M
0
là điểm cố đònh của họ đường cong
)(
m
CD¹ng 1:
TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT
:
Cho họ đường cong
),(:)(
mxfyC

+
BAm

m
∀

Dạng 2:
0
2
=++
CBmAm

m
∀

Áp dụng đònh lý:
0
=
+
BAm



=
=
⇔∀
0
0
B
A

Bµi tËp
Bµi 1. Cho hä (C
m
)
3 2 2
3( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)
y x m x m m x m m
= − + + + + − +
. CMR: Khi m thay ®ỉi th× hä ®−êng
cong lu«n qua mét ®iĨm cè ®Þnh.
Bµi 2. Cho hä ®å thÞ (C
m
):
1
mx
x m
+
=
+
. T×m c¸c ®iĨm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cđa hµm sè lu«n ®i qua víi mäi
1
m
≠ ±

Bµi 3. Cho hä (C
m
) cã ph−¬ng tr×nh:
2
1
1

mx
y
x m

=

. Gọi (H
m
) là đồ thị của hàm số đ cho.
a.
Chứng minh rằng với mọi
1
m

, họ đờng cong luôn qua 2 điểm cố định.
b.
Gọi M là giao điểm của 2 tiệm cận. Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.
Bài 6. Cho hàm số:
3 2
m
( 2) 2( 2) ( 3) 2 1 (C )
y m x m x m x m= + + + + + . Chứng minh rằng họ đồ thị luôn
qua ba điểm cố định và 3 điểm cố định đó cùng nằm trên một đờng thẳng.

Dạng 2: Tìm điểm họ đồ thị hàm số không đi qua
Phơng pháp:
B1: Giả sử M(x
0
; y
0


a.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b.
Tìm các điểm trên đờng thẳng x = 1, sao cho không thể có giá trị nào của m để đồ thị hàm số đi
qua.
Bài 3. Cho đồ thị hàm số
3 2
m
2 3( 3) 18 8 (C )
y x m x mx= + +
. Chứng minh rằng trên đờng cong y = x
2

có hai điểm mà (C
m
) không đi qua với mọ m.
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
18
CHUYÊN ðỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ðỔI TƯƠNG ðƯƠNG
1. Bình phương 2 vế của phương trình

a)
Phương pháp


3 3 1 2 2 2
x x x x
+ + + = + +

Giải: ðk
0
x
≥

Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta ñược:
(
)
(
)
(
)
1 3 3 1 2 2 1
x x x x x
+ + + = + +
, ñể giải
phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất ñơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :
3 1 2 2 4 3
x x x x
+ − + = − +

Bình phương hai vế ta có :
2 2
6 8 2 4 12 1
x x x x x

)
(
)
(
)
(
)
f x h x k x g x
− = −
sau ñó bình phương ,giải phương trình hệ quả
Bài 2.
Giải phương trình sau :
3
2
1
1 1 3
3
x
x x x x
x
+
+ + = − + + +
+

Giải:
ðiều kiện :
1
x
≥ −


1 3
1
1 2 2 0
3
1 3
x
x
x x x x
x
x

= −
+
= − − ⇔ − − = ⇔

+
= +



Thử lại :
1 3, 1 3
x x= − = +
l nghiệm
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :
(
)
(
)
(


2. Trục căn thức
2.1. Trục căn thức ñể xuất hiện nhân tử chung
a) Phương pháp
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm ñược nghiệm
0
x
như vậy phương trình luôn ñưa về
ñược dạng tích
(
)
(
)
0
0
x x A x
− =
ta có thể giải phương trình
(
)
0
A x
=
hoặc chứng minh
(
)
0
A x
=
vô

)
(
)
(
)
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2
x x x x x
− + − − − = − −
v
(
)
(
)
(
)
2 2
2 3 4 3 2
x x x x
− − − + = −

Ta có thể trục căn thức 2 vế :
( )
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
x x
x x x

2 0
x A x
− =
, ñể thực hiện ñược ñiều ñó ta phải nhóm , tách như sau :
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
− −
+ − = − + + − ⇔ = − +
+ + + +
 
+ +
⇔ − − − = ⇔ =
 
+ + + +

( )
( )
( )
2
2 33
2 3
2 2
3
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
 
− + +
+
 
− − + − = − − ⇔ − + =
 
− +
− + − +
 
 


Nếu phương trình vô tỉ có dạng

A B C
+ =
, mà :
A B C
α
− =

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của
x
. Ta có thể giải như sau :

A B
C A B
A B
α
−
= ⇒ − =
−
, khi ñĩ ta có hệ: 2
A B C
A C
A B
α
α

+ =

⇒ = +

Xét
4
x
≠ −

Trục căn thức ta có :
2 2
2 2
2 8
4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x
+
= + ⇒ + + − − + =
+ + − − +

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
20
Vậy ta có hệ:
2 2
2
2 2
0
2 9 2 1 2

Giải phương trình :
2 2
2 1 1 3
x x x x x
+ + + − + =

Ta thấy :
(
)
(
)
2 2 2
2 1 1 2
x x x x x x
+ + − − + = +
, như vậy không thỏa mãn ñiều kiện trên.
Ta có thể chia cả hai vế cho x và ñặt
1
t
x
=
thì bài toán trở nên ñơn giản hơn
Bài tập ñề nghị
Giải các phương trình sau :
( )
2 2
3 1 3 1
x x x x
+ + = + +


2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
− + − − =

(OLYMPIC 30/4-2007)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2
x x x x x x x
− + − − = + + + − +

2 2
2 16 18 1 2 4
x x x x
+ + + − = +

2 2
15 3 2 8
x x x
+ = − + +
3. Phương trình biến ñổi về tích
 Sử dụng ñẳng thức
(
)
(
)

1
x
pt x x
x
=

⇔ + − + − = ⇔

= −


Bi 2.
Giải phương trình :
2 2
3 3
3 3
1
x x x x x
+ + = + +

Giải:
+
0
x
=
, không phải là nghiệm
+
0
x
≠

3 2 1 1 0
0
x
x x x
x
=

⇔ + − + − = ⇔

=


Bài 4.
Giải phương trình :
4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+

Giải:
ðk:
0
x
≥

Chia cả hai vế cho