PHẦN I:LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lượng giác là một nội dung quan trọng của chương trình toán phổ
thông, nó liên quan đến nhiều nội dung khác của toán như tích phân, đạo
hàm, hình học bổ trợ cho nhiều môn khoa học quan trọng khác như vật
lí và cả trong đời sống thực tế
Trong kì thi tuyển sinh vào đại học và cao đẳng phương trình lượng giác
là một nội dung kiến thức thường xuyên được sử dụng.
Ý thức được tầm quan trọng như vậy nhưng việc dạy và học về lượng
giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng ở các trường phổ
thông vẫn còn gặp nhiều khó khăn đặc biệt là những trường vừa chuyển
đổi từ hệ bán công sang công lập như trường tôi.
Qua thực tế nhiều năm giảng dạy và rút kinh nghiệm tôi gặp những trở
ngại sau:
-Công thức lượng giác nhiều, thời lượng cho việc rèn luyện bài tập để
nhớ công thức theo phân phối chương trình là rất hạn chế
-Tài liệu, bài tập về phương trình lượng giác rất nhiều nhưng chủ yếu là
bài tập và lời giải khô khan, phạm vi biến đổi, sử dụng công thức quá
rộng học sinh khó định hướng .Khi gặp một phương trình lượng giác
không biết chọn công thức nào, không biết bắt đầu từ đâu
Thực chất với những học sinh có khả năng tiếp thu khá trở lên thì
phương trình lượng giác không có gì đáng ngại, thực tế đó cũng là câu
xếp hạng dễ trong các đề thi, tuy nhiên với đại đa số học sinh còn lại thì
ghi nhớ một loạt công thức rồi chọn công thức nào để biến đổi thì quả là
một vấn đề lớn nên thường những em này bị tụt hậu lại phía sau và dần
dần có cảm giác sợ lượng giác, sẽ ngại ngay cả khi được ôn tập lại và
mang tâm lý này lây lan sang cả các khoá học tiếp theo nên nhiều học
sinh chưa học lượng giác đã có tâm lý ngại lượng giác
Trước đây, khi dạy lượng giác tôi đã áp dụng phương pháp cho học sinh
học thuộc lòng công thức bằng cách chép công thức nhiều lần và giao bài
tập về nhà thật nhiều để học sinh vận dụng công thức có kiểm tra thường
xuyên và bất chợt nhưng hiệu quả vẫn chưa như mong đợi, chỉ những

2
PHẦN II:NỘI DUNG
1.CƠ SỞ LÝ LUẬN
Biến đổi lượng giác trong giải phương trình lượng giác là vận dụng
linh hoạt các công thức lượng giác để làm cho các phương trình lượng
giác khác lạ dần trở về các phương trình lượng giác quen thuộc đã biết
cách giải
Định hướng biến đổi trong giải phương trình lượng giác là biến đổi tuân
thủ theo các dấu hiệu đặc trưng phát hiện từ phương trình lượng giác,
giúp học sinh trả lời được câu hỏi: Với phương trình lượng giác này phải
bắt đầu từ công thức lượng giác nào?, đó là tiền đề cho giải thành công
phương trình lượng giác
Trong đề tài này tôi trình bày 5 định hướng sau:
1.Biến đổi về cùng một cung lượng giác
2.Biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
3.Hạ bậc
4.Biến đổi về cùng một hàm lượng giác
5.Biến đổi tan, cot về sin, cos
3
2.THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI :
Trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, phần phương
trình lượng giác chia thành phương trình lượng giác thường gặp (có cách
giải cụ thể cho từng dạng) và một số phương trình lượng giác khác(chỉ
nêu một số ví dụ định hướng việc biến đổi trong giải các phương trình
lượng giác ở dạng quan trọng này) điều này làm cho học sinh cảm nhận
việc biến đổi lượng giác trong giải phương trình lượng giác rất mơ hồ,
chung chung. Phần bài tập minh hoạ ít
Vì vậy để cho ‘’Một số phương trình lượng giác khác’’ được cụ thể hơn
tôi đã phân loại chúng theo các hướng biến đổi thông thường, hay sử
dụng để học sinh có được việc tiếp cận rõ ràng hơn với phương trình

cung còn lại theo ẩn mới này)
VD1:Giải phương trình:
7
os(2x- )=sin(4x+3 )
2
7 7
os2x.cos sin 2 .sin sin 4 . os3 +cos4x.sin3
2 2
-sin2x=-sin4x
sin4x=sin2x
x=k
x=
6 3
c
c x x c
k
π
π
π π
π π
π
π π
⇔ + =
⇔
⇔


⇔

+

− = +
⇔ −
⇔
⇔ − = ⇔ − = +
3 2
4 4 4
4 2
3 2
4 4 4 2
x x k x k
x k
x x k x k
π π π
π π
π π
π π π π
π π
 
− = + + = +
 
⇔ ⇔ ⇔ = +
 
 
− = − − + = +
 
 
Ghi chú: Gặp cung
π
/4 nên nhớ đến công thức sina
±

π
π
π
⇔ + − =
⇔ =
⇔
⇔

=± +



⇔ ⇔



= +



Ghi chú:
+Gặp cung gấp đôi nhau ta đưa về cùng một cung bằng công thức nhân
đôi, hạ bậc
+Với ví dụ này ta có một lớp bài tập tương tự mà có cách xử lý đặc trưng
sau:
6
Trong phương trình có 4 hàm sin2x, cos2x, sinx, cosx thì nhóm sin2x với
sinx (hoặc cosx) các hạng tử còn lai đi với nhau và dùng định lý viét để
phân tích
VD 4:Giải phương trình;


= +

π






Bài tập tương tự để học sinh vận dụng:
2
1)sin 2 os2x=3sinx+cosx-2
2)sinx+2cosx+cos2x-2sinx.cosx=0
3)1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0
4)9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8
5)sin2x+cos2x-3sinx-cosx+1=0
6)3sinx+2cosx=2+3tanx
7) 3(2 os osx-2) sinx.(3-2cosx)
x c
c x c
−
+ +
VD5: Giải phương trình:
3
sin( 2 ) 2sin( )
5 5
x x
π π
+ = −

 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
=
 
7
Vậy
( )
5 5
x k m m k
π π
π π
= − = + = −
Định hướng 2:Tích thành tổng và ngược lại:
Trong phương trình lượng giác nếu xuất hiện tích các hàm sin, cos thì
biến đổi thành tổng với mục đích xuất hiện các nhóm giống nhau để rút
gọn
Ngược lại, tổng các hàm sin, cos thì biến đổi thành tích với mục đích
xuất hiện nhân tử chung
Chú ý: Dấu hiệu áp dụng:Tổng(hiệu) hai cung liên quan đến cung thứ 3
VD1:Giải phương trình:
3 os5x-2sin3x.cos2x-sinx=0
3 os5x-sin5x=2sinx
sin(5x- )=sin(-x)
3
x=
12 2
2
9 3
c

12 6
x x x
x c x x c
x x
x k
x k
π π
π π
π π
π π
+ = −
⇔ + = −
⇔
⇔
⇔ − = +

= +

⇔


= +


8
Ghi chú: Ta đã xử lý cung trước khi biến đổi tích thành tổng
VD3:Giải phương trình:
osx+cos2x+cos3x+cos4x=0
5x 3x 5x x
2cos . os 2 os . os 0

x k
x k
π π
π π
π π

+



⇔ = +



= +


Ghi chú: Hạ bậc rồi tổng thành tích (chú ý liên hệ cung: 5x-x=2.2x)
Bài tập tương tự để học sinh vận dụng:
1) os2x+2sinx.sin2x=2cosx
2)cos4x+sin3x.cosx=sinx.cos3x
3)1+sinx+cos3x=cosx+sin2x+cos2x
4)sin8x+cos4x=1+2sin2x.cos6x
5)cos2x-2sin2x.sin4x-2cos3x.cos9x=1
c
Định hướng 3:Hạ bậc:
9
Nhiều công thức lượng giác ở dạng bậc nhất đối với các hàm sin, cos, vì
vậy khi gặp các bậc cao hơn thì ta tìm cách hạ bậc để bước tiếp theo có
nhiều công thức biến đổi hơn




+


Ghi chú: Khi có bậc cao mà không thấy ngay nhân tử chung hoặc không
đặt ẩn phụ thì trước hết ta hạ bậc để tiện biến đổi sau này
VD2:Giải phương trình

2 2
2 3 sinx
sin ( ) sin ( )
3 3 2
x x
π π
−
+ + + =
10
2 4
1 os(2x+ ) 1 os(2x+ )
3 sinx
3 3
2 2 2
2 4
os(2x+ )-cos(2x+ )=1-sinx
3 3
1 3 1 3
os2x+ sin 2 os2x- sin 2 1 sinx
2 2 2 2


= +

Ghi chú: Bài này hạ bậc rồi kết hợp biến đổi cung
VD3:Giải phương trình
2
2
os5x.cosx=cos4x.cos2x+3cos 1
os6x+cos4x=cos6x+cos2x+3.(1+cos2x)+2
cos4x-4cos2x-5=0
2cos 2 4 os2x-6=0
cos2x=-1
cos2x=3(vn)
2
c x
c
x c
x k
π
π
+
⇔
⇔
⇔ −

⇔ ⇔ = +


Ghi chú:Hạ bậc kết hợp biến đổi tích thành tổng
VD4:Giải phương trình:

= +

⇔


=− +


Ghi chú: Học sinh yếu thường dựa vào công thức hạ bậc(bậc 2 với sin,
cos) để “bịa” ra công thức hạ bậc bậc cao hơn vì vậy cần lưu ý học sinh
khi hạ bậc bậc cao cần kết hợp với các hằng đẳng thức.
Bài tập tương tự để học sinh vận dụng:
2 2
2 2
2 2
5 9
1) os3x+sin7x=2sin ( ) 2 os
4 2 2
7
2) os4x.sinx-sin 2 4sin ( )
4 2 2
2 1
3) os ( ) os ( ) (sinx+1)
3 3 2
x
c c
x
c x
c x c x
π π

os os2x+2sin 0
(1 os2x) (1-cos2x)
os2x+ 0
4 4
c x c x
c
c
− =
+
⇔ − =
Đặt cos2x=t (
1 1t
− ≤ ≤
) ta được:
2 3
3 2
(1 ) (1 )
0 4 5 2 0
4 4
2( )
os2x=1 x=k
1
t t
t t t t
t l
c
t
π
+ −
− + = ⇔ − + − + =

c
Pt x
x
c x x x
c
x c
π
≠


≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠


≠

⇔ − + =
⇔ − + =
⇔ ⇔
⇔ ⇔ +
cos2x=1
1
3
cos2x=-
2
3
x k
x k
x k
π
π



= − +


Ghi chú : -Sau khi đưa tan, cot về sin, cos và khử mẫu thì bài toán trở
nên quen thuộc, ta dùng các nguyên tắc biến đổi đã học để xử lý tiếp
-Việc đối chiếu điều kiện để loại nghiệm ngoại lai học sinh nên
dùng đường tròn lượng giác.
VD2 :Giải phương trình :
2
2
1 sin 2 os2x
2 sinx.sin2x
1+cot
DK:sinx 0 x k
1+sin2x+cos2x
PT 2 sinx.sin2x
1
sin
x c
x
x
π
+ +
=
≠ ⇔ ≠
⇔ =
14
2


⇔ −
⇔

⇔ +

⇔


⇔ + = ⇔ = +


Đối chiếu điều kiện ta được
2 ;
4 2
x k x k
π π
π π
= + = +
Ghi chú : Với phương trình lượng giác có ẩn ở mẫu, việc nêu và đối
chiếu điều kiện là rất quan trọng kể cả khi điều kiện không làm ảnh
hưởng tới nghiệm.
Sau khi giới thiệu cho học sinh năm nguyên tắc biến đổi trên, tôi cho học
sinh vận dụng các nguyên tắc đó trong quá trình giải phương trình lượng
giác với định hướng chính là đưa về dạng phương trình tích vì vậy học
sinh cần nhớ thêm một số nhóm biểu thức lượng giác có chung nhân tử
để thuận tiện hơn trong quá trình phát hiện nhân tử chung
Nhóm 1 :
1 sin 2
os2x

x
c
x
π


−







−


có nhân tử sinx-cosx
Nhóm 3 :1-cos2x,
2 2
sin ,tanx x
có nhân tử (1-cosx).(1+cosx)
Nhóm 4 :1+cos2x,
2 2
os ,cotc x x
có nhân tử (1+sinx).(1-sinx)
VD1:Giải phương trình:
2
os .(sin 2 sinx+4) 2
0

≠ − +


≠ ⇔ ≠ ⇔


≠ +


⇔ − − =
⇔ −
⇔
⇔
⇔
2
3
in2x=-4(VN)
2
3
x k
x k
π
π
π
π

= +




(2 3) os2x-(1-cos(2 )) 1 4sin
2
(2 3) os2x+sin2x=2-2(1-cos2x)
(2- 3)cos2x+sin2x-2cos2x=0
sin2x- 3 os2x=0 sin(2x- )=0
6
x=
6 2
c x
x
DK x c
PT c x x
c
c
k
π
π
π
π π
− −
= −
−
− ≠ ⇔ ≠
⇔ − − = −
⇔ −
⇔
⇔ ⇔
⇔ +
Đối chiếu với điều kiện ta được x=
2

x k
x k
π
π
π π
π
π
π
π
π π
⇔ + − +
⇔ +
⇔

= +




= +




⇔ ⇔ = ± + ⇔




= +

x x
x x
x c
x
π π
π
π
+ − − =
− = −
− = −
− − =
4.KẾT QUẢ THỰC HIỆN:
Kết quả qua các bài kiểm tra ở các lớp dạy như sau:
Năm
học
Lớp Tổng
số
Điểm 8 trở
lên
Điểm từ 5 đến
7
Điểm dưới 5
Số
lượng
Tỷ lệ Số
lượng
Tỷ lệ Số
lượng
Tỷ lệ
2006-

khỏi những hạn chế. Rất mong các quý thầy cô cùng các đồng nghiệp
góp ý, trao đổi để giúp cho những nguyên tắc, định hướng biến đổi trong
giải phương trình lượng giác ngày càng đạt hiệu quả cao hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hoá, ngày 1 tháng 5 năm
2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
19
Trần Thái Sơn
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1.Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao-NXB Giáo dục
2. Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng cao-NXB Giáo dục
3.Giải toán lượng giác 10 -Trần Thành Minh (chủ biên)-NXB Giáo dục
4.Giải toán lượng giác chọn lọc 10-11-12 -Nguyễn Cam-NXB trẻ
5.Toán ôn thi đại học (Tập III-Hình học, Lượng giác)-Doãn Minh
Cường,
Nguyễn Hắc Hải,Nguyến Đức Hoàng, Đỗ Đức Thái, Phan Doãn Thoại-
NXB
Đại học sư phạm
6.Báo Toán học và tuổi trẻ-NXB Giáo dục
7.Các đề thi đại học, cao đẳng. Các đề thi thử của các trường.
20