TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số
a biển đổi biểu thức nguyên
I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
1. (a b)
2
= a
2
2ab + b
2
;
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca ;
2
1 2 n
(a a a )+ + + =
=

+ + + + + + + + + + + +
2 2 2
1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n
a a a 2(a a a a a a a a a a a a )
;
2. (a b)

2
b
2
= (a b)(a + b) ;
a
3
b
3
= (a b)(a
2
+ ab + b
2
) ;
a
n
b
n
= (a b)(a
n 1
+ a
n 2
b + a
n 3
b
2
+ + ab
n 2
+ b
n 1
) ;

= (a + b)(a
2k
a
2k 1
b + a
2k 2
b
2
+ a
2
b
2k 2
ab
2k 1
+ b
2k
) ;
II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)
n
Tam giác Pascal
Đỉnh 1
Dòng 1 (n = 1) 1 1
Dòng 2 (n = 2) 1 2 1
Dòng 3 (n = 3) 1 3 3 1
Dòng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1
Dòng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ dòng
k (k 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở
dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x + y)
n

b
3
+ 10ab
4
+ b
5
II. Các ví dụ
Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau :
A = (x + y + z)
3
(x + y z)
3
(y + z x)
3
(z + x y)
3
.
Lời giải
A = [(x + y) + z]
3
[(x + y) z]
3
[z (x y)]
3
[z + (x y)]
3
= [(x + y)
3
+ 3(x + y)
2

3
]
= 6(x + y)
2
z 6z(x y)
2
= 24xyz
Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a
2
4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x
2
+ y
2
; b) x
3
+ y
3
; c) x
4
+ y
4
; d) x
5
+ y
5
Lời giải
Trang 1
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
a) x

2
= (a
2
2b)
2
2b
2
= a
4
4a
2
b + 2b
2
d) (x
2
+ y
2
)(x
3
+ y
3
) = x
5
+ x
2
y
3
+ x
3
y

b + 5ab
2
Chú ý : a
6
+ b
6
= (a
2
)
3
+ (b
2
)
3
= (a
3
)
2
+ (b
3
)
2
a
7
+ b
7
= (a
3
+ b
3

3
+ c
3
3abc = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca) ;
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lời giải
a) a
3
+ b
3
+ c
3
3abc = (a + b)
3
+ c
3

3
a
3
] (b
3
+ c
3
)
= (b + c)[(a + b + c)
2
+ (a + b + c)a + a
2
] (b + c)(b
2
bc + c
2
)
= (b + c)(3a
2
+ 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Ví dụ 4. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x
3
3(a
2
+ b
2
)x + 2(a
3

=
2 2 2
(x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + -
=
2 2
(x S)(x Sx 2S 6P)- + - +
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a + b)
2
+ 6ab]
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a
2

Ví dụ 5. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)
Lời giải

+ y
2
+ z
2
)
= x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(y
2
+ z
2
) + y
3
(z
2
+ x
2
) + z
3
(x
2
+ y
2
)

+ y
5
+ z
5
+ x
3
(x
2
2yz) + y
3
(y
2
2zx) + z
3
(z
3

2xy)
= 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) 2xyz(x
2
+ y
2
+ z
2

c) (x
2
x + 2)
2
+ (x 2)
2
;
d) 6x
5
+ 15x
4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x + 1 ;
e) x
6
+ 3x
5
+ 4x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1.
2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
8

4. Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tính giá trị của biểu thức : A = a
4
+ b
4
+ c
4
.
5. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x 1)
2007
+ y
2008
+ (z + 1)
2009
.
6. Cho a
2
b
2
= 4c
2
. Chứng minh rằng : (5a 3b + 8c)(5a 3b 8c) = (3a
5b)
2

b) Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2
và x, y, z khác
0 thì
a b c
x y z
= =
.
9. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
a) 5(x
3
+ y
3
+ z
3
)(x
2
+ y

7
+ y
7
+ z
7
) = 7(x
2
+ y
2
+ z
2
)(x
5
+ y
5
+ z
5
).
10.Chứng minh các hằng đằng thức sau :
a) (a + b + c)
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b)
2
+ (b + c)

Chứng minh rằng : a
4
+ b
4
+ (a + b)
4
= c
4
+ d
4
+ (c + d)
4
12. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a
2
+ b
9
+ c
1945

+ b
2
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x
3
+ y
3
; b) x
4
+ y
4
; c) x
5
+ y
5
; d) x
6
+ y
6
;
e) x
7
+ y
7
; f) x
8
+ y
8
; g) x
2008

+
+
là phân số tối giản.
b) Ta có
29
A n 5
n 5
= - +
+
. Để A cha tối giản thì phân số
29
n 5+
phải cha tối giản.
Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 29 n + 5 = 29k (k N) hay n = 29k
5.
Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k 5 < 2009 1 k 69 hay k{1; 2;;
69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là :
29(1 + 2 + + 69) 5.69 = 69690.
Ví dụ 6. Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c

a b 0
b c 0
c a 0
ộ
+ =
ờ
ờ
+ =
ờ
ờ
+ =
ở

a b
b c
c a
ộ
=-
ờ
ờ
=-
ờ
ờ
=-
ở
đpcm.
Từ đó suy ra :
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1 1 1 1
a b c a ( c) c a

ố ứ ố ứ ố ứ
+ + +
.
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a
2
+ b
2
= (a + b)
2
2ab =
2
S 2P-
a
3
+ b
3
= (a + b)
3
3ab(a + b) =
3
S 3SP-
.
Do đó :
1 1 a b S
;
a b ab P
+
+ = =


+ + = =
Hay A =
3 3 3
1 1
.
P a b
=
Ví dụ 8. Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau
không phụ thuộc vào giá trị của x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - - - - -
= + +
- - - - - -
.
Lời giải
Cách 1

2 2 2
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +
= + +
- - - - - -
= Ax
2
Bx +
C

TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B
(a b)(b c)(c a)
+ - + + - + + -
=
- - -
2 2 2 2 2 2
b a c a a c
0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;

ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)
C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - + -
= =
- - - - - -

(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)
1
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - - -
= = =
- - - - - -

4
1
C x
x
= +
; d)
5
5
1
D x
x
= +
.
Lời giải
a)
2
2
2
1 1
A x x 2 9 2 7
x x
ổ ử
ữ
ỗ
= + = + - = - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
;
d)
2 3 5
2 3 5
1 1 1 1
A.B x x x x D 3
x x x x
ổ ửổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + + = + + + = +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
D = 7.18 3 = 123.
Ví dụ 10. Xác định các số a, b, c sao cho :
2 2
2 ax b c
(x 1)(x 1) x 1 x 1
+
= +
+ - + -
.
Lời giải

ù ù
ù ù
ợ ợ
. Vậy
2 2
2 x 1 1
(x 1)(x 1) x 1 x 1
- -
= +
+ - + -
.
Bài tập
16. Cho phân thức
3 2
3 2
n 2n 1
P
n 2n 2n 1
+ -
=
+ + +
.
a) Rút gọn P ;
b) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức tìm đợc trong câu
a) tại n luôn là một phân số tối giản.
17. a) Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n :
12n 1
;
30n 2
+

+
là phân số cha tối giản.
18. Tính các tổng sau :
a)
2 2 2
3 5 2n 1
A
(1.2) (2.3) [n(n 1)]
+
= + + +
+
;
b)
n
2 4
2
1 1 1 1
B 1
2 1 2 1 2 1
2 1
= + + + + +
+ + +
+
;
c)
1 1 1 1
C
1.4 4.7 7.10 (3n 1)(3n 4)
= + + +
+ +

=
+ + - + +
.
Trang 7
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
20. Rút gọn :
3 3 4 2 2 4
3 3 4 2 2 4
(a 2b) (a 2b) 3a 7a b 3b
B :
(2a b) (2a b) 4a 7a b 3b
+ - - + +
=
+ - - + +
.
21.Thực hiện các phép tính :
a)
2 2 2
x yz y zx z xy
y z z x x y
1 1 1
x y z
- - -
+ +
+ + +
+ + +
;
b)
2 2 2
a(a b) a(a c) b(b c) b(b a) c(c a) c(c b)

+ -
;
b) Biết 2a b = 7, hãy tính giá trị của biểu thức :
5a b 3b 3a
Q
3a 7 2b 7
- -
= -
+ -
;
c) Biết 10a
2
3b
2
+ 5ab = 0 và 9a
2
b
2
0, hãy tính :
2a b 5b a
R
3a b 3a b
- -
= +
- +
.
23. Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1

a b c
1
b c c a a b
+ + =
+ + +
. Chứng minh rằng
2 2 2
a b c
0
b c c a a b
+ + =
+ + +
.
26. Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và
a b c
0
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng
ax
2
+ by
2
+ cz
2
= 0.
Trang 8
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
27. Cho x
2

4 2
x
N
x x 1
=
- +
.
29. Cho dãy số a
1
, a
2
, a
3
, sao cho :
1
2
1
a 1
a
a 1
-
=
+
;
2
3
2
a 1
a
a 1

2 2
2 2
, 5 6 d, 13 36
, 3 8 4 e, 3 18
, 8 7 f, 5 24
,3 16 5 h, 8 30 7
, 2 5 12 k, 6 7 20
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
+ +
+ +
+ +
+ + +

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai
bình phơng: A
2
B
2
= (A B)(A + B)
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Trang 9
3 2 3
3 2 3
3 2 3 2

3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 4 3 2
12 17 2
17, 4 18, 3 3 2
19, 9 26 24 20, 2 3 3 1
21, 3 14 4 3 22, 2 1 x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
+
+ + + + +
+ + + +
+ + + + + +
( )
2
2 2 2 2
4 4
4 4
4 4 4
4 4 4 2
1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64
5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10,
x x x x

tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức
Trang 10
7 2 7 5
5 4 5
8 7 5 4
5 10 5
1, 1 2, 1
3, 1 4, 1
5, 1 6, 1
7, 1 8, 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + + +
+ +
+ + +
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xy y x y x a x a x a x a a
x x
+ + + + + + + +

+ + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x
+ + =
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y
= 1, z = 0
ta đợc k = -1
Vậy P =- (x y)(y z)(z x) = (x y)(y z)(x - z)
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b= + + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= + +
, với 2m = a+ b + c.
B i 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3 3
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 3 3
2 2
) ( )( ) .
) ( 2 ) (2 ) .
) ( ) ( ) ( ).
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( ) ( ) ( 1).
) ( ) ( ) ( ) .
) (
a A a b c ab bc ca abc

) 3 22 11 37 7 10
) 7 14 7 1
) 8 63
a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x
= + +
= + + + +
= + + + + +
= + +
= +
Bài tập:
Ví dụ . Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x
3
3(a
2
+ b
2
)x + 2(a
3
+ b
3
)
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab, thì a
2
+ b

2
+ (a + b)x 2(a + b)
2
+ 6ab]
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a
2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
Trang 11
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
f) x
3
+ 4x
2
29x + 24 ;
g) x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
6x + 1 ;
h) (x
2
x + 2)
2
+ (x 2)
2

+ 1 ;
h) x
12
+ 1 ;
i) (x + y + z)
3
x
3
y
3
z
3
;
k) (x + y + z)
5
x
5
y
5
z
5
.
Chuyên đề Iii: Xác định đa thức
1) Định lí BêZu:
D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a) (giá trị của f(x) tại x =
a):
)()()()( afxqaxxf +=
(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a.
áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thực hiện


=x
(

là hằng số). Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hệ số của
các hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d).
Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)
Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có:
)().1(263
232
xQxaxaxxa +=+
.
Vỡ ng thc ỳng vi mi x nờn cho x = -1 ta dc:



=
=
=++=++
3
2
060263
22
a
a
aaaaa
Trang 12
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
Vi a = -2 thỡ
4104)(,4664

234
219)(
chia hết cho đa thức:
2)(
2
= xxxg
.
Bi 5: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn k cho a thc:
152)(
23
++= kkkf
chia ht cho nh
thc:
3)( += kkg
.
Bi 6: Vi giỏ tr no ca a v b thỡ a thc:
baxxxxxf +++=
234
33)(
chia ht cho a
thc:
43)(
2
+= xxxg
.
Bi 7: a) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b v c a thc:
cbxaxxxP +++=
24
)(
Chia ht cho

12
2
++ axx
chia cho
3x
d 4.
c)
95
45
+ xax
chia ht cho
1x
.
Bi 10: Xỏc nh cỏc hng s a v b sao cho:
a)
baxx ++
24
chia ht cho
1
2
+ xx
.
b)
505
23
++ xbxax
chia ht cho
103
2
++ xx

, chia cho
1
2
x
thỡ d
5+x
.
Trang 13
))()((
23
cxbxaxcbxaxx
=+
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
Bi 13: Cho a thc:
baxxxxxP +++=
234
)(
v
2)(
2
+= xxxQ
. Xỏc nh a, b
P(x) chia ht cho Q(x).
Bi 14: Xỏc nh a v b sao cho a thc
1)(
34
++= bxaxxP
chia ht cho a thc
2
)1()( = xxQ

bbbb ,,,,
210

.
Bài tập áp dụng
Bi 1: Tỡm a thc bc hai P(x), bit:
9)2(,7)1(,25)0( === PPP
.
Gii
t
)1()(
210
++= xxbxbbxP
(1)
Thay x ln ly bng 0; 1; 2 vo (1) ta c:
11.2.2.18259
18257
25
22
11
0
=+=
=+=
=
bb
bb
b
Vy, a thc cn tỡm cú dng:
2519)()1(1825)(
2

.
Hng dn: Thay x ln lt bng 0; 1; 2; 3 vo (1), ta c :

36)2(5.3.2)1()2(
6)1(3.2.1)0()1(
0)0(0)1()0(
,0)2(0)2()1(
==
==
==
==
PPP
PPP
PPP
PPP

Trang 14
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
t
)2)(1()1()1()1()1()1()(
43210
++++++++= xxxxbxxxbxxbxbbxP
(2)
Thay x ln lt bng -1; 0; 1; 2; -2 vo (2) ta c:

2
1
)4)(3)(2)(1()3)(2)(1.(3)2)(1.(30
31.2.3.2.3.336
,31.2.6

)0,,(,)(
2
++= cbacbxaxxP
. Cho bit
0632 =++ cba
1) Tớnh a, b, c theo
)1(,
2
1
),0( PPP






.
2) Chng minh rng:
)1(,
2
1
),0( PPP






khụng th cựng õm hoc cựng dng.
Bi 6: Tỡm mt a thc bc hai, cho bit:

2

36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n
Giải:
Ta có 5040 = 2
4
. 3
2
.5.7
A= n
3
(n
2
- 7)
2

36n = n.[ n
2
(n
2
-7)
2
36 ] = n. [n.(n
2
-7 ) -6].[n.(n
2
-7 ) +6]
= n.(n
3
-7n 6).(n

M
9 )
- Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A
M
16)
Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau

A
M
5.7.9.16=
5040
Ví dụ 2: Chng minh rằng với mọi số nguyên a thì :
a/ a
3
a chia hết cho 3
b/ a
5
-a chia hết cho 5
Giải:
a/ a
3
-a = (a-1)a (a+1) là tích của các số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho
3
b/ A= a
5
-a = a(a
2
-1) (a
2
+1)

+1 = (5k

2)
2
+ 1 = 25 k
2

20k +5

A
M
5 (3)
Từ (1),(2),(3)

A
M
5,

n

Z
Cách 2:
Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 :
+ Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp
+ Một số hạng chứa thừa số 5
Ta có : a
5
-a = a( a
2
-1) (a

-a và tích của 5 số nguyên liên
tiếp chia hết cho 5.
Ta có:
a
5
-a (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a
5
-a (a
2
- 4)a(a
2
-1) = a
5
-a - (a
3
- 4a)(a
2
-1)
= a
5
-a - a
5
+ a
3
+4a
3
- 4a = 5a
3
5a
M

2
+ +ab
n-2
+ b
n-1
) (HĐT 8)
a
n
+ b
n
= (a + b)( a
n-1
- a
n-2
b+ a
n-3
b
2
- - ab
n-2
+ b
n-1
) (HĐT 9)
- Sử dụng tam giác Paxcan:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1


( BSa:Bội số của a)
(a+1)
n
= Bsa +1
(a-1)
2n
= Bsa +1
(a-1)
2n+1
= Bsa -1
* VD3: CMR với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16
n
1 chia hết cho 17 khi và
chỉ khi n là số chẵn.
Giải:
+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, k

N thì:
A = 16
2k
1 = (16
2
)
k
1 chia hết cho 16
2
1( theo nhị thức Niu Tơn)
Mà 16
2
1 = 255

n

N
d/ Ngoài ra còn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng
minh quan hệ chia hết.
VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004.2004
Giải: Xét 2004 số: a
1
= 2004
a
2
= 2004 2004
a
3
= 2004 2004 2004
.
a
2004
= 2004 20042004
2004 nhóm 2004
Theo nguyên lý Dirichle, tồn tại hai số có cùng số d khi chia cho 2003.
Gọi hai số đó là a
m
và a
n
( 1

n <m

2004) thì a

M
2003

m-n nhóm 2004
2. Tìm số d
* VD1:Tìm số d khi chia 2
100

a/ cho 9 b/ cho 25
Giải:
a/ Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 2
3
= 8 = 9 1
Trang 17
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
Ta có : 2
100
= 2. 2
99
= 2. (2
3
)
33
= 2(9 1 )
33
= 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu
Tơn)
= BS9 2 = BS9 + 7
Vậy 2
100

4k+2
=(5
4
)
k
. 5
2
= 25. (0625)
k
= 25. (0625)= 5625
- Cách 2: Tìm số d khi chia 5
1994
ch 10000 = 2
4
.5
4
Ta thấy 5
4k
1 = (5
4
)
k
1
k
chia hết cho 5
4
1 = (5
2
+ 1) (5
2

)
3
. 5
6
(5
1988
1)chia hết cho 10000 còn 5
6
= 15625

5
1994
= BS10000 + 15625

5
1994
chia cho 10000 d 15625
Vậy 4 chữ số tận cùng của 5
1994
là 5625
3. Tìm điều kiện chia hết
* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của
biểu thức B:
A = n
3
+ 2n
2
- 3n + 2; B = n
2
n

Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B

n
2
n

Ư(2)


2 chia hết cho n(n 1)


2 chia hết cho n
Ta có bảng:
n 1 -1 2 -2
n 1 0 -2 1 -3
Trang 18
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
n(n 1) 0 2 2 6
Loại T/m T/m Loại
Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu
thức B
VD 2: Tìm số nguyên n dể n
5
+ 1 chia hết cho n
3
+ 1
Giải:
n
5


(n 1)(n + 1)
M
(n+1)(n
2
n + 1)

n 1
M
n
2
n + 1

n(n 1)
M
n
2
n + 1
Hay n
2
n
M
n
2
n + 1

(n
2
n + 1) 1
M

n
- 1 chia hết cho 7
Giải:
Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 2
3
= 8 = 7 + 1
- Nếu n = 3k (k

N) thì 2
n
- 1= 2
3k
1 = (2
3
)
k
1 = 8
k
- 1
k
M
8 1 = 7
Nếu n = 3k + 1(k

N) thì 2
n
- 1 = 2
3k+1
1 = 8
k

n = 3k (k

N)
Chuyên đề V: Tớnh chia ht vi s nguyờn
2. Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng:
a/ n
3
+ 6n
2
+ 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn
b/ n
4
10n
2
+ 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ
Giải
a/ n
3
+ 6n
2
+ 8n = n(n
2
+ 6n + 8) = n( n
2
+ 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)]
= n(n+2)(n + 4)
Với n chẵn, n = 2k ta có:
n
3

10n
2
+ 9 = (2k +1 1)(2k + 1+1)(2k + 1 3)( 2k + 1 +3)
= 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2)
M
16
Bài 2: Chứng minh rằng
a/ n
6
+ n
4
-2n
2
chia hết cho 72 với mọi số nguyên n
b/ 3
2n
9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dơng n
Trang 19
TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012
Giải:
Ta có: A= n
6
+ n
4
-2n
2
= n
2
(n
4

(2k + 1) (2k -1)(4k
2
+2) = 8k
2
(2k + 1) (2k -1)(2k
2
+1)
M
8
+ Với n = 2k +1

A = (2k + 1)
2
(2k +1 1)
2
= (4k
2
+ 4k +1)4k
2

M
8
Tơng tự xét các trờng hợp n = 3a, n= 3a

1 để chứng minh A
M
9
Vậy A
M
8.9 hay A

2
chia cho 3 d 1

a
2
1 chia hết cho 3 (2)
Mà (3,8) = 1 (3)
Từ (1), (2), (3)

a
2
1 chia hết cho 24
Bài 4: Chứng minh rằng:
Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì a
6
-1 chia hết cho 7
Giải:
Bài toán là trờng hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:
- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì a
p
a chia hết cho p
- Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì a
p-1
-1 chia
hết cho p
Thật vậy, ta có a
6
-1 = (a
3
+ 1) (a

3
= BS7

2
3
= BS7

8

a
3
- 1
M
7
- Nếu a = 7k

3 (k

N) thì a
3
= ( 7k

3)
3
= BS7

3
3
= BS7



a
3
chia hết cho 8
Nếu a lẻ

a
3
-1và a
3
+ 1 là hai số chẵn liên tiếp

(a
3
-1) (a
3
+ 1) chi hết cho 8
Vậy A
M
8 ,
19 9a

n

N (1)
+ Nếu a
M
7

a

3

a
3
M
9

A
M
9
Nếu a không chia hấe cho 3

a = 3k

1

a
3
= ( 3k

3)
3
= BS9

1

a
3
1 = BS9+1 1
M

b/ 8n
2
+ 10n +3
c/
3
3
4
n n+
Gi¶i:
a/ Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: 12n
2
– 5n – 25 = 12n
2
+15n – 20n – 25
= 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5)
Do 12n
2
– 5n – 25 lµ sè nguyªn tè vµ 4n +5 > 0 nªn 3n – 5 > 0.
Ta l¹i cã: 3n – 5 < 4n +5(v× n
≥
0) nªn ®Ĩ 12n
2
– 5n – 25 lµ sè ngyªn tè th× thõa
sè nhá ph¶i b»ng 1 hay 3n – 5 = 1
⇒
n = 2
Khi ®ã, 12n
2
– 5n – 25 = 13.1 = 13 lµ sè nguyªn tè.
VËy víi n = 2 th× gi¸ trÞ cđa biĨu thøc 12n

3
4
n n+
lµ sè nguyªn tè 7
Bµi 7: §è vui: N¨m sinh cđa hai b¹n
Mét ngµy cđa thËp kû ci cïng cđa thÕ kû XX, mét nhê kh¸ch ®Õn th¨m trêng gỈp
hai häc sinh. Ngêi kh¸ch hái:
- Cã lÏ hai em b»ng ti nhau?
B¹n Mai tr¶ lêi:
- Kh«ng, em h¬n b¹n em mét ti. Nhng tỉng c¸c ch÷ sè cđa n¨m sinh mçi chóng
em ®Ịu lµ sè ch½n.
- VËy th× c¸c em sinh n¨m 1979 vµ 1980, ®óng kh«ng?
Ngêi kh¸ch ®· suy ln thÕ nµo?
Gi¶i:
Ch÷ sè tËn cïng cđa n¨m sinh hai b¹n ph¶I lµ 9 vµ 0 v× trong trêng hỵp ngùoc l¹i th×
tỉng c¸c ch÷ sè cđa n¨m sinh hai b¹n chØ h¬n kÐm nhau lµ 1, kh«ng thĨ cïng lµ sè
ch½n.
Gäi n¨m sinh cđa Mai lµ
19 9a
th× 1 +9+a+9 = 19 + a. Mn tỉng nµy lµ sè ch½n th×
a
∈
{1; 3; 5; 7; 9}. HiĨn nhiªn Mai kh«ng thĨ sinh n¨m 1959 hc 1999. VËy Mai
sinh n¨m 1979, b¹n cđa Mai sinh n¨m 1980.
Chuyªn ®Ị VI: Tam gi¸c – ph©n gi¸c
1. C ¸c bµi to¸n tỉng qu¸t vỊ ® êng ph©n gi¸c
1/ Cho ∆ ABC với AB > AC . Điểm M ( khác A ) thuộc đường phân giác trong và
N ( khác A ) thuộc đường phân giác ngoài của góc A . Chứng minh rằng :
a/ AB – AC > MB – MC
Trang 21

2
1
2
1
bcbc
cb
l
a
+=
+
>
( và tương tự
l
a
với

các trường hợp còn lại ) bằng cách tính BE ( liên
quan đến b , c , l
a
) .
Qua B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AD cắt CA tại E . ∆
ABE cân tại E . Xét ∆ ABE ta có : BE < AB + AE = 2AB = 2c .
Xét ∆ CBE ta có : AD // BE ⇒
AC
CE
AD
BE
=
⇔
c

1
2
11
cal
b
+>
)3(
2
1
2
11
abl
c
+>
Lấy (1) + (2) +(3) suy ra điều phải chứng minh .
5/ Cho tam giác ABC có các phân giác AY , BZ , CX . Chứng minh rằng :
HƯỚNG DẪN
Nhận xét và chú ý :
+ Bài toán cho các đường phân giác nên hãy chú
Trang 22
3
≥++
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
B
D

YC
BY
XB
AX
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
≥++
c
a
b
c
a
b
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
=
Do đó
3
≥++
ZA
CZ
YC

.
HƯỚNG DẪN
A
E’
D E
I
C B
Trang 23
B
C
Y
Z
X
TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012
AI là đường phân giác của góc A . Khi đó hai ∆ IEA và ∆ IDA có thể xảy ra hai
trường hợp :
a/ ∆ IEA = ∆ IDA . Khi đó :
BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA ⇒ ∆ ABD = ∆ ACE ( g – c – g ) ⇒
AB = AC ⇒
∆ ABC cân tại A .
b/ ∆ IEA và ∆ IDA không bằng nhau ⇒ ∆ ABC không cân ở A .
Không mất tính tổng quát ta giả sử : C > B . Lấy điểm E’ trên AB sao cho
IE’ = IE = ID . ⇒ ∆ IE’E cân ⇒ IE’E = IEE’ ⇒ BEI = IE’A = IDA
Xét tứ giác ADIE có : D + E = 180
0
⇒ A + DIE = 180
0
⇒ A + BIE =
ICB + IBC
⇒ 2A = 2ICB + 2IBC = C + B . Mà BIE + DIE = 180

AMDN
= 2S
ADM
+ 2S
ADN
= DH.AM + DK.AN = DH( AM + AN )
= DH [AB+AC – (BM+CN)] (1)
p dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương BM , CN :
BM + CN ≥
kCNBM 2.2 =
, dấu “ = “ xảy ra ⇔ BM = CN . Thay vào
(1) ta được :
2S
AMDN
≤ DH(AB+AC-
k2
)
Diện tích tứ giác AMDN lớn nhất khi BM = CN =
k
< AB ≤ AC .
Trang 24
A
B C
D
H
M
K
N
H
1 đv

a
, h
b
, h
c
. Chứng minh
rằng nếu
)(
1
)(
1
)(
1111
cppbppapp
hhh
cba
−
+
−
+
−
=++
thì tam giác ABC là tam giác đều ( p
là nửa chu vi của ∆ ABC .
3/ Chứng minh rằng nếu một tam giác cóùù 2 cạnh không bằng nhau thì tổng của
cạnh lớn hơn và đường cao tương ứng lớn hơn tổng của cạnh nhỏ và đường cao
tương ứng .
4/ Cho ∆ ABC có các đường cao AA’ , BB’ , CC’ . Chiếu A’ lên AB , AC , BB’ và
CC’ tại I , J , K , L . Chứng minh 4 điểm I , J , K , L thẳng hàng .
5/ Cho ∆ ABC , đường cao AH . Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB . Gọi