CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1) Quy tắc cộng:
Có n
1
cách chọn đối tượng A
1
.
n
2
cách chọn đối tượng A
2
.
A
1
∩ A
2
= ∅
⇒ Có n
1
+ n
2
cách chọn một trong các đối tượng A
1
, A
2
.
2) Quy tắc nhân:
Có n
1

n!
A
(n k)!
=
−
5) Tổ hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n
phần tử.
− Số các tổ hợp:
k
n
n!
C
k!(n k)!
=
−
− Hai tính chất
k n k
n n
C C
−
=

k 1 k k
n 1 n 1 n
C C C
−
− −
+ =
6) Nhị thức Newton

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho
a) Các chứ số đều khác nhau.
b) Chữ số đầu tiên là 3.
c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4.
Giải
Tổ Toán Trương THPT HTK
1
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI
a) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập tương ứng với một chỉnh hợp chập 5
của 7 phần tử ⇒ Có
5
7
A
= 2520 số
b) Gọi số cần thiết lập là
abcde
Chữ số đàu tiên là 3 ⇒ a có 1 cách chọn
b, c, d, e đều có 7 cách chọn
⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 số.
c) Gọi số cần thiết lập là
abcde
Chữ số cuối cùng khác 4 ⇒ e có 6 cách chọn (trừ số 4)
a có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn
⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 số.
Ví dụ 2.(ĐH An ninh 97)
Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau
Giải

Tổ Toán Trương THPT HTK
2
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI
Cách 2:
− Số cần tìm có 1 trong bốn dạng
5bcd,a5bc,ab5d,abc5
− Mỗi dạng có 120 số ⇒ có 480 số
Ví dụ 4:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3.
Giải
Xét các trường hợp
+ Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0
⇒ Chỉ có 1 số 3000…000 (2007 chữ số 0)
+ Trường hợp 2: Số tạo thành gồm 1 chữ số 1, 1 chữ số 2 và 2006 chữ số 0
Chọn chữ số đầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc 2
Chữ số còn lại có 2007 vị trí để đặt, còn các vị trí khác đặt số 0
⇒ Có 2.2007 = 4014 số
+ Trường hợp 3: Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2005 chữ số 0
Chọn chữ số đầu tiên là 1
Chọn 2 trong 2007 vị trí để đặt chữ số 1 ⇒ có
2
2007
C
= 2007.1003 = 2013021
Vậy có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 số
Ví dụ 5(ĐHQG TPHCM 2001)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số ba có
mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
Giải
+ Coi một dãy gồm 7 chữ số tương ứng với một số gồm 7 chữ số (Kể cả bắt đầu bằng 0). Khi

2
6
C
.
3
4
C
.
1
7
A
= 420 số
Vậy có 11 760 − 420 = 11 340 số.

1.2 Đếm số phương án.
Ví dụ 6: (ĐH Thái nguyên 99)
Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh. Hỏi có bao nhiêu
cách:
a) Chọn 3 học sinh bất kì.
b) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và một nữ.
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.
Tổ Toán Trương THPT HTK
3
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI
Giải
a) Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập3 của 40 ⇒ Số cách chọn là:
3
40
C 9880=
cách.

17
C
Số bộ ba điểm thẳng hàng trên b là:
3
20
C
Vậy số tam giác tạo thành là:
3
37
C
−
3
17
C
−
3
20
C
= 11 340 tam giác
Cách 2:
Mỗi tam giác được tạo thành bởi một điểm trên đường thẳng này và hai điểm trên đường
thẳng kia. Xét 2 trường hợp
+ TH1: Tam giác tạo thành bởi 1 điểm trên a và 2 điểm trên b: có
2
20
17.C
+ TH2: Tam giác tạo thành bởi 2 điểm trên a và 1 điểm trên b: có
2
17
20.C

C C 2C
14 14 14
+ +
+ =
Giải
ĐK
k N
k 12
∈


≤

Phương trình tương đương với

14! 14! 2.14!
k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)!
+ =
− + − + −
⇔
1 1 2
(14 k)(13 k) (k 2)(k 1) (k 1)(13 k)
+ =
− − + + + −
⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 − k)(13 − k) = (k + 2)(14 − k)
⇔ k
2
− 12k + 32 = 0
⇔ k = 4, k = 8 (Thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = 8

+
⇔
.
n 3 4
14.P C A
3 n 1 n 1
>
−
− +
⇔
( )
( )
( ) ( ) ( )
n 1 !
14.3! n 1 .n. n 1 . n 2
n 3 !2!
−
> + − −
−
⇔
2
n n 42 0+ − <
⇔
( ) ( )
n 6 . n 7 0− + <
⇔ −7 < n < 6
Kết hợp với Đk n≥ 3 được tập nghiệm của bất phương trình là: {3, 4, 5}.

Ví dụ 3: (ĐHBK HN2001)
Tổ Toán Trương THPT HTK

5. 2.v 80


−

+ =
=
⇔
u 20
v 10



=
=
Thay vào ta có
y
A 20
x
y
C 10
x





=
=
⇔

⇔
y 2
x!
(x 2)!
20
=




−

=

⇔
x(x 1) 20
y 2
− =


=

⇔
x 5,x 4
y 2
= = −


=


 
= =
 
 
.
Số hạng không chứa x tương ứng với 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6.
Đáp số:số hạng không chứa x phải tìm là:
12.11.10.9.8.7
6 0
C .x 924
12
1.2.3.4.5.6
= =
Ví dụ 2:(ĐH và CĐ, khối A, 2003).
Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
1
5
x
3
x
 
 
 
 
+
,

Số hạng tổng quát
12 k
5k
k
36 3k
1
k 5 k
2
T C . x C .x
12 12
k 1
3
x
 
 
 
 
 
 
 
−
− +
= =
+
.
Số hạng chứa x
8
tương ứng với
5k
36 3k 8

( )
k k
2x .
k
k k
T C . C .2 x
12 12
k 1
= =
+
.
Xét hai hệ số liên tiếp
k
k
a C .2
12
k
=
và
k 1 k 1
a C .2
12
k 1
+ +
=
+
. Giả sử a
k
< a
k + 1

> … > a
12
.
Vậy hệ số lớn nhất là:
8
8 8
a C 2 126720
12
= =
4) Tính tổng hoặc chứng minh đẳng thức.
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng ∀ n, k ∈ N
*
và n ≥ k ≥ 1 thì:
k k 1
n n 1
kC nC
−
−
=
Giải
Thật vậy ∀ n, k ∈ N
*
và n ≥ k ≥ 1 ta có:
k
n
n! n(n 1)!
kC k
k!(n k)! (k 1)!(n k)!
−
= =

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
S C C C C C C 2S C C C C C= + + + + + → = + + + +
(1)
Áp dụng khai triển Niu tơn
( )
n
n
k k
n
k 0
x 1 C .x
=
+ =
∑
với x = 1, n = 11 được

( )
11
11
k 0 1 2 10 11
11 11 11 11 11 11
k 0
1 1 C C C C C C
=
+ = = + + + + +
∑
(2)
Từ (1), (2) suy ra
11 10
2S 2 S 2 1024.= → = =

n
n 1
( 1) n.C ( 1) .C
n
n 1
− − −
=
= −
=
−
−
−
− −
−
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được
0 1 2 3 n 1 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
n 1
n(C C C C ,,, ( 1) C )
n(1 1) 0
1 2 3 4 n 1 n
S C 2.C 3.C 4.C ( 1) .n.C
n n n n n
− −
− − − − −
−
= − + − + + −
= − =
−
= − + − + + −

Cách 1( Sử dụng kết quả ví dụ 1)
Âp dụng kết quả ví dụ 1 ta có:
k k 1
n n 1
kC nC
−
−
=
⇔
k 1 k
n 1 n
(k 1)C (n 1)C
+
+
+ = +
⇔
k k 1
n n 1
1 1
C C
k 1 n 1
+
+
=
+ +
Thay k = 0, 1, 2 … , n ta có
0 1
n n 1
1 2
n n 1

9
CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP BÙI QUÝ MƯỜI
0 1 2 3 n
n n n n n
1 2 3 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1
n 1
1 1 1
n 1
1
(C C C C )
n 1
1
(2 1)
n 1
1
S .C .C C C C
1 2 3 4
+
+ + + +
+
+
= + + + +
+
= −
+
⇒ = + + + + +
Vậy
n 1
1

+ −
+ == =
+ +
∫
n 1
2 1
n 1
+
−
⇒ =
+
0
0 2 1 3 2 4 3 n 1 n 1
n n n n n
1 1 1
x
n 1
1
.C .x C x C x C x C
1 2 3 4
+
 
 
+
 
+ + + + +0 1 2 3 n
n n n n n

=+ + + + + +
Giải
Xét khai triển

6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6
6 6 6 6 6 6 6
(2 x) 2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C+ = + + + + + +
1 1
6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6
6 6 6 6 6 6 6
0 0
(2 x) dx (2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C )dx⇒ + = + + + + + +
∫ ∫
7
2 3 4 5 6 7
6 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 6
6 6 6 6 6 6 6
1
1
(2 x)
0
7
1
x x x x x x
(2 C x 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C C )
0
2 3 4 5 6 7
⇔ + =
+ + + + + +
⇔

BÀI TÂP T Ự L ƯY ỆN :
1) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào một hàng 8 ghế
nếu:
a) họ ngồi chỗ nào cũng được?
b) họ ngồi kề nhau?
c) 3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất một ghế
trống?
2) Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách
a) vào 5 ghế xếp thành một dãy.
b) vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này.
3) Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi
chỗ đứng lẫn nhau. Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất 1 phút, hỏi cần bao lâu để
có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau?
4) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng ba chữ số
này bằng 8?
5) Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi
nếu:
a) họ ngồi chỗ nào cũng được.
b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau.
c) chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau.
6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau biết rằng tổng ba chữ số này bằng
12?
Một phòng khách có 3 chỗ có thể đặt tranh, ảnh hoặc tượng. Chủ nhà muốn trang trí bằng
cách xếp đặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2
pho tượng khác nhau vào chỗ còn lại. Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phòng khách?
7) Ta muốn mời 6 người ngồi vào một dãy 6 ghế . Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) Có 3 người trong bọn họ muốn ngồi kề nhau?
b) Có 2 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau?
c) Có 3 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau đôi một?
8) Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách

a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số sao cho số 0 có mặt 2 lần, số 3 có mặt
2 lần. Các số khác có mặt một lần.
b) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số sao cho số 2 có mặt 2 lần, các số khác
có mặt một vài lần.
15) Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho các số chẵn
không đứng liền nhau.
16) Một nhóm người thành lập một công ty. Họ muốn chọn một ban điều hành gồm một
giám đốc,một phó giám đốc và một thủ qũy. Có 10 người hội đủ điều kiện để được
chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban điều hành?
17) Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11m. Có bao
nhiêu cách chọn nếu:
a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? ( Kể cả thủ môn)
b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu
thủ B đá quả số 4?
18) Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang
trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
19) Với năm số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó số 1 có mặt
hai lần các số còn lại mỗi số có mặt đúng một lần?
20) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau biết rằng:
a) các số này chia hết cho 5?
b) trong các số này phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ?
32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập những số gồm bốn chữ số khác nhau.
a) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 5000 ?
b) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn 7000 ?
21) Một lớp học có 30 học sinh. Trong đó có 12 nữ, cần thành lập một tổ công tác gồm 8
người. Có bao nhiêu cách lập sao cho trong tổ có đúng 2 nữ.
22) Trong không gian cho một tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng

a) Tính số đường chéo của đa giác này;
b) Biết rằng ba đường chéo không cùng đi qua một đỉnh thì không đồng quy, hãy tính
số các giao điểm ( không phải là đỉnh ) của các đường chéo ấy.
30) Một tổ trực gồm 8 nam sinh và 6 nữ sinh. Giáo viên trực muốn chọn một nhóm 5 học
sinh. Có bao nhiêu cách chọn nếu nhóm này phải có ít nhất một nữ sinh?
31) Giám đốc một công ty muốn chọn một nhóm 5 người vào hội đồng tư vấn. Trong công
ty có 12 người hội đủ điều kiện để được chọn, trong đó có hai cặp vợ chồng. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn nếu:
a) Hội đồng này có đúng một cặp vợ chồng?
b) Hội đồng này không thể gồm cả vợ lẫn chồng ( nếu có )?
32) Tính số đường chéo của một đa giác lồi có n cạnh. Tìm đa giác có số cạnh bằng số
đường chéo.
33) (ĐH-B-2002) Cho đa giác đều
1 2 2
( 2, )
n
A A A n n Z≥ ∈
nội tiếp đường tròn (O). Biết
rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
nhiều gấp 20 lần số hình chữ
nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
, tìm n?.

+
+ + + = ≤ ≤
38) a) Chứng minh :
1 1
1
.
k k k
n n n
C C C
+ +
+
+ =
b) Chứng minh rằng với 4
≤
k
≤
n thì:
1 2 3 4
4
4. 6. 4. .
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =
39) Giải phương trình:
2 2
1
3. 2. .

5
0.
4
x x x
C C A
− − −
− − <
b)
4
1
3
3
1
14. .
x
x
x
A
P
C
+
−
−
>
42) Giải bất phương trình:
2 1
1 1
2000.
x x
x x

1 1 0.
k n
k n
n n n n n
C C C C C− + − + − + + − =
46) a) Chứng minh:
1
0 1 2
2 2
. . .
1
n
n
n
n n n n
C C C C
n
−
 
−
≤
 
−
 
b. Chứng minh:
( )
2
2 2 2
. .
n n n

+
 
 
có số hạng thứ 4 bằng 200.
49) Trong khai triển
17
3
4
3 2
1
.x
x
 
+
 
 
Tìm số hạng không chứa x của khai triển.
50) (ĐH-D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
của
7
3
4
1
x
x
 
+
 
 
với x > 0.

7
.A
53) (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển của biểu thức:
( )
8
2
1 1 .x x
 
+ −
 
54) Tìm hệ số của
3
x
trong khai triển của biểu thức:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4 5
1 1 1 1 .
x
P x x x x= + + + + + + +
55) Trong khai triển:
7
3
2
1
x
x

+
+ +
− = +
( n là số nguyên dương, x > 0 ).
57) (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dương, gọi
3 3n
a
−
là hệ số của
3 3n
x
−
trong khai triển
thành đa thức của
( )
( )
2
1 2 .
n
n
x x+ +
Tìm n để
3 3
26 .
n
a n
−
=
58) (ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa
26

 
+
 
 
 
. Tìm số hạng có số mũ của a và b như nhau.
60) Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị:
0 1 2
, , , , .
n
n n n n
C C C C
61) Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển:
( )
n
a b+
, biết rằng tổng các hệ số bằng 4096.
62) (ĐH-A-2008) Cho khai triển:
( )
0 1
1 2 .
n
n
n
x a a x a x+ = + + +
Trong đó
*
n N∈
và các hệ
số

x x x x
n n
n n n n
C C C C
−
−
− − − −
− − − −
−
       
     
+ = + + + +
       
     
            
( n là số
nguyên dương ). Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C=
và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n
và x.
64) (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:
( )
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2005.
n n
n n n n n

4 3
1
3
,
1 !
n n
A A
M
n
+
+
=
+
biết rằng:
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
( n là số nguyên dương ).

Tổ Toán Trương THPT HTK
17