Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
31
Xuất phát từ hàm ñơn ñiệu :
(
)
3 2
2 1
y f x x x
= = + +
mọi
0
x
≥
ta xây dựng phương trình :
( )
(
)
(
)
3
3 2 2
3 1 2 1 2 3 1 (3 1) 1
f x f x x x x x
= − ⇔ + + = − + − +
, Rút gọn ta ñược phương trình
(
)

2
2 7 5 4 2
3 1
x x x y
x y

+ + + =


− =


cộng hai phương trình ta ñược:
(
)
(
)
3 2
2 1 1
x x
+ + +
=
3 2
2
y y
+

Hãy xây dựng những hàm ñơn ñiệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ?

Bài 1.

2 3
f t t t
= + +
, là hàm ñồng biến trên R, ta có
1
5
x
= −

Bài 2.
Giải phương trình
3 2 2
3
4 5 6 7 9 4
x x x x x
− − + = + −

Giải . ðặt
2
3
7 9 4
y x x
= + −
, ta có hệ :
( ) ( )
3 2
3
3
2 3
4 5 6

=


=  +  ⇔ = + ⇔ + = + − ⇔
− ±
 

=



Bài 3.
Giải phương trình :
3
3
6 1 8 4 1
x x x
+ = − −V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
1. Một số kiến thức cơ bản:
 Nếu
1
x
≤
thì có một số t với
;
2 2
t

t
π
 
∈
 
 
sao cho :
sin
t x
=
và một số y với
0;
2
y
π
 
∈
 
 
sao
cho
cos
x y
=


Với mỗi số thực x có
;
2 2
t

Từ ñó chúng ta có phương pháp giải toán :

Nếu :
1
x
≤
thì ñặt
sin
t x
=
với
;
2 2
t
π π
− −
 
∈
 
 
hoặc
cos
x y
=
với
[
]
0;
y
π

0;
2
y
π
 
∈
 
 
Nếu :
x
,
y
là hai số thực thỏa:
2 2
1
x y
+ =
, thì ñặt
sin , cos
x t y t
= =
với
0 2
t
π
≤ ≤


 

Tại sao lại phải ñặt ñiều kiện cho t như vậy ?
Chúng ta biết rằng khi ñặt ñiều kiện
(
)
x f t
=
thì phải ñảm bảo với mỗi
x
có duy nhất một
t
, và
ñiều kiện trên ñể ñảm bào ñiều này .
(xem lại vòng tròn lượng giác )
2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ?
Từ công phương trình lượng giác ñơn giản:
cos3 sin
t t
=
, ta có thể tạo ra ñược phương trình vô tỉ
Chú ý :
3
cos3 4cos 3cos
t t t
= − ta có phương trình vô tỉ:
3 2
4 3 1
x x x
− = −

3
3
x
x x x
−
 
+ − + − − = +
 
 

Giải:
ðiều kiện :
1
x
≤

Với
[ 1;0]
x
∈ −
: thì
( ) ( )
3 3
1 1 0
x x
+ − − ≤
(ptvn)
[0;1]
x
∈

1 2 1 2
x x
x x
x x
− +
− + + = +
+ −
HD:
1 2cos
tan
1 2cos
x
x
x
+
=
−

2)

(
)
2 2
1 1 1 2 1
x x x
+ − = + −
ðs:
1
2
x

Xét :
1
x
≤
, ñặt
[
]
cos , 0;
x t t
π
= ∈
. Khi ñó ta ñược
5 7
cos ;cos ;cos
9 9 9
S
π π π
 
=
 
 
mà phương trình
bậc 3 có tối ña 3 nghiệm vậy ñó cũng chính là tập nghiệm của phương trình.
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
33
Bài 4.


Khi ñó ptt:
( )
2
cos 0
1
1 cot 1
1
sin
sin 2
2
t
t
x
t
=


+ = ⇔

= −


Phương trình có nghiệm :
(
)
2 3 1
x
= − +


Ta có thể ñặt :
tan , ;
2 2
x t t
π π
 
= ∈ −
 
 

Khi ñó pttt.
(
)
2
2sin cos2 cos2 1 0 sin 1 sin 2sin 0
t t t t t t
+ − = ⇔ − − =

Kết hợp với ñiều kiện ta có nghiệm
1
3
x =Bài tập tổng hợp
Giải các phương trình sau
( )
3
3 2 2
1 2 2

4 5 3 1 2 7 3
x x x x
+ + + = + + +

( )
2 2
3 1 3 1
x x x x
+ + = + +

4 3 10 3 2
x x
− − = −

(HSG Toàn Quốc 2002)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 5 2 10
x x x x x
− − = + − −

2
3
4 1 2 3

x x
x x
x
+ +
+ + =
+

12 2 1 3 9
x x x
+ − = +

3 2
4
4
1 1
x x x x
+ + = + +

2
4 3 3 4 3 2 2 1
x x x x x
+ + = + + −

3 2 4
1 1 1 1
x x x x x
− + + + + = + −

( )
(

+ + − + − =

2
2008 4 3 2007 4 3
x x x
− + = −(
)
(
)
2 2
3 2 1 1 1 3 8 2 1
x x x x
+ − = + + +

2
12 1 36
x x x
+ + + =

( )
3 3
4 1 1 2 2 1
x x x x
− + = + +

1 1 1
2 1 3

x
x x
+
= +

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
34

2 2
4 4 10 8 6 10
x x x x
− − = − −

3
x x x x
− = +
CHUYÊN ðỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I.

PHƯƠNG PHÁP BIỂN ðỔI TƯƠNG ðƯƠNG
Dạng 1
: Phương trình
(*)

= ⇔

=


Dạng 3
: Phương trình
+)
0
0
2
A
A B C B
A B AB C

≥

+ = ⇔ ≥


+ + =


(chuyển về dạng 2)

+)
(
)
3 3 3 3
3 3

x x
+ + =

e)
3 2 1 3
x x
− + − =

f)
3 2 1
x x
+ − − =

g)
9 5 2 4
x x
+ = − +

h)
3 4 2 1 3
x x x
+ − + = +

i)
2 2
( 3) 10 12
x x x x
+ − = − −
(với k là hằng số) khi ñó có thể ñặt :
( )
t f x
=
, khi ñó
( )
k
g x
t
=

-Nếu bài toán có chứa
( ) ( ) ; ( ). ( )
f x g x f x g x
±
và
( ) ( )
f x g x k
+ =
khi ñó có thể ñặt:
( ) ( )
t f x g x
= ±
suy ra
2
( ). ( )
2
t k
f x g x
−

− + − = + −

Bài 3
: Cho phương trình:
2
1
x x m
− − =

-Giải phương trình khi m=1
-Tìm m ñể phương trình có nghiệm.
Bài 4
: Cho phương trình:
2
2 3
x mx x m
+ − = −

-Giải phương trình khi m=3
-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
35
-Nếu bài toán có chứa
2 2
x a
−

∈
 
 

-Nếu bài toán có chứa
2 2
x a
+
ta có thể ñặt
.tan
x a t
=
với
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 36

Bài 1: Giải phương trình:
a)
2 2

2 5 2 2 2 5 6 1
x x x x
+ + − + − =

g)
2 2
3 2 2 2 6 2 2
x x x x
+ + − + + = −

h)
2 2
11 31
x x
+ + =

i)
2
( 5)(2 ) 3 3
x x x x
+ − = +Bài 2: Giải phương trình:
a)
( ) ( )
3
3 2 2
1 2 1
x x x x

x
x
x
+ =
−

f)
( )( ) ( )
1
3 1 4 3 3
3
x
x x x
x
+
− + + − = −
−

Bài 4: Cho phương trình:
2
1 1
1
m
x
x
+ =
−

(
)
(
)
2 3 2 3 2 0
x x x x
+ − + − + =

Khai triển và rút gọn ta sẽ ñược những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, ñộ khó của phương
trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát.
Từ ñó chúng ta mới ñi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải ñược thể hiện qua các ví dụ
sau .
Bài 1. Giải phương trình :
(
)
2 2 2
3 2 1 2 2
x x x x
+ − + = + +

Giải:
2
2
t x
= +
, ta có :
( )
2
3
2 3 3 0

Khi ñó phương trình trở thnh :
(
)
2
1 1
x t x
+ = +
(
)
2
1 1 0
x x t
⇔ + − + =

Bây giờ ta thêm bớt , ñể ñược phương trình bậc 2 theo t có
∆
chẵn
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x
t x
=

− + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔

= −

x t
= −
thay vo thì ñược pt:
(
)
(
)
2
3 2 1 4 1 1 0
t x t x
− + + + + − =

Nhưng không có sự may mắn ñể giải ñược phương trình theo t
(
)
(
)
2
2 1 48 1 1
x x
∆ = + + − + −
không
có dạng bình phương .
Muốn ñạt ñược mục ñích trên thì ta phải tách 3x theo
(
)
(
)
2 2
1 , 1

(
)
2
2 4 0
t x
= − ≥
. Ta ñược:
2
9 16 32 8 0
x t x
− − + =

Ta phải tách
(
)
(
)
2 2 2
9 2 4 9 2 8
x x x
α α α
= − + + −
làm sao cho
t
∆
có dạng chình phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ ñạt ñược mục ñích.
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a)
3 3

và tìm mối quan hệ giữa
(
)
x
α
và
(
)
x
β
từ ñó tìm ñược
hệ theo u,v. Chẳng hạn ñối với phương trình:
(
)
(
)
m m
a f x b f x c
− + + =
ta có thể ñặt:
( )
( )
m
m
u a f x
v b f x

= −



2
1 ( 1) 0
x x x x x x
− − − − + − =

b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai:
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 38

2
( )
ax b c dx e x
α β
+ = + + +
với
d ac
e bc
α
β
= +


= +


Cách giải: ðặt:
dy e ax b

mãn ñiều kiện trên ñể ñặt ẩn phụ.Việc chọn
;
α β
thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới
dạng :
(
)
' '
n
n
x p a x b
α β γ
+ = + +
là chọn ñược.
c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba.
(
)
3
3
ax b c dx e x
α β
+ = + + +
với
d ac
e bc
α
β
= +



+ = +
  
⇔ ⇔
  
+ = + + +
+ = − + +
+ = − + + −

 



α β
α β

Bài tập: Giải các phương trình sau:
1)
2
1 4 5
x x x
+ = + +

2)
2
3 1 4 13 5
x x x
+ = − + −

3)
3

− + − =

7)
2
4 13 5 3 1 0
x x x
− + + + =

8)
2
4 13 5 3 1 0
x x x
− + + + =( )
( )
2
15
30 4 2004 30060 1 1
2
x x x
− = + +

3 2
3
3 5 8 36 53 25
x x x
− = − + −


Bước 3: Nhận xét:
• Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k
= ⇔ = =
do ñó
0
x
là nghiệm
• Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k
> ⇔ > =
do ñó phương trình vô nghiệm
• Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k
< ⇔ < =
do ñó phương trình vô nghiệm
• Vậy
0
x
là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 2: thực hiện theo các bước
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:
( ) ( )
f x g x


Bước 2: Xét hàm số
( )
y f x
=
, dùng lập luận khẳng ñịnh hàm số ñơn ñiệu
Bước 3: Khi ñó
( ) ( )
f u f v u v
= ⇔ =

Ví dụ: Giải phương trình :
( )
(
)
(
)
2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
x x x x x
+ + + + + + + =

pt
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )

2
1 3
x x x
− = + −
,
2 3
1 2 2
x x x x
= − + −
,
1 2 3
x x
− + + =
,
2
2 1 3 4
x x x
− + + = −