Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
1
HÀM SỐ
☯
☯☯
☯1. TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính ñơn ñiệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản

1. ðịnh nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) xác ñịnh trên K:
+ Hàm số y = f(x) ñược gọi ñồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ <

+ Hàm số y = f(x) ñược gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ >

2. Qui tắc xét tính ñơn ñiệu

a. ðịnh lí

x d
− − + + + −
− +

Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
2 3 4 2 3 2
2
2
. y = 3x 8 b. y = x 8 5
c. y = x 6 9
3- 2x x 2 3
. y = e. y = f. y = 25-x
x + 7 1
a x x x x
x
d
x
− + + − +
− +
+

Loại 2:
Chứng minh hàm số ñồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác ñịnh.
Phương pháp
+ Dựa vào ñịnh lí.
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số
2
2
y x x

−
=
+
nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó.
b.

Hàm số
2
2 3
2 1
x x
y
x
+
=
+
ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó.
c.

Hàm số
2
8
y x x
= − + +
nghịch biến trên R.

Dạng 2.
Tìm giá trị của tham số ñể một hàm số cho trước ñồng biến, nghịch biến trên khoảng xác ñịnh
cho trước
Phương pháp:

(1; )
+∞

Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số:
2
1
m
y x
x
= + +
−
ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó.
Ví dụ 9
Xác ñịnh m ñể hàm số
3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x
= − + − + +
ñồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10
Cho hàm số
4
mx
y
x m
+
=

(2; )
+∞

Ví dụ 12 (ðH KTQD 1997)
Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)
y x a a x a a
= − − − + + − −
ñồng biến trên
[2:+ )
∞

Dạng 3
. Sử dụng chiều biến thiên ñể chứng minh BðT
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu ñể hàm số ñơn ñiệu trên một ñoạn.
+ f ( x) ñồng biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ()
f a f x f
≤ ≤

+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )
f a f x f b
≥ ≥

Ví dụ 1. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:
2

Chứng minh rằng
2sin tan 3 , (0; )
2
x x x x
π
+ > ∀ ∈
Ví dụ 3
Cho hàm số
( ) t anx - x
f x
=

a.Chứng minh hàm số ñồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 


 

b. Chứng minh
3
tan , (0; )
3 2
x
x x x
π
> + ∀ ∈


π
≤ ∀ ∈  CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1
. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:

Dựa vào 2 qui tắc ñể tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác ñịnh.
B2: Tính f’(x). Tìm các ñiểm tại ñó f’(x) = 0 hoặc
f’(x) không xác ñịnh.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác ñịnh.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí
hiệu là x
i
là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(x
i
)
B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i

x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

= −


+
∞
∞∞
∞
-
∞
∞∞
∞
- 54
71
+
+
-
0
0
2
-3
+
∞
∞∞

=

⇔

= −


y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số ñạt cực tiểu tại x = 2 và
y
ct
= - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số ñạt cực ñại tại x = -3
và
y
cñ
=71 Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x
b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7
d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x

4
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y =
f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈

2
+ 2 có :
2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
=

= − ⇒ = ⇔

=

tại x = 2 hàm số ñạt giá
trị cực tiểu
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài 1. Xác ñịnh m ñể hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
y mx x x
= + + +

Bài 2. Tìm m ñể hàm số
3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè
cã C§ hay CT
3

x
= +
+
ñạt cực ñại tại ñiểm x = -2 và f(-2) = -2
Hướng dẫn:
2
'( ) 1 , x -1
( 1)
q
f x
x
= − ∀ ≠
+

+ Nếu
0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ã hµm sè lu
«n ®ång biÕn . Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.
q
≤ ∀ ≠

+ Nếu q > 0 thì:
2
2
1
2 1
'( ) 0
( 1)
1
x q
x x q

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
5
•

Cực trị của hàm phân thức
( )
( )
p x
y
Q x
=
. Giả sử x
0
là ñiểm cực trị của y, thì giá trị của y(x
0
) có thể
ñược tính bằng hai cách: hoặc
0 0
0 0
0 0
( ) '( )
( ) hoÆc y(x )
( ) '( )
P x P x
y x
Q x Q x

' 6 0
2
m
m m
m
>

∆ = − − > ⇔

< −


b. TXð:
{
}
\ 2
−
¡2 2
2 2
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'
( 2) ( 2)
µm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi ' 0 ã hai
nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0
0

x m
− + + +
=
−
luôn có cực ñại và cực tiểu.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
2  12 13
y x x
= + − −
. Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của
ñồ thị cách ñều trục tung.
Bài 4. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx
= − + + −
. Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu.
Bài 5. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m ñể hàm số có cực trị

d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +

Bài 5. Xác ñịnh m ñể hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
y mx x x= + + +

Bài 6. Tìm m ñể hàm số
3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè
cã C§ hay CT
3
y x mx m x
= − + − +
Bài 7. Tìm m ñể hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+

Bài 8. Tìm m ñể hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1
y x mx m x
= − + −


=
−
luôn có cực ñại và cực tiểu.
Bài 13. Cho hàm số
3 2
2  12 13
y x x
= + − −
. Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của
ñồ thị cách ñều trục tung.
Bài 14. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx
= − + + −
. Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu.
Bài 15. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m ñể hàm số có cực trị
Bài 16. Cho hàm số
2

(
)
;
a b
:
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên Trong đó tại x
0
thì f’(x
0
) bằng 0 hoặc khơng xác định
•

ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1:
Tìm các giá trò x
i

[
]
;
a b
∈ (i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh .
B2:


Dễ thầy h àm số liên tục trên
(0; )
+∞

2
2
2 2
1 1
' 1 ' 0 1 0 1
x
y y x x
x x
−
= − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ±
.
Dễ thấy
1 (0; )
x
= − ∉ +∞

Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2.
Tính GTLN, GTNN của hàm số
3
2
2 3 4
3
x
y x x

= + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒

= −

− −
− = − = − − = = −
= −
−
=

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
3 2 3
4 2 3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3]
d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4;
3]
a x x x
x x x
+ − + + −
− + + − −

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
2
x 1
. f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 +
trªn kho¶ng (1; + )
x + 2 x- 1
c. f(x) = x 1 - x d. f(x)
a

a
x
GTNN
+
-
y
y'
b
x
0
a
x
+
∞
∞∞
∞
+
∞
∞∞
∞
0
2
+
-
y
y'
+
∞
∞∞
∞

x x
f x f x
→+∞ →−∞
− −

II. Các dạng toán
Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x
=

Phương pháp
•

Tiệm cận ñứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác ñịnh tiệm cận ñứng.
•

Tiệm cận ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên ñược xác ñịnh bằng
cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b +
( )
x
ε
với
lim ( ) 0

− −
= −∞ = +∞
+ +
nên ñường thẳng x= 2 là tiệm cận ñứng.
Vì
1
2
2 1
lim lim 2
2
2
1
x x
x
x
x
x
→±∞ →±∞
−
−
= =
+
+
nên y = 2 là tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số.
b.
+
2
3
7
lim

c. Ta thấy
2
1
2
lim .
1
x
x
x
+
→
+
= = +∞
−
Nên x = 1 là ñường tiệm cận ñứng.
+
2
1
2
lim
1
x
x
x
−
→−
+
= +∞
−
. Nên x = -1 là tiệm cận ñứng.


Phương pháp
Ta phân tích
2
ax ( )
2
b
bx c a x x
a
ε
+ + ≈ + +

Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→+∞
=
khi ñó
( )
2
b
y a x
a
= +
có tiệm cận xiên bên phải
Với
lim ( ) 0
x


Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
10
Các tính giới hạn vô cực của hàm số
( )
( )
f x
y
g x
=

lim ( )
0
f x
x x

lim ( )
0
g x
x x

Dấu của g(x)
( )
lim
( )
0

e. y = f. y = 4 +
2x + 1 x- 2
a
-x + 3 4 - x
g. y = h. y =
x 3x + 1

Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau:
2 2 2
2 2 2 2
2
x 12 27 x 2 x 3 2- x
. y = b. y = c. y = d. y =
4 5 ( 1) 4 x 4 3
1 x 2
. y = 2x -1 + f. y =
x 3
x x x
a
x x x x x
x
e
x
+ +
+ +
+

3 2
2 2
1 2x


Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số:
2 2
3
2( 2) 1
x
y
x m x m

=
+ + + +
có đúng 2 tiệm cận đứng.
Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số:
2 2
3x 1 -3x 4
. y = b. y =
1 2
x x
a
x x
+ + +
+

Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
2( 1) 4 3
2

tại hai điểm phân biệt.
2
-2
-4
-5
5
2
-2
-4
-5
5
2
-2
-4
-5
5