TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 10, SỐ 12 - 2007
Trang 39
VỀ ƯỚC LƯỢNG BAYES TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Ung Ngọc Quang
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM
(Bài nhận ngày 02 tháng 04 năm 2007, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 15 tháng 12 năm 2007)
TÓM TẮT: Trong bài này, tác giả chỉ ra sự tồn tại ước lượng Bayes trong một lớp hàm
đo được, bị chặn nhưng không liên tục. Tác giả cũng tìm được xấp xỉ của ước lượng Bayes
trong một lớp hàm đo được, bị chặn.
Từ khóa: Tiêu chuẩn compact tương đối, mô hình phi tuyến 2_chiều, ước lượng Bayes.
1.ĐẶT VẤN ĐỀ
Thống kê Bayes nói chung và ước lượng Bayes nói riêng đang được khả
o sát rộng rãi (
xem [1] – [5]). Trong [5] đã chứng minh sự tồn tại ước lượng Bayes dựa trên tiêu chuẩn về
tính compact tương đối của một lớp hàm đo được bị chặn( tiêu chuẩn này tương tự như tiêu
chuẩn compact tương đối của Ascoli – Arzela đã được phát triển trong [6]).
Bài này sẽ tiếp tục khảo sát ước lượng Bayes dựa vào tiêu chuẩn compact tương đối nêu
trên. Trước hết ta đưa ra vài ký hiệu :
I : Không gian metric compact với metric
(, ),,dxy xy I
∈
.
X : Phần tử quan trắc ngẫu nhiên có tập trị là I
r
R
: Không gian Euclide r_chiều

(),I
r
BB: Các
σ
Θ : Tập compact thuộc 
r

Định nghĩa 2.1
Hàm Borel đo được
→ :( , ( )) ( , )
r
hI I
r
BB
gọi là ước lượng của tham ẩn
θ
∈Θ⊂
r
.
Ước lượng h gọi là bị chặn nếu:
∈

sup ( )
r
xI
hx
.
Tập hợp tất cả các ước lượng bị chặn ký hiệu là

(, )
r
BI

r
x
dxy hx hy h K
δε
<⇒ − <∀∈


Tập hợp
⊂ (, )
r
KBI gọi là đồng bị chặn tại từng điểm trên I nếu
(, 0)
x
xIM
∀
∈∃ >

sao cho
(() , )
r
x
hx M h K≤∀∈


Tiếp theo, ta sẽ phát biểu một tiêu chuẩn compact tương đối trong

(, )
r
BI . Tiêu chuẩn
này đã được chứng minh trong [5] (xem [5], định lý 2.2).

chuẩn Ascoli-Arzela, ta phải xậy dựng một lớp hàm K gồm các hàm đo được, bị chặn nhưng
không liên tục và tạo thành một tập compact tương đối trong không gian Banach
(, )
r
BI .
Định lý sau đây sẽ chỉ ra sự kiện đó cho tập
⊂

1
(, )KBI , với
1
I ⊂

(xem [7], bài tập
576).
Định lý 2.3 (Về một tập compact tương đối trong

1
(, )BI ): Cho tập compact [0,1]I = .
Xét các tập hợp thuộc I có dạng:
Xét tập
{
}
:1
n
Kfn=≥, trong đó

1
0
n

−
=
−
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
U
và
1
21
0
221
,
22
n
c
n
nn
i
ii
E
−
−
=
+
⎡
⎤
=
⎢

Trang 41
Thật vậy, lấy
n
x
E∈
. Ta thấy
i
∃
sao cho
212
,
22
nn
ii
x
−
⎡
⎤
∈
⎢
⎥
⎣
⎦
.
Lúc đó,
0
ε
∀>, ta chọn
1
(,)

⎢⎥
⎣⎦

Do đó
() () 1
nn
fx fy==. Nên () () ,
nn n
f
xfy fK
ε
−
<∀∈.
Mặt khác, lấy
c
n
x
E∈
. Ta thấy i
∃
sao cho
221
,
22
nn
ii
x
−
⎡
⎞

Suy ra
221
,
22
c
n
nn
ii
yE
−
⎡⎞
∈∈
⎟
⎢
⎣⎠

Do vậy
() () 0
nn
fx fy
=
= . Nên
() () ,
nn n
f
xfy fK
ε
−
<∀∈
.

X
ϕ
θε
=
+
Ta sẽ sử dụng khái niệm như hàm tổn thất
((), )Lhx
θ
, hàm mạo hiểm ()h
ψ
, phân phối
tiên nghiệm
()d
τ
θ
, ước lượng Bayes v.v…đã trình bày trong các định nghĩa 3.3, 3.4 trong [5].
Tương tự như định lý 3.2 trong [5], ta có định lý tồn tại ước lượng Bayes như sau:
Định lý 3.1: Giả sử
(, )
r
K
BIR⊂ là tập các ước lượng của tham ẩn
r
R
θ
∈Θ⊂ thỏa các
điều kiện:
Science & Technology Development, Vol 10, No.12 - 2007

Trang 42

ϕ
θε
=
+
Trong đó:
I: Tập compact thuộc

2

X: Đại lượng quan trắc ngẫu nhiên có tập trị là
⊂

2
IΘ
: Tập compact thuộc 
2θ
: Tham ẩn định vị,
θ
∈Θ

ϕ
: Hàm phi tuyến cho trước,
ϕ
Θ→

h
của tham ẩn
θ
∈Θ⊂
r

Trong [5] đã chỉ ra đa thức ấy có dạng
,12
(, )
nma
P
xx
+
, với số bậc
()()(,)nm nmh
ε
+=+ và với hệ số
12
( , , , )
r
aaa a= , trong đó

ˆˆ
(( 1) ( 1)), 1,
jj
ks
aaMn m j r=∈ +×+∀=.
Nhắc lại rằng, ta kí hiệu
(( 1) ( 1))Mn m
+

ˆˆ
(( 1) ( 1))
jj
ks
aaMn m=∈ +×+. Điều này có nghĩa,
(
)
,
1
,!( )
r
j
nma
j
aa P
ψ
+
+
=
∀= ∃ ∈
. Do đó tồn tại hàm nhiều biến

[
]
:((1)(1))
r
FMn m
+
+× + →


]
:((1)( 1))
r
FMn m
+
′′
+× + →

được xác định bởi
,
() ( )
nma
Fa P
ψ
′′
+
=
.
Như vậy số bậc n + m không được xác định duy nhất và do đó hàm F không được xác định
trên cùng một không gian
[
]
(( 1) ( 1))
r
Mn m+× +
. Điều này gây khó khăn cho việc xây dựng
đa thức xấp xỉ
,( )nmanm
P
++

ε
∀
> , tồn tại hữu hạn
12
, , ,
q
hh h K
∈
sao cho:
1
(, )
2. .
q
j
j
KBh
CC
ε
=
⊂
′
U
, trong đó ,CC
′
: là hằng số được xác định theo các định lý 3.1 và 3.2.
Tiếp theo, ta xét các điểm
12
, , ,
q
hh h K

11 11
1,()
() ( )
nmanm
hP
ψ
ψε
++
−
< .
Lập luận tương tự cho các
j
h còn lại, cuối cùng ta thấy, với
q
h , theo định lý 3.2, tồn tại
,
qq
nm∈∈ và đa thức tương ứng
,( , )
qq qq
nmanm
P
+
có số bậc
()()(,)
qq qqq
nm nmh
ε
+=+ và có hệ số
(, ) (( 1)( 1))

+
có bậc n + m và có hệ số
[
]
(, ) (( 1) ( 1))
r
anm M n m∈+×+sao cho
,(, )
() ( ) ,
mnanm
hP hK
ψψ ε
+
−
<∀∈

Thật vậy, lấy
ˆ
hK
∈
. Vì
1
(, )
2.
q
j
j
KBh
CC
ε


Trang 44
()
ˆ
() () () ( )( )
ˆ
() ( )( )
2
r
j
I
R
j
I
BI
Chx h x f x dx d
Ch h f x dx d
θ
θ
μ
τθ
ε
μτθ
Θ
Θ
≤−
=− <
∫∫
∫∫


j
g
này, sẽ tồn tại các số nguyên dương
,
jj
nm
và đa thức tương ứng với chúng là
jj
nm
P
+
có bậc
jj
nm+ và có hệ số (, ) (( 1)( 1))
r
jj j j
an m M n m
⎡
⎤
∈+×+
⎣
⎦
sao cho
,( , )
()
4.
jj jj
jnmanm
CI
gP

CI
I
g P Lgxx LP xx f x dx d
Cg P f x dx d

Tiếp theo, vì
11
max( ), max( )
jj
jq jq
nnmm
≤≤ ≤≤
==, nên ta xây dựng được đa thức
,(, )nmanm
P
+
có
bậc m + n và có hệ số
[
]
(, ) (( 1) ( 1))
r
anm M n m∈+×+ thỏa tính chất sau:
11
,(,) 1 2 ,(,) 1 2 1 2 1 2 ,(,) 1 2
( , ) ( , ) 0. . 0. . ( , )
jj
jj jj jj jj
nm
nm

(, ) (, )
4.
jnmanm
CI
gxx P xx
CC
ε
+
−<
′

Vậy nên:
ε
ψψ
+
−<
,(, )
() ( )
2
jnmanm
gP
Cuối cùng:
,(, )
ˆ
() ( ) ,
nmanm
hP hK
ψψ ε
+
−<∀∈

[7]. Yu.S.Otran, Bài tập lý thuyết hàm số, biến số thực, NXB Đại học, Hà Nội, (1979).
PHỤ LỤC
Trong phụ lục này, ta mô tả và biểu thị bằng hình vẽ hàm đo được, bị chặn, không liên tục
đã được khảo sát trong định lý 2.3
Xét đoạn I = [0,1]. Ta đặt
11
11
,1 , 0,
22
c
EE
⎡
⎤⎡⎞
==
⎟
⎢⎥ ⎢
⎣
⎦⎣⎠

Lúc đó
1
1
1
1
()
0
c
x
E
fx

⎢⎥⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢
⎣⎦⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎠⎣⎠ ⎣ ⎠
UU

Lúc đó
2
2
2
1
()
0
c
x
E
fx
x
E
∈
⎧
=
⎨
∈
⎩

Science & Technology Development, Vol 10, No.12 - 2007

Trang 46

−
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤
=∪∪∪=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦
+
⎡⎞⎡⎞⎡⎞⎡⎞⎡ ⎞
=∪ ∪ ∪ =
⎟⎟⎟⎟ ⎟
⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣⎠⎣⎠⎣⎠⎣⎠⎣ ⎠
U
U

Lúc đó
3
3
3
1
()
0
c
x
E
fx
x
E
∈
⎧
⎪

∪∪∪ =
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦
U

41
4
444444444
21
44 44 44 4 4
0
123456789
0,,,,,
222222222
10 11 12 13 14 15 2 2 1
,,, ,
22 22 22 2 2
c
i
E
ii
−
−
=
⎡⎞⎡⎞⎡⎞⎡⎞⎡⎞
=∪∪∪∪∪
⎟⎟⎟⎟⎟
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎠⎣⎠⎣⎠⎣⎠⎣⎠
+

1

0
0.5 1
Hình 1 (cho hàm
1
()
f
x )

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 10, SỐ 12 - 2007
Trang 47

1


Hình 3 (cho hàm
3
()
f
x )