Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
Phần 1. BÀI TOÁN ĐẾM
1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và
không chứa 2.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123.
2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn
sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn
sách cùng môn được xếp kề nhau?
3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người
ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường
B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp
sau:
1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác
trường với nhau.
2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5
chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong
mỗi trường hợp sau:
1. n là số chẵn.
2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta
chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số
bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?

12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn
sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra
6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn
sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong
ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?
13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)
Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được
chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau
nếu:
1) phải có ít nhất là 2 nữ.
2) chọn tuỳ ý.
14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
2
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập
được:
1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau
từng đôi một.
2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác
nhau từng đôi một.
3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác
nhau từng đôi một.
15. (ĐH Y HN 2000)
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập
một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán
học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?

Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4,
5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác
có mặt 1 lần.
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số
của mỗi số là một số chẵn.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó
chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người
làm nhiệm vụ ở đòa điểm A, 2 người ở đòa điểm B, còn 4 người
thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
26. (ĐH GTVT 2000)
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao
nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghò Hội sinh viên của trường sao
cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.
27. (HV Quân y 2000)
Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau
vào một dãy 7 ô trống. Hỏi:
1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh
nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?
29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0.

38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao
nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho
ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.
39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số
5.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số
chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
5
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6
chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có
bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học
sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách
xếp mới).
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có
9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vò trí chính giữa?
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong
đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt
đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt

51. (ĐH khối A 2003 dự bò 2)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
52. (ĐH khối B 2003 dự bò 1)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi
số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn
tổng của 3 chữ số cuối một đơn vò.
53. (ĐH khối B 2003 dự bò 2)
Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em
trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
như vậy?
54. (ĐH khối D 2003 dự bò 1)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
55. (CĐ Sư phạm khối A 2002)
1. Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt.
b) 6 đường tròn phân biệt.
2. Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp
các đường nói trên.
56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bò)
Cho đa giác lồi n cạnh. Xác đònh n để đa giác có số đường chéo gấp
đôi số cạnh.
57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ
số khác nhau và nhỏ hơn 245.
58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)
Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm
4 chữ số khác nhau.

Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh
khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và
đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.
66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặt
đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân
biệt?
67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng
của tất cả các số đó.
68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
8
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
Cho 2 đường thẳng d
1
, d
2
song song với nhau. Trên đường thẳng d
1
cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d
2
cho 8 điểm phân biệt.
Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác
lấy từ 18 điểm đã cho.
BÀI GIẢI
1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
1.
{ }
{ }
⊂

5 4 3 2 1
a a a a a
gồm 5 chữ số khác nhau a
1
,
a
2
, a
3
, a
4
, a
5
∈ A, có nghóa là:
Lấy a
1
từ {2, 4, 6, 8} → có 4 cách
Lấy a
2
, a
3
, a
4
, a
5
từ 7 số còn lại của A → có
4
7
A
= 7.6.5.4 = 840 cách

Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách.
3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
1. Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
A B A B A B B A B A B A
B A B A B A A B A B A B
Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các
em vào 6 chỗ.
Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.
Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách
2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để
ngồi.
Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất
trường A: có 6 cách chọn học sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh
trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn,
v.v…
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 2
6
.6!.6! = 33177600 cách.
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
1. Xem các số chắn hình thức
abcde
(kể cả a = 0), có 4 cách chọn e
∈ {0,2,4,6}, vì là số chẵn.
Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là:
4
7
A
= 840
Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức.

* Xem các số hình thức
0bcde
. Có 2 cách chọn vò trí cho 1. Chọn chữ
số khác nhau cho 3 vò trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là
3
6
A
.
Như thế: có 2.
3
6
A
= 240 số hình thức dạng
0bcde
.
Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số.
5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
10
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là:
4
15
C
= 1365.
Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có
2 1 1
4 5 6
C C C
= 180

b có 4 cách chọn (trừ a và f)
c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)
d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)
e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f)
Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số
2. Vì số tạo thành là số chẵn nên f ∈ {0, 2, 4}.
* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vò của (1,2,3,4,5). Do đó có 5! số
* Khi f ∈ {2, 4} thì:
f có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
d có 2 cách chọn
e có 1 cách chọn
11
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số.
Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn.
8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999)
1. Gọi 11111 là số a. Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5. Do đó số có
9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số.
2. Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp
các số 2, 3, 4, 5 vào 4 vò trí tuỳ ý trong 9 vò trí (5 vò trí còn lại đương
nhiên dành cho chữ số 1 lặp 5 lần).
Vậy: có tất cả
=
4
9
9!
A

* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:
Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0)
Có
3
4
A
khả năng chọn 3 chữ số cuối.
⇒ Có 4.
3
4
A
= 4.4! = 96 số.
* Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:
Nếu chữ số tận cùng là 0: có
3
4
A
= 24 số
Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn,
có
2
3
A
= 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối. Vậy có 3.6 = 18 số
Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
12
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết
cho 5.
12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)

* 2 nữ, 4 nam → có
2 4
15 30
C .C
cách
hoặc * 3 nữ, 3 nam → có
3 3
15 30
C .C
cách
hoặc * 4 nữ, 2 nam → có
4 2
15 30
C .C
cách
hoặc * 5 nữ, 1 nam → có
5 1
15 30
C .C
cách
hoặc * 6 nữ → có
6
15
C
cách
Vậy: có
2 4
15 30
C .C
+

ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c.
⇒ Có 5.4.3 = 60 số
* Với số
abc2
hoặc
abc4
ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3
cách chọn c.
⇒ Có 4.4.3 = 48 số
abc2
và 48 số
abc4
Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn.
2. Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng
ab0
hoặc
ab5
.
* Với số
ab0
ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b.
⇒ Có 5.4 = 20 số
* Với số
ab5
ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b.
13
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
⇒ Có 4.4 = 16 số
Vậy có: 20 + 16 số cần tìm.
3. Gọi

1. Xếp chữ số 2 vào một trong năm vò trí: có 5 cách xếp
Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vò trí còn lại: có
4
5
A
= 120 cách.
Vậy có 5.120 = 600 số.
2. Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vò trí: có
2
5
A
cách.
Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vò trí còn lại: có
3
4
A
= 24 cách.
Vậy có
2
5
A
.
3
4
A
= 480 số.
17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)
1. Chọn 2 nam và 3 nữ: có
2 3
10 10

1 2 3 4
a a a a
. Có hai khả năng:
1. Nếu a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
là số chẵn thì có thể lấy a
5
∈ {1, 3, 5, 7, 9} và
lập được 5 số có 5 chữ số
1 2 3 4 5
a a a a a
với tổng các chữ số là một số
lẻ.
2. . Nếu a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
là số lẻ thì có thể lấy a
5
∈ {0, 2, 4, 6, 8} và

3 3
9 5
C .C
cách
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng → có
2 2 2
9 5 4
C .C .C
cách
* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng → có
1 1 4
9 5 4
C .C .C
cách
Vậy có tất cả:
3 3
9 5
C .C
+
2 2 2
9 5 4
C .C .C
+
1 1 4
9 5 4
C .C .C
= 3045 cách.
21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)
Có 2 khả năng:
1. Các thẻ trắng ở vò trí lẻ, các thẻ đen ở vò trí chẵn → có 5!5! cách

5
số.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nào
nên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …,
8, 9} = T. Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1
cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước.
Vậy số các số cần tìm là:
=
5
9
9!
C
5!4!
= 126.
25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Có tất cả:
= =
3 2 4 2 2 4
9 6 9 5 9 7
C .C C .C C .C
= 1260 cách
26. (ĐH GTVT 2000)
Có 2 khả năng:
* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có
1 2
2 18
C .C
* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có
2 1

4
C
= 840 cách.
2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh
đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp.
Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vò các viên bi đỏ
với nhau. Số các hoán vò là 3!
Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và
các viên bi xanh đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách.
16
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:
100008, 100017, 100035, …, 999999
Các số lẻ có 6 chữ số, chia hết cho 9, lập thành một cấp số cộng:
u
1
= 100017, 100035, …, u
n
= 999999
với công sai d = 18. Do đó:
u
n
= u
1
+ (n – 1)d ⇔ 999999 = 100017 + (n – 1).18 ⇔ n = 50000
Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9.
29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000:
x =

= 40320 số
2. a
1
chẵn:
* a
1
có 2 cách chọn
* a
6
có 5 cách chọn
*
2 3 4 5
a a a a
có
4
8
A
cách chọn
Vậy khả năng thứ hai có: 2.5.
4
8
A
= 16800 số
Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm.
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0,
1, 2, 3, 4, 5 là: 5.
3
5
A

Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau:
18
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
19
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
Thế thì:
* Có 6 cách chọn vò trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)
* Sau khi đã chọn vò trí cho số chữ 0 ta còn
3
6
C
= 20 cách chọn vò trí
cho 3 chữ số 4.
* Sau khi đã chọn vò trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cách
chọn cho 3 chữ số còn lại.
Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số.
33. (ĐH Cần Thơ 2001)
Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vò trí mà thôi thì số cách
để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!.
Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách.
Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách.
34. (HV Chính trò quốc gia 2001)
1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi
nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong
đó có 3 nữ và 2 nam ⇒ số cách chia là:
3 2
6 4
C .C
= 120
2. * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là:

. Vì số 4 phải có
đúng một trong 5 vò trí còn lại là a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
. Khi đó các vò trí khác
(không có chữ số 4) sẽ chỉ còn
4
6
A
số khác nhau. Vậy trường hợp
này có 6.5.
4
6
A
= 10800 số.
Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số.
36. (ĐH Huế khối ABV 2001)
• Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số
• Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:
+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên
a000
với a ∈
{1,2,3, ,9} ⇒ có 9 số

7
C
= 21
* Số cách chọn 5 em toàn nữ là:
5
6
C
= 6
Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260
38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi. Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ
nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh
trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá. Các học
sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai.
• Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
* Có
2
5
C
= 10 cách chọn 2 học sinh khá.
* Có
5
8
C
= 56 cách chọn 5 học sinh trung bình.
⇒ Có: 3.10.56 = 1680 cách.
• Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
* Có

5
A
⇒ Số các số thu được là: 5.
4
5
A
= 600 số.
Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục,
8 cách chọn chữ số hàng đơn vò. Vậy có 9.9.8 = 648 số.
2. • Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0. Bốn chữ số đứng đầu
được chọn tuỳ ý trong 7 chữ số còn lại nên số các số tạo thành là:
4
7
A
= 840
• Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0.
* Chữ số tận cùng có 3 cách chọn (từ 2, 4, 6)
* Chữ số đứng đầu có 6 cách chọn
* 3 chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại.
⇒ Số các số tạo thành: 3.6.
3
6
A
= 2160
Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số.
41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720
Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120

A
cách.
Vậy tất cả có: 5.
5
8
A
= 33600 cách.
2. Số được xét có dạng:
1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a
.
Chọn 2 vò trí để xếp hai chữ số 2: có
2
7
C
cách.
Chọn 3 vò trí để xếp ba chữ số 3: có
3
5
C
cách.
Còn 2 vò trí, chọn 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vò trí này: có 2!
2
8
C
cách.
Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì có:

2
7

.
3
4
C
.7 = 420 số.
Vậy tất cả có: 11760 – 420 = 11340 số.
45. (ĐHSP HN II 2001)
Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau
đôi một lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Xét x =
1 2 3 4 5
a a a a a
∈ X.
Nếu chọn a
5
= 1 thì
1 2 3 4
a a a a
ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5
phần tử 3, 4, 5, 7, 8 ⇒ có
4
5
A
số có chứ hàng đơn vò là 1.
23
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
Tương tự có
4
5
A

0 1 2 20
20 20 20 20
C C C C
⇒
+ + + +
0 2 4 20
20 20 20 20
C C C C
=
+ + +
1 3 19
20 20 20
C C C
⇒
+ + + +
0 1 2 20
20 20 20 20
C C C C
= 2
( )
+ + + +
0 2 4 20
20 20 20 20
C C C C
⇒ T =
+ + +
2 4 20
20 20 20
C C C
=

với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6}
* Nếu a ≥ 4 thì x > 345.
* Nếu a = 1 hoặc 2 thì với mọi chỉnh hợp chập 2 (b,c) của E \ {a} ta
đều có x =
abc
< 345. Loại này có: 2.
2
5
A
= 40 số.
* Nếu a = 3 thì x =
3bc
< 345 ⇔
{ }

= ∈

= =

b 1hoặc 2; c E \ a,b
b 4; c 1hoặc 2
Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số.
Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số.
48. (ĐH Văn Lang 2001)
1. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh
nam thì có 2 trường hợp:
24
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
* 2 nam và 3 nữ: có
2 3

* 4 nam và 1 nữ: có
4 1
10 10
C .C
cách.
Vậy tất cả có: 2.
1 4
10 10
C .C
+ 2.
2 3
10 10
C .C
= 15000 cách.
49. (ĐH Y HN 2001)
Ta xét các trường hợp sau:
1. Chữ số hàng đơn vò là 2, 4, 6 ⇒ có 3 cách chọn chữ số hàng đơn
vò.
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vò, ta
còn 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng
đơn vò và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục.
⇒ Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số.
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vò, ta
còn 6 cách chọn chữ số hàng chục.
⇒ Số các số thu được là: 3.6 = 18 số.
2. Chữ số hàng đơn vò là 8:
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm.
Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng
chục.
⇒ Số các số thu được là: 6.7 = 42 số.