CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP
- Phương Xuân Trịnh
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
1

CHUYÊN ðỀ ðẠI SỐ TỔ HỢP

I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1) Quy tắc cộng:
Có n
1
cách chọn ñối tượng A
1
.
n
2
cách chọn ñối tượng A
2
.
A
1
∩ A
2
= ∅
⇒ Có n
1
+ n
2
cách chọn một trong các ñối tượng A

= n!.
4) Chỉnh hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) và sắp thứ tự của chúng gọi
là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
− Số các chỉnh hợp:
k
n
n!
A
(n k)!
=
−

5) Tổ hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của
n phần tử.
− Số các tổ hợp:
k
n
n!
C
k!(n k)!
=
−

− Hai tính chất
k n k
n n
C C
−

T C a b
−
+
=

− ðặc biệt:
n 0 1 2 2 n n
n n n n
(1 x) C xC x C x C
+ = + + + +

CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP
- Phương Xuân Trịnh
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
2

II / MỘT SỐ VÍ DỤ
1. Bài toán ñếm.
1.1 ðếm các số tự nhiênñược thành lập.

Ví dụ 1
.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ñược bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho
a) Các chứ số ñều khác nhau.
b) Chữ số ñầu tiên là 3.
c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4.
Giải

Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập ñược bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác
nhau
Giải

Gói số cần thiết lập là
abcde

Xét hai trường hợp
+ Trường hợp 1: Chọn e = 0 ⇒ e có 1 cách chọn
Khi ñó a có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn
⇒ Có 6.5.4.3 = 360 số.
+ Trường hợp 2: Chọn e ∈ { 2, 4, 6 } ⇒ e có 3 cách chọn
Khi ñó a có 5 cách chọn trừ số 0 và e
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP
- Phương Xuân Trịnh
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
3

⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 số
Vậy có 360 + 900 = 1260 số

Ví dụ 3

Chọn chữ số ñầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc 2
Chữ số còn lại có 2007 vị trí ñể ñặt, còn các vị trí khác ñặt số 0
⇒ Có 2.2007 = 4014 số
+ Trường hợp 3: Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2005 chữ số 0
Chọn chữ số ñầu tiên là 1
Chọn 2 trong 2007 vị trí ñể ñặt chữ số 1 ⇒ có
2
2007
C = 2007.1003 = 2013021
Vậy có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 số Ví dụ 5
(ðHQG TPHCM 2001)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt ñúng hai lần, chữ
số ba có mặt ñúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
Giải
+ Coi một dãy gồm 7 chữ số tương ứng với một số gồm 7 chữ số (Kể cả bắt ñầu bằng
0). Khi ñó ta thành lập số bằng cách xếp các chữ số vào 7 vị trí
Chọn 2 trong 7 vị trí ñể xếp chữ số 2: có
2
7
C
cách
Chọn 3 trong 5 vị trí còn lại ñể xếp chữ số 3: có
3
5
C
cách


4
C
.
1
7
A
= 420 số
Vậy có 11 760 − 420 = 11 340 số. 1.2 ðếm số phương án.

Ví dụ 6
: (ðH Thái nguyên 99)
Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh. Hỏi có bao
nhiêu cách:
a) Chọn 3 học sinh bất kì.
b) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và một nữ.
c) Chọn 3 học sinh trong ñó có ít nhất 1 nam.

Giải
a)

Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập3 của 40 ⇒ Số cách chọn là:
3
40
C 9880
= cách.
b)


Mỗi tam giác ñược hình thành bởi ba ñiểm không thẳng hàng
Số bộ ba ñiểm từ 37 ñiểm trên là:
3
37
C

Số bộ ba ñiểm thẳng hàng trên a là:
3
17
C

Số bộ ba ñiểm thẳng hàng trên b là:
3
20
C

Vậy số tam giác tạo thành là:
3
37
C
−
3
17
C
−
3
20
C
= 11 340 tam giác



Ví dụ 8
: (ðH Cảnh sát nhân dân)
Cho tam giác ABC. Xét bộ gồm 4 ñường thẳng song song với AB, 5 ñường thẳng song
song với BC và 6 ñường thẳng song song với CA trong ñó không có ba ñường thẳng
nào ñồng quy. Hỏi các ñường thẳng trên tạo ñược bao nhiêu tam giác và bao nhiêu tứ
giác (không kể hình bình hành).

Giải

a)

Mỗi tam giác ñược tạo thành bởi ba ñường thẳng thuộc ba nhóm khác nhau ⇒
Số tam giác là 4.5.6 = 120
b)
Mỗi hình thang không phải hình bình hành ñược tạo thành bởi hai ñường thẳng
thuộc nhóm này và một ñường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại ⇒ Số hình thang là
2 1 1 1 2 1 1 1 2
4 5 6 4 5 6 4 5 6
C .C .C C .C .C C .C .C 720
+ + = hình thang
2. Giải phương trình, bất phương trình và hệ ñại số tổ hợp

Ví dụ 1: (CðSP TPHCM99)
Tìm k thỏa mãn:
k k 2 k 1
C C 2C

⇔ k = 4, k = 8 (Thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = 8 Ví dụ 2
: (ðH Hàng hải 99) CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP
- Phương Xuân Trịnh
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
6

Giải bất phương trình:
n 3
C
1
n 1
4
14P
A
3
n 1
−
−
>
+Giải

14.3! n 1 .n. n 1 . n 2
n 3 !2!
−
> + − −
−

⇔
2
n n 42 0
+ − <
⇔
(
)
(
)
n 6 . n 7 0
− + <
⇔ −7 < n < 6
Kết hợp với ðk n≥ 3 ñược tập nghiệm của bất phương trình là: {3, 4, 5}. Ví dụ 3
: (ðHBK HN2001)
Giải hệ phương trình:
y y
2.A 5.C 90
x x
y y
5.A 2.C 80
x x

=
⇔
u 20
v 10



=
=

Thay vào ta có
y
A 20
x
y
C 10
x





=
=
⇔
x!
(x y)!
x!
y!(x y)!
20

=




−

=

⇔
x(x 1) 20
y 2
− =


=

⇔
x 5,x 4
y 2
= = −


=


Kết hợp ñiều kiện ⇒ Hệ phương trình có nghiệm
x 5
y 2
=


Giải

Số hạng tổng quát
k
k 12 k k 12 2k
k 1 12 12
1
T C .x C .x
x
− −
+
 
= =
 
 
.
Số hạng không chứa x tương ứng với 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6.
ðáp số
:số hạng không chứa x phải tìm là:
12.11.10.9.8.7
6 0
C .x 924
12
1.2.3.4.5.6
= = Ví dụ 2
:(ðH và Cð, khối A, 2003).

C C 7 n 3 7(n 3)
n 4 n 3
(n 1)!.3! (n)!.3!
+ +
+
− = + ⇔ − = +
+ +
+

⇔
(n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 42(n 3)
+ + + − + + + = +
⇔
(n 4)(n 2) (n 2)(n 1) 42
+ + − + + =

⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12
Số hạng tổng quát
12 k
5k
k
36 3k
1
k 5 k
2
T C . x C .x
12 12
k 1
3
x


CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP
- Phương Xuân Trịnh
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
8

Ví dụ 3:

Khai triển ña thức:
P(x) =
( )
12
1 2x
+ thành dạng :
(
)
12
0 1 2 12
P x a a x a x a x
= + + + +

Tìm max
(
)
1 2 12
a ,a , ,aGiải
Số hạng tổng quát

k k 1
k k 1
C .2 C .2
12 12
+
<
+
⇔
12! 12!
k!.(12 k)! (k 1)!.(11 k)!
.2
<
− + −
⇔
23
k 8
3
< <

Vậy a
0
< a
1
< … < a
8
.
Tương tự như trên ⇒ a
8
> a
9

kC k
k!(n k)! (k 1)!(n k)!
−
= =
− − −

=
(n 1)!
n
(k 1)!(n k)!
−
− −
=
1
1
k
n
nC
−
−
(ñpcm)

Lưu ý :(ðây là một kết quả có nhiều ứng dụng trong các bài tập chứng minh
ñẳng thức tổ hợp khi chưa có công cụ ñạo hàm và tích phân)

Ví dụ 2
: (ðH Quốc gia Hà Nội, khối D, 1997)
Tính tổng
6 7 8 9 10 11
11 11 11 11 11 11

k 0
1 1 C C C C C C
=
+ = = + + + + +
∑
(2)
Từ (1), (2) suy ra
11 10
2S 2 S 2 1024.
= → = =
CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP
- Phương Xuân Trịnh
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
9

ðáp số :
10
S 2 1024
= =

Ví dụ 3
: (ðH Bách Khoa Hà Nội, 1999)
Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2, tính tổng :

1 2 3 4 n 1 n
S C 2.C 3.C 4.C ( 1) .n.C
n n n n n

− −
−

Cộng theo vế các ñẳng thức trên ta ñược
0 1 2 3 n 1 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
n 1
n(C C C C ,,, ( 1) C )
n(1 1) 0
1 2 3 4 n 1 n
S C 2.C 3.C 4.C ( 1) .n.C
n n n n n
− −
− − − − −
−
= − + − + + −
= − =
−
= − + − + + −Cách 2
:
(Sử dụng ñạo hàm)

Xét khai triển

n 0 1 2 2 n n
n n n n
(1 x) C xC x C x C


Cách 1
(
Sử dụng kết quả ví dụ
1)
Âp dụng kết quả ví dụ 1 ta có:
k k 1
n n 1
kC nC
−
−
= ⇔
k 1 k
n 1 n
(k 1)C (n 1)C
+
+
+ = + ⇔
k k 1
n n 1
1 1
C C
k 1 n 1
+
+
=
+ +

Thay k = 0, 1, 2 … , n ta có


+
=
+
=
+
=
+
=
+ +0 1 2 3 n
n n n n n
1 2 3 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1
n 1
1 1 1
n 1
1
(C C C C )
n 1
1
(2 1)
n 1
1
S .C .C C C C
1 2 3 4
+
+ + + +
+

0 0
(1 x) dx (C xC x C x C x C )dx
⇒ + = + + + + +
∫ ∫

Ta có:
1
0
1
n 1 n 1
n
0
(1 x) 2 1
(1 x) dx
n 1 n 1
+ +
+ −
+ == =
+ +
∫

n 1
2 1
n 1
+
−
⇒ =
+
0
0 2 1 3 2 4 3 n 1 n 1

S
+
−
+
= Ví dụ 5
: Chứng minh ñẳng thức sau:
7 7
3 2
7
6 5 4 3 2
2 2 2 2 2 2 1
0 1 2 3 4 5 6
.C .C C C C C C
6 6 6 6 6 6 6
1 2 3 4 5 6 7
−
=
+ + + + + +
Giải

Xét khai triển

6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6
6 6 6 6 6 6 6
(2 x) 2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C
+ = + + + + + +



⇔
7 7
3 2
7
6 5 4 3 2
2 2 2 2 2 2 1
0 1 2 3 4 5 6
.C .C C C C C C
6 6 6 6 6 6 6
1 2 3 4 5 6 7
−
= + + + + + +
Vậy
7 7
3 2
7
6 5 4 3 2
2 2 2 2 2 2 1
0 1 2 3 4 5 6
.C .C C C C C C
6 6 6 6 6 6 6
1 2 3 4 5 6 7
−
=
+ + + + + + (ñpcm) CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP
- Phương Xuân Trịnh


Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng ba
chữ số này bằng 8?
5)

Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ
ngồi nếu:
a) họ ngồi chỗ nào cũng ñược.
b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau.
c) chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau.
6)

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau biết rằng tổng ba chữ số này
bằng 12?
Một phòng khách có 3 chỗ có thể ñặt tranh, ảnh hoặc tượng. Chủ nhà muốn trang trí
bằng cách xếp ñặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ
thứ hai và 2 pho tượng khác nhau vào chỗ còn lại. Hỏi có bao nhiêu cách trang trí
phòng khách?
7)

Ta muốn mời 6 người ngồi vào một dãy 6 ghế . Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ
ngồi nếu:
a) Có 3 người trong bọn họ muốn ngồi kề nhau?
b) Có 2 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau?
c) Có 3 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau ñôi một?
8)

Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người
khách gồm 6 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a)


Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6
a) Có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 9 chữ số ñược lấy từ các số ñã cho sao cho
số 3 có mặt 3 lần, các số khác có mặt ñúng 1 lần.
b) Có thể lập ñược bao nhiêu số có 5 chữ số ñược lấy từ các số ñã cho sao cho
số 3 có mặt 1 lần, các số khác có mặt một vài lần.
12)

Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập ñược bao nhiêu số từ 4 số khác nhau ñược lấy
từ các số ñã cho. Sao cho:
a) Luôn có mặt chữ số 5.
b) Số ñó chia hết cho 3.
c) Không bắt ñầu từ chữ số 3.
13)

Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập ñược bao nhiêu số có 6 chữ số ñược lấy từ
các số ñã cho sao cho:
a) Số ñầu và số cuối giống nhau, các số giữa khác nhau.
b) 2 chữ số ñầu và 2 chữ số cuối giống nhau.
14)

Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7
a) Có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 10 chữ số sao cho số 0 có mặt 2 lần, số 3
có mặt 2 lần. Các số khác có mặt một lần.
b) Có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 6 chữ số sao cho số 2 có mặt 2 lần, các số
khác có mặt một vài lần.
15)

Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho các
số chẵn không ñứng liền nhau.
CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP
- Phương Xuân Trịnh
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
14

a) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 5000 ?
b) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn 7000 ?
21)

Một lớp học có 30 học sinh. Trong ñó có 12 nữ, cần thành lập một tổ công tác
gồm 8 người. Có bao nhiêu cách lập sao cho trong tổ có ñúng 2 nữ.
22)

Trong không gian cho một tập hợp gồm 9 ñiểm trong ñó không có 4 ñiểm nào
ñồng phẳng. Hỏi có thể lập ñược bao nhiêu hình tứ diện với ñỉnh thuộc tập hợp ñã
cho.
23)

Một bộ ñề thi có 15 câu hỏi. Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu (4 câu rút ra là “ ñề thi
” của thí sinh này).
a)

Có bao nhiêu ñề thi khác nhau? ( Hai ñề thi ñược coi là khác nhau nếu có ít
nhất một câu khác nhau. )
b)

Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh. Chứng tỏ rằng có ít nhất 3 thí sinh gặp cùng
một ñề thi.

a)

Có bao nhiêu kết quả khác nhau?
b)

Có bao nhiêu cách lấy ra ñược 2 viên bi xanh?, hai viên bi ñỏ? Hai viên bi
khác màu?
28)

Giáo viên hướng dẫn lao ñộng muốn chia 9 học sinh ra làm 3 nhóm gồm 4, 3, và
2 học sinh. Có bao nhiêu cách chia?

29)

Cho một ña giác lồi có n ñỉnh (
4
n
≥
).
a)

Tính số ñường chéo của ña giác này;
b)

Biết rằng ba ñường chéo không cùng ñi qua một ñỉnh thì không ñồng quy,
hãy tính số các giao ñiểm ( không phải là ñỉnh ) của các ñường chéo ấy.
30)

Một tổ trực gồm 8 nam sinh và 6 nữ sinh. Giáo viên trực muốn chọn một nhóm 5
học sinh. Có bao nhiêu cách chọn nếu nhóm này phải có ít nhất một nữ sinh?

≥ ∈
nội tiếp ñường tròn (O).
Biết rằng số tam giác có các ñỉnh là 3 trong 2n ñiểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
nhiều gấp 20 lần
số hình chữ nhật có các ñỉnh là 4 trong 2n ñiểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
, tìm n?.
34)

(ðH-B-2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm
5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi ñó có thể lập
ñược bao nhiêu ñề kiểm tra, mỗi ñề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi
ñề nhất thiết phải có ñủ 3 loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) và số câu hỏi dễ
không ít hơn 2?.
35)

(ðH-B-2005) Một ñội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và
3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ñội thanh niên tình nguyện ñó về giúp ñỡ
3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?.
36)

Chứng minh rằng:
(

1 1
1
.
k k k
n n n
C C C
+ +
+
+ =

b) Chứng minh rằng với 4
≤
k
≤
n thì:
1 2 3 4
4
4. 6. 4. .
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =

39)

Giải phương trình:
2 2
1

C A x A
+
− =41)

Giải bất phương trình:
a)
4 3 2
1 1 2
5
0.
4
x x x
C C A
− − −
− − <
b)
4
1
3
3
1
14. .
x
x
x
A
P

+ + + − +
+ + + + =44)

Cho m
≤
k
≤
n. Chứng minh:
0 1 1 2 2
.
k k k m k m k
m n m n m n m n m n
C C C C C C C C C
− − −
+
+ + + + =45)

Chứng minh rằng:
( ) ( )
0 1 2
1 1 0.
k n
k n
n n n n n

. .
n n n
n k n k n
C C C
+ −
≤

47)

a) Chứng minh:
(
)
(
)
2 3 2
2.1. 3.2. . 1 . . 1 .2 .
n n
n n n
C C n n C n n
−
+ + + − = −
CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP
- Phương Xuân Trịnh
Tổ Toán Trương THPT Lương Tài
16

b) Chứng minh:


Trong khai triển
17
34
3 2
1
.
x
x
 
+
 
 
Tìm số hạng không chứa x của khai triển.

50)

(ðH-D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
Newton của
7
3
4
1
x
x
 
+
 
 
với x > 0.

+ −
. Ta
ñược một ña thức:
2 2
0 1 2

x
P A A x A x
= + + +
. Tính
7
.
A53)

(ðH-A-2004) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển của biểu thức:
( )
8
2
1 1 .
x x
 
+ −
 


x
của khai triển ñó.
56)

(ðH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức
Newton của:
5
3
1
n
x
x
 
+
 
 
, biết rằng:
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
( n là số nguyên dương, x

=58)

(ðH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhị thức
Newton của:
7
4
1
n
x
x
 
+
 
 
, biết rằng:
1 2 3 20
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1.
n
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + + = −
( n là số

n n n n
C C C C61)

Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển:
( )
n
a b
+
, biết rằng tổng các hệ số
bằng 4096.

62)

(ðH-A-2008) Cho khai triển:
( )
0 1
1 2 .
n
n
n
x a a x a x
+ = + + +
Trong ñó
*
n N
∈
và

3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
−−
− − − −
− − − −
−
       
     
+ = + + + +
       
     
     
       
( n là số
nguyên dương ). Biết rằng trong khai triển ñó
3 1
5
n n
C C
=
và số hạng thứ tư bằng 20n,
tìm n và x.

+
− − −
+ + + +
+

66)

(ðH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho:
0 1 2
2 4 2 243.
n n
n n n n
C C C C
+ + + + =67)

(ðH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức:
( )
4 3
1
3
,
1 !
n n
A A
M
n
+