Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
21
Biến ñổi phương trình về dạng :
k k
A B
=

Bài 1.
Giải phương trình : 3 3
x x x
− = +

Giải:
ðk:
0 3
x≤ ≤ khi ñó pt ñ cho tương
ñương :
3 2
3 3 0
x x x
+ + − =
3
3
1 10 10 1
3 3 3 3
x x
−

x x
x
x x
=


+ + =

+ + = ⇔ ⇔

− −

=
+ + = −





Bài 3.
Giải phương trình sau :
( ) ( )
2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2
x x x x x+ + = + +

Giải : pttt

thường là những phương trình dễ .
Bài 1.
Giải phương trình:
2 2
1 1 2
x x x x
− − + + − =

ðiều kiện
:
1
x
≥

Nhận xét.
2 2
1. 1 1
x x x x
− − + − =

ðặt
2
1
t x x
= − −
thì phương trình có dạng:
1
2 1
t t
t

x
−
=
. Thay vào ta có phương trình sau:
4 2
2 4 2
10 25 6
2. ( 5) 1 22 8 27 0
16 4
t t
t t t t t
− +
− − − = ⇔ − − + =

2 2
( 2 7)( 2 11) 0
t t t t
⇔ + − − − =

Ta tìm ñược bốn nghiệm là:
1,2 3,4
1 2 2; 1 2 3
t t
= − ± = ±

Do
0
t
≥
nên chỉ nhận các gái trị

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
22
Bài 3.
Giải phương trình sau:
5 1 6
x x
+ + − =

ðiều kiện:
1 6
x
≤ ≤

ðặt
1( 0)
y x y
= − ≥
thì phương trình trở thnh:
2 4 2
5 5 10 20 0
y y y y y
+ + = ⇔ − − + =
( với
5)
y ≤
2 2

Giải:
ñk
0 1
x
≤ ≤

ðặt
1
y x
= −
pttt
(
)
(
)
2
2
2 1 1002 0 1 0
y y y y x
⇔ − + − = ⇔ = ⇔ =

Bài 5.
Giải phương trình sau :
2
1
2 3 1
x x x x
x
+ − = +


không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta ñược:
3
1 1
2
x x
x x
 
− + − =
 
 

ðặt t=
3
1
x
x
−
, Ta có :
3
2 0
t t
+ − = ⇔
1 5
1
2
t x
±
= ⇔ =
x x
+ + =

2 2 2
2 (1 ) 3 1 (1 ) 0
n
n n
x x x
+ + − + − =

2
(2004 )(1 1 )
x x x
= + − −
( 3 2)( 9 18) 168
x x x x x
+ + + + =

3
2 2
1 2 1 3
x x
− + − =
Nhận xét
: ñối với cách ñặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết ñược một lớp bài ñơn giản, ñôi khi
phương trình ñối với
t


(
)
(
)
(
)
(
)
. .
a A x bB x c A x B x
+ =

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
23

2 2
u v mu nv
α β
+ = +

Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận ñược phương trình vô tỉ
theo dạng này .
a) . Phương trình dạng :
(
)


= +



Xuất phát từ ñẳng thức :

(
)
(
)
3 2
1 1 1
x x x x
+ = + − +

(
)
(
)
(
)
4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1
x x x x x x x x x
+ + = + + − = + + − +

(
)
(

)
2 3
2 2 5 1
x x
+ = +

Giải:
ðặt
2
1, 1
u x v x x
= + = − +

Phương trình trở thành :
( )
2 2
2
2 5
1
2
u v
u v uv
u v
=


+ = ⇔

=


( )
(
)
( )
(
)
2 2
1 1 7 1 1
x x x x x x
α β
− + + + = − + +

ðồng nhất thức ta ñược:
( )
(
)
( )
(
)
2 2
3 1 2 1 7 1 1
x x x x x x
− + + + = − + +

ðặt
2
1 0 , 1 0
u x v x x
= − ≥ = + + >
, ta ñược:

2
y x
= +
ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 ñối với x và y :
3 2 3 3 2 3
3 2 6 0 3 2 0
2
x y
x x y x x xy y
x y
=

− + − = ⇔ − + = ⇔

= −


Pt có nghiệm :
2, 2 2 3
x x= = −

b).Phương trình dạng :
2 2
u v mu nv
α β
+ = +

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
24

+ = −

Bài 2.
Giải phương trình sau :
2 2
2 2 1 3 4 1
x x x x x
+ + − = + +

Giải
ðk
1
2
x
≥
. Bình phương 2 vế ta có :
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2 2 1
x x x x x x x x x x
+ − = + ⇔ + − = + − −




Do
, 0
u v
≥
.
( )
2
1 5 1 5
2 2 1
2 2
u v x x x
+ +
= ⇔ + = −

Bài 3.
giải phương trình :
2 2
5 14 9 20 5 1
x x x x x
− + − − − = +

Giải:
ðk
5
x
≥
. Chuyển vế bình phương ta ñược:
(

= +

.
Nhưng may mắn ta có :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
20 1 4 5 1 4 4 5
x x x x x x x x x
− − + = + − + = + − −

Ta viết lại phương trình:
(
)
( )
2 2
2 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)
x x x x x x

(
)
2 2 2
3 2 1 2 2
x x x x
+ − + = + +

Giải:

2
2
t x
= +
, ta có :
( )
2
3
2 3 3 0
1
t
t x t x
t x
=

− + − + = ⇔

= −


Bài 2

⇔ + − + =

Bây giờ ta thêm bớt , ñể ñược phương trình bậc 2 theo t có
∆

chẵn :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x
t x
=

− + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔

= −
Từ một phương trình ñơn giản :
(
)
(
)
1 2 1 1 2 1 0
x x x x
− − + − − + + =

3 2 1 4 1 1 0
t x t x
− + + + + − =

Nhưng không có sự may mắn ñể giải ñược phương trình theo t
(
)
(
)
2
2 1 48 1 1
x x
∆ = + + − + −

không có dạng bình phương .
Muốn ñạt ñược mục ñích trên thì ta phải tách 3x theo
(
)
(
)
2 2
1 , 1
x x
− +

Cụ thể như sau :
(
)
(
)

. Ta ñược:
2
9 16 32 8 0
x t x
− − + =

Ta phải tách
(
)
(
)
2 2 2
9 2 4 9 2 8
x x x
α α α
= − + + −
làm sao cho
t
∆
có dạng chính phương .
Nhận xét :
Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ ñạt ñược mục ñích
4. ðặt nhiều ẩn phụ ñưa về tích

Xuất phát từ một số hệ “ñại số “ ñẹp chúng ta có thể tạo ra ñược những phương trình vô tỉ mà khi giải
nó chúng ta lại ñặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ ñể ñưa về hệ
Xuất phát từ ñẳng thức
(
)
(

x x x x x
+ − − − + − + =

3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0
x x x x
+ + − + − − − =

Bài 1.
Giải phương trình :
2 . 3 3 . 5 5 . 2
x x x x x x x
= − − + − − + − −

Giải :
2
3
5
u x
v x
w x

= −


= −


= −


+ + =
 
, giải hệ ta ñược:
30 239
60 120
u x= ⇔ =

Bài 2.
Giải phương trình sau :
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2
x x x x x x x
− + − − = + + + − +

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
26
Giải .
Ta ñặt :
2
2
2
2
2 1
3 2
2 2 3
2

Bài 3.
Giải các phương trình sau
1)

2 2
4 5 1 2 1 9 3
x x x x x
+ + − − + = −

2)

( ) ( ) ( )
3
3 2
4
4
4
4
1 1 1 1
x x x x x x x x
+ − + − = − + + −

5. ðặt ẩn phụ ñưa về hệ:
5.1 ðặt ẩn phụ ñưa về hệ thông thường

ðặt
(
)
(
)

y x x y
= − ⇒ + =

Khi ñó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:
3 3
( ) 30
35
xy x y
x y
+ =



+ =


, giải hệ này ta tìm ñược
( ; ) (2;3) (3;2)
x y
= =
. Tức là nghiệm của phương trình là
{2;3}
x
∈

Bài 2.
Giải phương trình:
4
4
1

2 4 4
4
1
1
2
2
1
2 1
2 1
2
u v
u v
u v
v v

= −


+ =
 
⇔
 
 
 
+ = −
− + = −

 

 

1, 5 1( 0, 0)
a x b x a b
= − = + − ≥ ≥
thì ta ñưa về hệ phương trình sau:
2
2
5
( )( 1) 0 1 0 1
5
a b
a b a b a b a b
b a

+ =

→ + − + = ⇒ − + = ⇒ = −

− =



Vậy
11 17
1 1 5 1 1 5
2
x x x x x
−
− + = + − ⇔ − = − ⇒ =

Bài 8.

2 2
( ) 10 2
10
2 4
4 4 8
( ) 1
2( )
3
3
u v uv
u v
u v
u z
uv
u v


+ = +
+ =
 
⇔
 
 
+ − =
− − + + =
 
 

 


2 1
y x
= + −
, khi ñó ta có phương trình :
(
)
2
2
1 ( 2 1) 1 2 2
x x x x x
+ = + − + ⇔ + = +

Vậy ñể giải phương trình :
2
2 2
x x x
+ = +
ta ñặt lại như trên và ñưa về hệ
Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :
( )
( )
2
2
x ay b
y ax b
α β
α β

+ = +


Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng :
(
)
' '
n
n
x p a x b
α β γ
+ = + +
v ñặt
n
y ax b
α β
+ = +
ñể ñưa về hệ , chú ý về dấu của
α
???
Việc chọn
;
α β
thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :
(
)
' '
n
n
x p a x b
α β γ
+ = + +
là chọn

2 2( 1)
x x y
y y x

− = −


− = −



Trừ hai vế của phương trình ta ñược
( )( ) 0
x y x y
− + =

Giải ra ta tìm ñược nghiệm của phương trình là:
2 2
x = +

Bài 6.
Giải phương trình:
2
2 6 1 4 5
x x x
− − = +

Giải
ðiều kiện
5



Với
2 3 4 5 2 3
x y x x x= ⇒ − = + ⇒ = +

Với
1 0 1 1 2
x y y x x+ − = ⇒ = − → = −

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
28
Kết luận: Nghiệm của phương trình là
{1 2; 1 3}
− +

Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ?
 Dạng hệ gần ñối xứng
Ta
xt hệ sau :
2
2
(2 3) 2 1
(1)
(2 3) 3 1
x y x


ðặt
13
2 3 1
4
y x
− = +
thì chúng ta không thu ñược hệ phương trình mà chúng ta có thể giải ñược.
ðể thu ñược hệ
(1)
ta ñặt :
3 1
y x
α β
+ = +
, chọn
,
α β
sao cho hệ chúng ta có thể giải ñược ,
(ñối
xứng hoặc gần ñối xứng )
Ta có hệ :
( )
2
2 2 2
2
2
2 3 1 0 (1)
3 1
(*)

2 3 1
4 13 5
α αβ β
α β
− −
= =
− +
, ta chọn ñược ngay
2; 3
α β
= − =

Ta có lời giải như sau :
ðiều kiện:
1
3
x
≥ −
, ðặt
3
3 1 (2 3), ( )
2
x y y
+ = − − ≤

Ta có hệ phương trình sau:
2
2
(2 3) 2 1
( )(2 2 5) 0

;
8 8
 
− +
 
 
 
 Chú ý :
khi ñã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay
;
α β
bằng cách viết lại phương trình
ta viết lại phương trình như sau:
2
(2 3) 3 1 4
x x x
− = − + + +

khi ñó ñặt
3 1 2 3
x y
+ = − +
, nếu ñặt
2 3 3 1
y x
− = +
thì chúng ta không thu ñược hệ như mong

1)2
4 13 5 3 1 0
x x x
− + + + =2)

2
4 13 5 3 1 0
x x x
− + + + =

3)3 2
3
4
81 8 2 2
3
x x x x
− = − + −


Phương trình :
(
)
3
3 2
3 3
27 81 8 27 54 36 54 27 81 8 3 2 46
x x x x x x
⇔ − = − + − ⇔ − = − −

Ta ñặt :
3
3 2 81 8
y x
− = −

Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này !

III. PHƯƠNG PHÁP ðÁNH GIÁ
1. Dùng hằng ñẳng thức :

Từ những ñánh giá bình phương :
2 2
0
A B
+ ≥
, ta xây dựng phương trình dạng
2 2
0
A B

nếu dấu bằng ỏ (1) và (2)
cùng dạt ñược tại
0
x
thì
0
x
là nghiệm của phương trình
A B
=

Ta có :
1 1 2
x x
+ + − ≤
Dấu bằng khi và chỉ khi
0
x
=
và
1
1 2
1
x
x
+ + ≥
+
, dấu bằng khi và chỉ
khi x=0. Vậy ta có phương trình:
1


=




Nếu ta ñoán trước ñược nghiệm thì việc dùng bất ñẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài
nghiệm là vô tỉ việc ñoán nghiệm không ñược, ta vẫn dùng bất ñẳng thức ñể ñánh giá ñược
Bài 1.
Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):
2 2
9
1
x x
x
+ = +
+

Giải: ðk
0
x
≥

Ta có :
( )
2 2
2
2 2 1
2 2 1 9
1

2 4 2 4
13 9 16
x x x x
− + + =Giải:
ðk:
1 1
x
− ≤ ≤

Biến ñổi pt ta có :
(
)
2
2 2 2
13 1 9 1 256
x x x− + + =

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
30
Áp dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki:
(
)
( )

3
2
10 16 10
5
x
x
x
x
x x


=
+

− =


⇔ ⇔



= −
= −




Bài 3.
giải phương trình:
3` 2

− + + = +
+ −

4 4 4
1 1 2 8
x x x x+ − + − − = +

4 4 4
2 8 4 4 4 4
x x x
+ = + + −

4 3
3
16 5 6 4
x x x
+ = +

3` 2
4
3 8 40 8 4 4 0
x x x x
− − + − + =

3 3 4 2
8 64 8 28
x x x x
+ + − = − +

2

1 2 1 2 1 1 2 2
u v u v x x y y x y x y
+ ≤ + ⇔ + + + ≤ + + +
r r r r

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ
,
u v
r r
cùng hướng
1 1
2 2
0
x y
k
x y
⇔ = = ≥
, chú ý tỉ số phải dương

. . .cos .
u v u v u v
α
= ≤
r r r r r r
, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
cos 1
u v
α
= ⇔ ↑↑
r


2)

2 2
4 5 10 50 5
x x x x
− + − − + =

IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm ñơn ñiệu


Dựa vào kết quả : “ Nếu
(
)
y f t
=
là hàm ñơn ñiệu thì
(
)
(
)
f x f t x t
= ⇔ =
” ta có thể xây dựng
ñược những phương trình vô tỉ