Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Hiện nay với việc chuyển đổi từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm trong
các kì thi yêu cầu học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản mà cần có óc suy
luận tốt, đủ thời gian giải bài tập cho kết quả chính xác. Vì vậy, việc sử dụng phương
pháp nào sao cho nhanh nhất để có kết quả chính xác cao là điều mà giáo viên và các
em học sinh rất chú trọng.
Trong chương trình vật lý phổ thông, dao động (dao động cơ, dao động điện,
dòng điện xoay chiều, điện tích hay điện áp trên tụ điện của mạch LC…) là phần kiến
thức quan trọng thể hiện ở dung lượng lớn, có mặt trong tất cả các cấu trúc đề thi với
số lượng câu hỏi khá lớn, đặc biệt là đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi ĐH&CĐ
Các bài toán đặc thù về dao động điều hòa đều có thể giải bằng 3 phương pháp:
đại số, phương pháp vectơ quay, phương pháp đồ thị. Tuy nhiên mỗi bài ưu tiên một
phương pháp nào đó hơn tùy thuộc vào dữ kiện của bài toán và sở trường tư duy của
từng người.
Phương pháp sử dụng giản đồ vectơ quay để giải các bài tập về dao động là
phương pháp mang tính tổng quát cao, dễ vận dụng, cho kết quả nhanh và chính xác,
tránh được các phép tính dài dòng phức tạp.
Xuất phát từ vị trí và ý nghĩa thiết thực của phương pháp sử dụng giản đồ vectơ
quay nên tôi chọn đề tài: “ Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao
động Vật lý 12”, nhằm giúp cho học sinh có thể nắm được phương pháp và từ đó
chủ động vận dụng trong khi làm bài tập.
GV:Lưu Thị Thuỳ Liên_ Trường THPT Triệu Thị Trinh Trang 1
Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1. Cơ sở lý luận:
* Kiến thức liên quan đến mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn
đều được đưa ra trong sách giáo khoa Vật lý 12 ( bài 6- chương trình nâng cao và bài
1 – chương trình chuẩn); sách Bài tập Vật lý 12 (chương trình chuẩn và nâng cao) và
ở một số sách tham khảo.
* Số tiết bài tập vận dụng trên lớp thực hiện theo Phân phối chương trình không

OM
=
)cos(
ϕω
+=
tAOP
đó chính là biểu thức trong vế phải của (*) và là li độ x của dao động.
Như vậy: Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của vectơ quay
OM
biểu
diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động.
(theo SGK Vật lý 12 Nâng cao – Nhà xuất bản Giáo dục)
GV:Lưu Thị Thuỳ Liên_ Trường THPT Triệu Thị Trinh Trang 2
ϕ
ωt
O
x
P
M (t 0)
+
M (t =0)
Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12
* Chú ý:
• Vị trí của vật trên trục dao động chính là hình chiếu ngọn của trên trục Ox
• chỉ quay theo một chiều duy nhất là chiều ngược chiều kim đồng hồ
2.2. Các dạng bài tập:
A. Dạng 1: Sử dụng vectơ quay để xác định khoảng thời gian vật thực hiện một
quá trình:
A.1. Phương pháp giải
Bước 1. Xác định vị trí của điểm đầu M

cm?
* Giải:
Thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ 2,5cm đến li độ
-2,5
3
cm tương ứng với vật chuyển động trên
đường tròn từ vị trí M
1
đến vị trí M
2
(vận tốc
trên trục x chưa đổi chiều):

2
3
5
35,2
sin
6
5
5,2
sin
π
γβα
π
γγ
π
ββ
=+=
=⇒=

ω
α
Bài tập 2: Định thời gian theo lực
Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương trình
x = 5cos(5
π
t +
π
) (cm) (gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống).
Biết độ cứng của lò xo là 100N/m và gia tốc trọng trường tại nơi đặt con lắc là
g =
π
2
(m/s
2
). Trong một chu kì, tìm khoảng thời gian lực đàn hồi tác dụng lên quả
nặng có độ lớn lớn hơn 1,5N ?
* Giải: Tại vị trí cân bằng, độ dãn của lò xo là:
m
g
l 04,0
)5(
2
2
2
===∆
π
π
ω
Độ lớn

1
M
2
F
9
4
α
1
−
1,5
Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12
Thời gian cần tìm:
)(
15
4
5
3
4
st
===∆
π
π
ω
α
Bài tập 3: Định thời gian theo vận tốc
Một vật dao động điều hoà với chu kì 2s biên độ bằng 5cm. Tính thời gian ngắn nhất
để vật tăng tốc từ 2,5
π
cm/s đến 5
π

)(
3
1
3
st
===∆
π
π
ω
α
Bài tập 4: Định thời gian theo năng lượng
Một vật dao động với phương trình x = 2cos3
π
t (cm). Tính thời gian ngắn nhất để
vật đi từ vị trí có động năng bằng thế năng đến vị trí động năng bằng 3 lần thế
năng?
* Giải: Đối với dạng toán này ta nên đưa về tính theo li độ.
Tại vị trí có động năng bằng thế năng: W = W
đ
+ W
t
= 2W
t

2
A
xxmω
2
1
2Amω

x
1
+=
GV:Lưu Thị Thuỳ Liên_ Trường THPT Triệu Thị Trinh Trang 5
M
1
M
2
2
A
α
2
A
−
A
−
A
x
β
γ
M
1
M
2
v
π
5,2
π
5
O

=⇒=
=⇒=
A
A
A
A
Thời gian:
)(
36
5
3
12
5
st
===∆
π
π
ω
α
A.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1: Một vật dao động với tần số 2Hz và biên độ 4cm. Tính thời gian ngắn nhất để
vật đi giữa 2 li độ 2cm và -2
3
cm ? Đs:
s
8
1
Bài 2: Một vật dao động điều hoà có vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng là 6π cm/s
Tính thời gian ngắn nhất để vật thay đổi vận tốc từ 3π
2

1
mà vật sẽ đi qua theo bài ra trên đường tròn (vị
trí M
1
hoặc M
2
)
Chú ý: Vị trí có toạ độ x = x
1
tương ứng có 2 vị trí trên đường tròn, vị trí đó khi vật
đang đi theo chiều âm (M
1
) và vị trí đó khi vật đang đi theo chiều dương (M
2
).
Bước 3. Nếu tìm thời điểm qua x
1
theo chiều âm ta làm như sau:
Xác định khoảng thời gian vật đi từ vị trí M
0
tới M
1
lần đầu tiên từ công thức:

ω
α
ωα
=∆⇒∆=
tt.
Trong đó là góc mà véc tơ quay biểu diễn dao động điều hoà đã quét được khi vật

1
thì
phức tạp hơn. Tuy vậy có thể tìm ra quy luật xác định sau:
 Nếu bài toán là: Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x
1
lần thứ n với n
là số lẻ thì thời điểm cần tìm là:
GV:Lưu Thị Thuỳ Liên_ Trường THPT Triệu Thị Trinh Trang 7
M
0
M
1
M
2
α
O x
x
1
Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12

)2)((
2
.
2
1
Nn
n
tt
∈
−

ω
π
2
.
2
15
−
. Vậy công thức (2) là hoàn toàn
chính xác.
 Nếu bài toán là: Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x
1
lần thứ n với n là
số chẳn thì thời điểm cần tìm là:

)3)((
2
.
2
2
Nn
n
tt
∈
−
+∆=
ω
π
Trong đó là khoảng thời gian vật đi từ vị trí ban đầu M
0
đến vị trí M

−
. Vậy công thức (3) là hoàn toàn
chính xác.
B.2. Bài tập ví dụ:
Bài tập 1: Cho một dao động điều hoà có phương trình:
))(
3
2cos(6 cmtx
π
π
+=
Xác định thời điểm vật qua vị trí x=-3cm lần thứ 2011 theo chiều âm.
* Giải:
GV:Lưu Thị Thuỳ Liên_ Trường THPT Triệu Thị Trinh Trang 8
Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12
Tại thời điểm ban đầu t = 0, tọa độ vật là
)(3)
3
cos(6 cmx
==
π
.
Vị trí ban đầu trên đường tròn là M
0
Vị trí vật qua x = -3cm theo chiều âm là vị trí M
1
trên đường tròn.
Thời gian vật đi từ M
0
đến M

α
Vì vật qua lần thứ 2011 nên ta có n =2010
Thay số ta được:
)(167,2010
2
.2010.2
6
12
s
n
tt
=+=+∆=
π
π
ω
π
Bài tập 2: Cho một dao động điều hoà có phương trình:
))(
6
5cos(10 cmtx
π
π
−=
.
Xác định thời điểm vật qua vị trí x = -5
2
cm lần thứ
2012 theo chiều dương?
* Giải: Tại thời điểm ban đầu t = 0, tọa độ vật là
)(35)

=++=⇒
=⇒==⇒=
Thời gian vật đi từ M
0
đến M
1
là
)(
60
13
5
12
13
st
===∆
π
π
ω
α
GV:Lưu Thị Thuỳ Liên_ Trường THPT Triệu Thị Trinh Trang 9
x
M
0
M
1
O
α
3
-3
6- 6

3
2cos(6 cmtx
π
π
+=
Xác định thời điểm vật qua vị trí x = -3cm lần thứ 2011.
* Giải:
Làm hoàn toàn tương tự như bài tập 1.
Vật qua lần thứ n = 2011 là số lẻ nên kết quả là :

)(167,1005
2
2
.
2
12011
6
12
.
2
1
s
n
tt
=
−
+=
−
+∆=
π

s
n
tt
=
−
+=
−
+∆=
π
π
ω
π
B.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho một dao động điều hoà có phương trình:
))(
4
5cos(10 cmtx
π
π
+=
Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 5
3
cm lần thứ 1001? Đs: 200,017s
Bài 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục x theo phương trình
))(
6
2cos(5 cmtx
π
π
−=

∆
l (ở vị trí cân bằng ) lớn hơn A và đạt cực tiểu( bằng không) 2 lần ở một vị trí
x = -
∆
l nếu
∆
l < A.
- Mỗi chu kì lực phục hồi (hợp lực) cực đại 2 lần ở 2 biên và cực tiểu (bằng
không) 2 lần ở vị trí cân bằng .
- Đối với gia tốc thì kết quả như với li độ
- Chú ý: Nếu t = 0 tính từ vị trí khảo sát thì cả quá trình được cộng thêm một
lần vật đi qua li độ, vận tốc… đó
*Phương pháp:
• Bước 1: Vẽ đường tròn Fresnen bán kính A
• Bước 2: Xác định tọa độ ban đầu của vật , suy ra vị trí của M
0
trên đường tròn
và tọa độ góc của véc tơ quay
0
OM
(ϕ
0
).
GV:Lưu Thị Thuỳ Liên_ Trường THPT Triệu Thị Trinh Trang 11
Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12
• Bước 3: Xác định vị trí đề bài cho (x) trên giản đồ ⇒ tọa độ góc của véc tơ
quay ứng với vị trí đề bài cho ϕ
• Bước 4: Dựa vào khoảng thời gian đề bài cho, lập biểu thức ∆t = nT + ∆t’.
Trong đó n là số tự nhiên, ∆t’ gọi là khoảng thời gian dư ⇒ số lần cần tìm N =
2.n +N’ (N’ là số lần qua vị trí x trong thời gian ∆t’)

Ta có ∆t = 1,2 s; T = 0,5s ⇒ ∆t = 2T + 0,2 (s)
⇒ N = 2.2 + N’(1)
Tính N’
Độ lớn cung dư BM: ∆ϕ = 4π.0,2 = 0,8π ⇒ cung dư đi qua A 1 lần
Do khi t = 0 vật đã xuất phát từ x
0
= x = 1,5 cm nên N’ = 1+ 1 = 2.
Thay vào (1) ta có N = 6
GV:Lưu Thị Thuỳ Liên_ Trường THPT Triệu Thị Trinh Trang 12
Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12
Bài tập 2: Định tần suất theo vận tốc
Một vật dao động với phương trình x = 4cos3
π
t cm. Xác định số lần vật có tốc độ
6
π
cm/s trong khoảng 1,25 s đầu tiên.
* Giải : Lúc t = 0 : x = 4 cm = A => v = 0 , tương ứng là điểm B trên hình.
Tốc độ cực đại của vật : v
max
= Aω = 4.3π = 12π (cm/s)
Số lần vật có tốc độ 6π cm/s ứng với 4 điểm M, N, P, Q
trên hình vẽ.
Ta có ∆t = 1,25 s; T =
3
2
s ⇒ ∆t = 1T + 0,875.T (s)
⇒ N = 1.4 + N’(1)
Độ lớn cung dư BI: ∆ϕ =
.

2
1
222
±=⇒=⇔
Số lần vật có động năng bằng thế năng ứng với 4 điểm M, N, P, Q trên hình vẽ.
Ta có ∆t = 1,5 s; T =
s
k
m
4,0
50
2,0
22 ==
ππ

GV:Lưu Thị Thuỳ Liên_ Trường THPT Triệu Thị Trinh Trang 13
v
B
M
N P
Q
12π
-12π
-6π
6π
6
π
I
Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12
⇒ ∆t = 3T + 0,75T (s)

π
πω
Tại vị trí cân bằng, độ dãn của lò xo là:
m
k
mg
l 01,0
100
10.1,0
===∆

Lúc t = 0 ,vật ở vị trí thấp nhất x = A, tương ứng với điểm B trên đường tròn
Do
Al <∆
nên F
min
= 0 khi x = - ∆l = -1cm ( lò xo không biến dạng ), tương ứng với
điểm M, N trên đường tròn
Lúc t = 0,5s, góc quay của vectơ là ∆ϕ =
.10
π
0,5 = 5π, tức là quay qua N 2 lần, qua
M 3 lần
GV:Lưu Thị Thuỳ Liên_ Trường THPT Triệu Thị Trinh Trang 14
-A A
B
M
NP
Q
2

cm.(Đs: 6 lần)
Bài 3. Xác định số lần cơ năng gấp 4 động năng trong 8,4s đầu? Biết phương trình
dao động: x = A cos(πt + π/3)cm. (Đs: 16 lần)
D. Dạng 4: Sử dụng vectơ quay tính quãng đường trong dao động điều hòa:
D.1. Phương pháp
Một trong những thói quen đáng tiếc của đa số học sinh là thường xuyên sử dụng
công thức tính quãng đường S = v.t cho mọi chuyển động. Mặc dù công thức đó chỉ
đúng cho chuyển động đều. Do đó cần giúp các em học sinh khắc phục khuyết điểm
nói trên. Trước khi tìm hiểu phương pháp ta có một số nhận xét:
- Quãng đường đi trong một chu kỳ bằng 4A Do đó nếu
∆
t = nT thì S = 4nA
- Quãng đường vật đi trong nửa chu kỳ luôn bằng 2A, do đó nếu thời gian dao
động
∆
t = n. T/2 thì quãng đường vật đi được là S = n.2A
* Phương pháp:
Bài toán yêu cầu tính quãng đường trong một khoảng thời gian từ t
1
đến t
2
ta thực
hiện các bước sau :
• Tính khoảng thời gian ∆t = t
2
– t
1
so sánh với chu kỳ dao động T
• Thiết lập biểu thức: ∆t = nT + τ
Trong đó n nguyên ( n∈ N) Ví dụ T =1s, ∆t = 2,5s thì ∆t =2.T +0,5

= - ωAsin(ωt
2
+ ϕ )
(v
1
, v
2
chỉ cần xác định dấu để biết chiều chuyển động)
+ Dựa vào v
1
và v
2
để tính ∆S
Nếu:
- Nếu t = 0 lúc vật ở biên thì cứ T/4 thì vật
đi được quãng đường A. Ta có thể tính S
bằng cách phân tích
∆
t = n. T/4 +
τ

Nếu n lẻ thì S = n.A + A.sin
ω

τ

còn n chẵn thì S = n.A + A.(1- cos
ω

τ

M
O
ωτ
x
Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12
Ta có t = 3,25s = 6.T/4 + 0,25s
Do vật xuất phát từ vị trí cân bằng và n chẵn nên :
S = n.A + A.sin ω τ = 6.4 + 4 sin( π.0,25) = 26,83 cm.
Bài 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình: x = 6cos(4
π
t +
π
/3)(cm;s). Tính
quãng đường vật đi được từ lúc t = 1/24s đến thời điểm 77/48s
* Giải:
Lúc t = 0: x = 3cm; v < 0 ; chu kì T =
s5,0
4
2
=
π
π
Ta có : ∆t = t
2
– t
1
=
s5625,1
24
1

phục hồi bằng nửa cực đại ? Biết biên độ dao động bằng 3cm. (ĐS : A)
A. 1.06cm B.0.45cm C. 0cm D. 1,5cm
Câu 3. Một vật dao động theo phương trình x = 4cos(10πt + π/4) cm. t tính bằng
giây. Tìm quãng đường vật đi được kể từ khi vật có tốc độ 0,2π
3
m/s lần thứ nhất
đến khi động năng bằng 3 lần thế năng lần thứ tư? (ĐS : A)
A. 12cm B. 8+ 4√3cm C. 10+ 2√3cm D. 16cm
GV:Lưu Thị Thuỳ Liên_ Trường THPT Triệu Thị Trinh Trang 17
O
∆s
B
M
ωτ
x
Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12
E. Dạng 5 : Sử dụng vectơ quay tính quãng đường cực trị trong dao động điều
hòa:
E.1. Phương pháp:
Ta đã biết trong dao động điều hòa vật chuyển động càng nhanh nếu vật chuyển
động càng gần vị trí cân bằng và chuyển động càng nhanh nếu vật chuyển động càng
gần biên do đó trong cùng một khoảng thời gian ∆t ≤ T/2 vật chuyển động được
quãng đường dài nhất nếu vật chuyển động giữa 2 điểm đối xứng nhau
qua vị trí cân bằng.
Theo hình vẽ ta có: S
max
= 2A.sin
ˆ
2
MON

+ Lập biểu thức : ∆t =
2
T
+ τ
+ Tính : S
max
= 2A + 2A.sin
2
ω.τ

S
min
= 2A + 2A(1- cos
2
ω.τ
)
E.2. Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ 2s, biên độ 4cm. Tìm quãng đường
dài nhất, ngắn nhất vật đi được trong khoảng thời gian 5/3s?
* Giải:
Ta có : ∆t =
2
T
+
3
2
(s) ;
)/(
2
srad

ω.
x
O
2
min
S
N
M
ω.
x
Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12
* Giải:
Hai điểm xa nhau nhất khi vật dao động đi qua bằng 10cm: 2A = 10 => A = 5 cm.
Động năng bằng thế năng sau những khoảng thời gian ngắn nhất là

sTs 125,0
4
T
=⇒=
Ta có : ∆t =
2
1
+
6
1
(s) ;
)/(2
2
srad
T

dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, từ đó tự tin vận dụng rất tốt để giải các
loại bài tập liên quan. Đặc biệt khi làm các bài tập trắc nghiệm, các em tìm ra kết
quả rất nhanh và chính xác, phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp và tư duy
sáng tạo của các em.
2.3.2. Bài học kinh nghiệm
Phương pháp dùng vectơ quay để giải bài tập dao động đã giúp các em học
sinh khắc sâu có hiệu quả đặc tính của một dao động điều hòa. Những kiến thức này
các em đã được nghe giảng trong giờ học lý thuyết nhưng nếu không được hướng
dẫn phân tích, tổng hợp và áp dụng để tìm ra cách giải bài tập thì việc ghi nhớ kiến
thức là điều khó đối với các em.
III. KẾT LUẬN:
GV:Lưu Thị Thuỳ Liên_ Trường THPT Triệu Thị Trinh Trang 19
Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao động Vật lý 12
Với việc đưa ra phương pháp giải bài tập dao động bằng giản đồ vectơ quay đã
giúp các em học sinh chủ động hơn và tìm ra đáp án một cách nhanh nhất khi gặp
những bài tập dạng này. Từ đó kích thích khả năng tìm tòi sáng tạo của các em, hình
thành cho các em phương pháp phân tích, chọn lọc, tổng hợp trong quá trình tiếp thu
kiến thức.
Đề tài này còn có thể phát triển và vận dụng ở dạng bài tập sóng cơ (tìm biên độ,
độ lệch pha, bước sóng, tốc độ truyền sóng …). Do kinh nghiệm của bản thân còn
hạn chế nên chắc chắn rằng đề tài còn nhiều thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của các quý thầy cô nhằm để được học hỏi thêm những kinh nghiệm
quí báu và góp phần nâng cao tính khả thi cho đề tài.
NÔNG CỐNG , ngày 10 tháng 5 năm 2013
NGƯỜI THỰC HIỆN
LƯU THỊ THUỲ LIÊN
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)