TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 10 - 2008

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 5

XẤP XỈ ƯỚC LƯỢNG BAYES CHO THAM ẨN HỖN HỢP TRONG MÔ HÌNH
PHI TUYẾN 2-CHIỀU

Ung Ngọc Quang
Trường Đại học khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM
(Bài nhận ngày 02 tháng 07 năm 2007, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 05 tháng 05 năm 2008)
TÓM TẮT: Trong bài này, tác giả tìm xấp xỉ cho ước lựơng Bayes của tham ẩn định vị
và tham ẩn phương sai trong mô hình phi tuyến 2-chiều. Dựa trên các kết quả đó, tác giả đưa
ra xấp xỉ ước lượng Bayes cho tham ẩn hỗn hợp bằng hàm đa thức.
Từ khóa: Ước lượng Bayes, tham ẩn hỗn hợp, mô hình phi tuyến 2 – chiều, hàm đa
thức.
1. MỞ ĐẦU
Ước lượng Bayes là vấn đề c
ập nhật và thời sự hiện nay trong thống kê và đã được tiếp
cận theo nhiều hướng khác nhau (xem [1], [2], [3]).
Tác giả bài này tiếp cận bài toán ước lượng Bayes bằng công cụ và phương pháp giải tích
hàm ( xem [4] – [10]). Trong đó, vấn đề tồn tại ước lượng Bayes đối với các mô hình phi tuyến
khác nhau đã được khảo sát ở các bài [4] – [7]. Còn vấn đề xấp xỉ ước lượng Bayes đối với các
tham ẩn định vị, phương sai và hỗn h
ợp trong mô hình 1-chiều đã được khảo sát ở các bài [8] –
[10].
Liên tục theo hướng trên, bài này sẽ khảo sát xấp xỉ ước lượng Bayes cho tham ẩn hỗn hợp
đối với lớp các ước lượng bị chặn trong mô hình phi tuyến 2-chiều.
Trước hết tác giả trình bày xấp xỉ ước lượng cho tham ẩn định vị và tham ẩn phương sai.
Sau đó ứng dụng các kết quả ấy cho tham ẩn hỗn hợp.
2. XẤP X
Ỉ ƯỚC LƯỢNG BAYES CHO THAM ẨN ĐỊNH VỊ TRONG MÔ HÌNH PHI

R

ϕ
: hàm phi tuyến cho trước,
2
:
R
ϕ
Θ→
Ánh xạ Borel đo được
2
:
r
hR R→
gọi là ước lượng của tham ẩn định vị
Tập hợp tất cả các ứơc lượng bị chặn của tham ẩn định vị
θ
tạo thành một không gian
Banach và kí hiệu là
2
(;)
r
B
RR .Tương tự như trong bài [2 ] , phiếm hàm
(
)
2
:;
r
BR R R

()
,Lhx
θ
được gọi là hàm tổn thất ,
(
)
f
x
θ
gọi là hàm mật độ có điều kiện chính qui và ø
μ
là độ đo Lebesgue trên
2
R
( xem [2])
Ước lượng
(
)
2
ˆ
;
r
hBRR∈ gọi là ước lượng Bayes của tham ẩn định vị
θ
∈Θ
với phân phối tiên nghiệm
τ
nếu
()
()

i
i
ER
=
⊂ và các điểm ,1,
ii
x
Ei m∈=
sao cho:
(
)
(
)
sup , , 1,
i
i
hx hx h K i m
xE
ε
−<∀∈∀=
∈

iii.Tồn tại C > 0 sao cho:

(
)
(
)
,, ,,,
r

)
(
)
CI BI⊂ .
Định lí 1.2: Giả sử tập K các ước lượng của tham ẩn định vị
θ
∈
Θ thoả các điều kiện của
định lí 1.1. Giả sử hàm
()
f
x
θ
bị chặn đều. Khi ấy có thể xây dựng được một đa thức 2 biến
xấp xỉ ước lượng Bayes .
Chứng minh : Trước hết, theo định lí 1.1, tồn tại ước lượng Bayes
ˆ
hK
∈
.
Theo giả thuyết
(
)
:,,Cfx CxI
θ
θ
′′
∃≤∀∈∀∈Θ

Tiếp theo lấy ước lượng Bayes

,1,
j
hj r= là đo được bị chặn , xác định trên I , có trị trong
R
.
Theo định lí Lusin, với
0
ε
>
cho trước, tồn tại các hàm
,1,
j
g
jr=
liên tục, xác định
trên I sao cho:
() ()
{
}
ˆ
:
4. . . .
jj
xIhx gx
rCC C
ε
μ
∈≠<
′
′′

R
g
xC
′′
≤
Vậy nên, nếu đặt
() ()
{
}
() ()
{
}
ˆˆ
,,1,
jj j
A
hx gx A h x g x j r=≠ = ≠ =

ta sẽ có:
1
r
j
j
A
UA
=
=
Suy ra :
()
()

θμτθ
Θ
Ψ−Ψ ≤ −
∫∫

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ˆˆ
AIA
Chx g x f x dx d Chx g x f x dx d
θσ
μ

,
,
j
nna
P
xx
+
sao cho
()
12
ˆ
,
,1,
2. .
j
j
nna
CI
g
Pjr
rC
ε
+
−<∀=

Trong đó, các đa thức 2 biến
12
ˆ
,
j

(
)
(
)
12
11Mn n+× + là không gian các ma trận cấp
(
)
(
)
12
11nn+× +
và
Science & Technology Development, Vol 11, No.10 - 2008

Trang 8 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
2
1
0, ; 0,knsn==
.
Ký hiệu họ đa thức :
(
)
12
12
12 12 12
ˆ
,
ˆˆ ˆ
,, ,

−=−
∑

Do đó :
()
(
)
() () () ( )( )
12 12
ˆˆ
,,
r
nna nna
I
R
g
PCgxPxfxdxd
θ
μ
τθ
++
Θ
Ψ−Ψ ≤ −
∫∫

() () ()( )( )
12
ˆ
,
1

CI
Cg P f x dx d
θ
ε
μτθ
+
=
Θ
≤− <
∑
∫∫

Suy ra:
(
)
()
12
ˆ
,
ˆ
22
nna
hP
ε
ε
ε
+
Ψ−Ψ <+= và định lý 2.1 chứng minh xong ª
Thuật toán: Tiếp theo ta đưa ra một thuật toán xây dựng đa thức xấp xỉ
12

)
12
, , ,
r
aaa a= , trong đó
(
)
(
)
(
)
12
() 1 1, 1,
jj
ks
aaMn n jr=∈ +×+∀=.
Vì
K
là tập compact nên ta có thể tìm được số
12
nn
+
chung cho tất cả các
hK∈
.Như
vậy bậc (
12
nn+ ) chỉ còn phụ thuộc
ε
, nên ta ký hiệu :

()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)( )
(
)
12
12 12 12
,, , 11 11 11
r
a aa a Mn n Mn n Mn n= ∈ +× +× +× +×× +× +
()()
()
12
11
r
Mn n
⎡⎤
=+×+
⎣⎦


⎣⎦
, sao cho
(
)
(
)
12
,nna
Fa P
+
=Ψ

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 10 - 2008

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 9
Tiếp theo, đặt :
()()
()
() ()
{
}
,12
11:
r
h
AaMn n hFa
ε
ε
⎡⎤
=∈ +× + Ψ − <

(
)
*
inf
aA
Fa Fa
ε
∈
=

Gọi
ˆ
h là ước lượng Bayes thuộc
K
, tức là
()
()
ˆ
inf
hhΨ=Ψ, hK∈
Với ước lượng Bayes
ˆ
h này , theo cách xây dựng trên, sẽ tồn tại họ đa thức 2 biến
12
ˆ
,nna
P
+
có hệ số
()()

)
(
)
*
ˆ
4hFa
ε
Ψ− <.
Từ các hệ số
(
)
()()
()
*12
12
, , , 1 1
r
r
aaaa Mn n
⎡
⎤
=∈+×+
⎣
⎦
, ta sẽ xây dựng được đa
thức cực tiểu 2 biến
*
12
,nna
P

(
)
X
ϕ
θε
=
+ . Ta gọi ma trận hiệp
phương sai
(
)
(
)
cov , cov ,XX
ε
ε
= là tham ẩn phương sai của mô hình nói trên và kí hiệu:
(
)
2
cov ,
ε
εσ
=
Như biết trong bài
[
]
6 ,
(
)
(

σ
- đại số Borel trên
(
)
22M
×
và
(
)
22
+
×M
.
Science & Technology Development, Vol 11, No.10 - 2008

Trang 10 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
Định nghĩa 2.2 : Ánh xạ Borel đo được
(
)
(
)
(
)
2
2
:, (22,22)hR M→× ×BB
gọi là ước
lượng của tham ẩn phương sai
(
)

M
,
(
)
22)
+
×B
. Tương tự như trong bài [3] , ta có thể
định nghĩa hàm mạo hiểm Bayes và ước lượng Bayes cho tham ẩn phương
sai
(
)
2
σ
+
∈×
M
ss với phân phối xác suất tiên nghiệm
ν
.
Định lí 2.1 : Cho
(
)
(
)
2
,22KBRM⊂×là 1 lớp các ước lượng của tham ẩn phương sai
(
)
2

x
Ei m∈= sao cho:
(
)
(
)
()
22
sup , , 1,
i
M
i
hx hx h K i m
xE
ε
×
−<∀∈∀=
∈

(iii) Tồn tại
0C > sao cho:
(
)
(
)
()
(
)
(
)

(
)
2
f
x
σ
bị chặn
đều. Khi ấy có thể xây dựng được một đa thức 2 biến xấp xỉ ước lượng Bayes của tham ẩn
phương sai .
Chứng minh: Chứng minh tương tự định lí 1.2.
Nhận xét: Có thể coi ma trận hiệp phương sai
σ
2
như là phần tử thuộc
4
R
. Lúc đó cách
chứng minh định lý 2.2 được suy ra trực tiếp từ chứng minh của định lý 1.2.
Thuật toán: Để đưa ra thuật toán xây dựng đa thức xấp xỉ ước lượng Bayes
ˆ
hK∈ cho
tham ẩn phương sai ,ta cũng xét hàm nhiều biến
(
)
(
)
12
,nna
Fa P
ψ


TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 10 - 2008

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 11
4. XẤP XỈ ƯỚC LƯỢNG BAYES CHO THAM ẨN HỖN HỢP
Xét mô hình phi tuyến 2-chiều có dạng sau :
()
X
ϕ
θε
=+

Trong đó :
X : vectơ quan trắc ngẫu nhiên có trị trong không gian
2
R

ε
: vectơ sai ngẫu nhiên có trị trong không gian
2
R

θ
: tham ẩn định vị,
θ
∈Θ với
Θ
là tập compact trong không gian
r
R

yy y yyyMRM
×
′′′ ′′′
=+ = ∈=××
.
Ký hiệu
r
(M)= ×
BBB
(2 × 2) là
_
σ
đại số tích của các
_
σ
đại số
r
B
và (2 2)×
B
.
Xét không gian tham
(2 2) (2 2)
r
MRM
+
Θ× × ⊂ × × . Ký hiệu
+
Θ×
BB

(,) (,())
R
MM→
BB
gọi là ước lượng của tham hỗn hợp
λ
θσ
=
2
(, ). Hàm Borel h được gọi là hàm bị chặn nếu
2
sup ( )
BM
xR
hhx
∈
=
<+∞
. Tập hợp
tất cả các hàm Borel bị chặn ký hiệu
2
(,)
B
RM .
Định nghĩa 3.2: Cho tham ẩn định vị
θ
có phân phối tiên nghiệm
τ
và tham ẩn phương
sai

σ
hữu hạn trên
2
2
(,)R
B
và giả sử
Q
λ
μ

,(22)M
λ
+
∈Θ× × . Khi ấy tồn tại hàm mật độ xác suất có điều kiện chính quy
()fx
λ
:
()
()
()
Qdx
fx
dx
λ
λ
μ
=
Định nghĩa 3.3 :Cho hàm H:
22

của ước lượng
2
(,)hBRM∈ .
Mệnh đề 3.1: Giả sử L là hàm
(2 × 2)) ( ( ) (2 × 2), ( ))
r
R
++
××Θ×
(B B B B B
_ đo được.
Khi ấy
((.),.)
L
h là hàm (() (2×2),( ))
r
R
++
×Θ×
(B B B B
_ đo được .
Do mệnh đề này, ta có định nghĩa sau .
Định nghĩa 3.4: Phiến hàm
2
:( , )
B
RM R
ψ
+
→ được xác định bởi

∈
= gọi là ước lượng Bayes với phân phối tiên nghiệm
η
.
Mệnh đề 3.2: Cho hàm
(, )hhh
′
′′
=
trong đó
2
:
r
hR R
′
→
và
2
:(22)hR M
′′
→×
. Khi
ấy h là hàm
2
(2 × 2))
r
×
(B , B B
đo được h
′

.
Từ các định nghĩa và mệnh đề trên ta có các kết quả sau
Định lý 3.1: Cho
2
(,)KBRM⊂ là một lớp các ước lượng của tham ẩn hỗn hợp
2
(, ) (22) (22)
r
MRM
λθσ
+
=∈Θ××⊂×× thoả các điều kiện:
(i)
2
() (22),hR M h K
+
⊂Θ× × ∀ ∈
(ii)
{
}
2
1
0,
m
i
i
E
R
ε
=

Tiếp theo, ta tìm xấp xỉ cho ước lượng Bayes
ˆ
hK
∈
. Để làm điều này ta đưa ra thêm một
số giả thiết và ký hiệu. Cho X là vectơ ngẫu nhiên có trị trong
2
R
. Giả sử tập trị I của X là tập
compact trong
2
R
.
Ký hiệu :
(): (, )
B
IBIM= với (2 2)
r
MRM
=
××

(): (, )CI CIM=

(): (, )
r
CI CIR
′
=


Chứng minh: Vì K thoả các điều kiện của định lý 3.1, nên tồn tại ước lượng Bayes
ˆ
hK
∈
của tham ẩn hỗn hợp
λ
θσ
=
2
(, ).
Trước hết, theo giả thiết ,
0C
′
∃>
sao cho:
() , , (2 2)fx C xI M
λ
λ
+
′
≤
∀∈ ∀∈Θ× ×
.
Tiếp theo, với ước lượng Bayes
ˆ
hK
∈
, 0C
′
′

ε
>
cho trước, theo định lý Lusin, tồn tại các
hàm liên tục
,gg
′′′
xác định trên
2
I
R⊂ sao cho
{}
ε
μ
′′
∈≠< ∀=
′′′
ˆ
:() () 1.
8. . . .
jj
x
Ihx gx j r
rCC C

với
12
ˆˆˆ ˆ
( , , , )
r
hhh h

,
ˆˆ
hh gg
hg
gg
hh
⎛⎞
′′ ′′ ′′ ′′
⎛⎞
′′ ′′
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
′
′′′
′′ ′′
⎝⎠
⎝⎠

Trong đó
μ
là độ đo Lebesgue trên R
2
và C được xác định như trong định lý 1.1 và 1.2.
Tiếp theo, xét độ đo tích
η
τν
=× với
,

Θ× ×
≤−
∫∫

(2 2)
(2 2)
ˆˆ
(() () () () )()()()
2
r
RM
I
M
Chxgx hxgx fx dxdx
λ
ε
μη
+
×
Θ× ×
′′ ′′′′
=−+− <
∫∫
Science & Technology Development, Vol 11, No.10 - 2008

Trang 14 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
Tương tự như định lý 1.2 và 2.2 với hàm liên tục

12 12
21 22
ˆˆ
(( 1) ( 1)) (( 1) ( 1))
ˆ
ˆˆ
(( 1) ( 1)) (( 1) ( 1))
bb Mn n Mn n
bM
Mn n Mn n
bb
⎛⎞
+× + +× +
⎛⎞
=∈=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
+× + +× +
⎝⎠
⎝⎠
%

sao cho
12
1
ˆ
,
()
2. .

C
ε
+
′′
−<
với
11 12
21 22
gg
g
gg
′
′′′
⎛⎞
′′
=
⎜⎟
′
′′′
⎝⎠

Ký hiệu
12
12 12
ˆˆ
ˆ
,
ˆ
,( . ) ,
(,)

()( )( )
nn ab
CI
MI
Cg P f x dx dx
λ
μη
+
Θ× ×
≤−
∫∫

12
12
ˆ
ˆ
,
,
()
()
(2 2)
( )()()()
nna
nnb
CI
CI
MI
Cg P g P f x dx dx
λ
μη

()
111
(2 2)
( )()()()
2
r
nna
nnb
CI
CI
jij
MI
CgP gP fxdxdx
Suy ra
12
ˆ
ˆ
,( . )
ˆ
() ( )
nn ab
hP
ψ
ψε
+
−< và định lý 3.2 chứng minh xong .
Thuật toán: Tiếp theo ta đưa ra thuật toán xây dựng đa thức 2 biến xấp xỉ ước lượng
Bayes của tham ẩn định vị
λ
θσ

,( , )+nn ab
P sao cho:
**
12
,( . )
ˆ
() ( ) 4
nn ab
hP
ψ
ψε
+
−<.
Đa thức 2 biến
**
12
,( , )+nn ab
P chính là đa thức cực tiểu phải tìm của ước lượng Bayes
ˆ
hK∈

cho tham ẩn hỗn hợp
λ
θσ
=
2
(, ).
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 10 - 2008

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 15

1
() .1
x
fx
θ
θ
θ
≤≤
=
trong đó
(0 )
1[0,]
1
0[0,]
x
x
x
θ
θ
θ
≤≤
∈
⎧
⎪
=
⎨
∉
⎪
⎩


ψ
θμτθ
Θ
=
∫∫

22
2
,
10
2
2
00 0
10
12
2
00 0
(()).()()
1
2 . ( )
21 217
.2
(1) (1)(2)3
na
nn n
ij i
ij i
ij i
ij i
nn n

()
na
P
ψ
ta được hàm số nhiều biến ()Fa sau đây :
012
( ) ( , , , , )
n
Fa Fa a a a=

12
,
2
00 0
21 217
() . 2
(1) (1)(2)3
ij i
nn n
na i j i
ij i
Paa a
ij i i
ψ
++ +
== =
−−
== − +
++ + +
∑∑ ∑

ON THE APPROXIMATION OF THE BAYESIAN ESTIMATORS FOR
COMPOUND PARAMETER IN THE 2_ DIMENSIONAL NONLINEAR
STATISTICAL MODELS
Ung Ngoc Quang
University of Natural Sciences, VNU-HCM
ABSTRACT: The paper describes the approximation of Bayesian estimator for the
location parameter, variance parameter and compound parameter in the 2 – dimensional
nonlinear models.
Keywords: Bayesian estimators, compound parameter, two - dimensional nonlinear
models, polynomial functions.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. P.Muller, F.A.Quintana, Nonparameter Bayesian Data Analysis, Statistical Sciences,
Vol.19, No.1 (2004), 95 – 110.
[2]. [P.M.Lee, Bayesian Statistics, Oxford University Press Inc, (2004).
[3]. P.Congdon, Bayesian Statistical Modelling, John Wiley, 2005.
[4]. Ung Ngọc Quang (1990), Về sự tồn tại ước lượng Bayes trong mô hình thống kê với
không gian tham compắc , Tạp chí Toán học , Tập 18 , Số 1, 1-8 .
[5]. Ung Ngọc Quang (1994), On the existence of Bayesian estimates in nonlinear
statistical models with compact parameter space, Acta Mathematica Vietnamica, Vol
19 .No.2 , 149 – 160 .
[6]. Ung Ngọc Quang (1995), On the existence of Bayesian estimators in
multidimensional nonlinear statistical models with compact parameter space ,
Vietnam Journal of Mathematics , Vol.23 , No .2 , 229-240 .
[7]. Ung Ngọc Quang (2002), Về sự tồn tại ướ
c lượng Bayes trong mô hình thống kê vô
hạn chiều với không gian tham compắc , Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ ,
Tập 5 , Số 11 , 5-11 .
[8]. Ung Ngọc Quang(1994) , Về một xấp xỉ ước lượng Bayes trong mô hình thống kê phi