TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009

91
MỘT VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN CÂU HỎI CỦA BING
ONE PROBLEM CONCERNING BING’S QUESTION

Nguyễn Hoàng Thành
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
R.H.Bing đã sử dụng một ví dụ về tập liên thông đường X trong
3
¡
và chứng minh tính
chất điểm bất động của X trong bài báo của ông trong tạp chí Amer.Math.Monthly
76(1969),119-132. Trong bài báo này ông còn đưa ra một câu hỏi (câu hỏi 5) là liệu tích
Descartes Xx[0,1] có hay không tính chất điểm động. Ngay sau đó W.L.Young đã trả lời khẳng
định cho câu hỏi của Bing và Le Hoang Tri đã chứng minh được rằng nếu A là một AR compact
thì XxA có tính chất điểm bất động.
Bài báo này chỉ ra một ví dụ về tập A không là AR có tính chất điểm bất động mà tích
Descartes XxA ( trong đó X là tập thiết lập bởi R.H.Bing trong Theorem 14 của [1] ) có tính chất
điểm bất động.
ABSTRACT
in the American Mathematical Monthly (76-1969, pp119-132) R.H.Bing utilized an
example of an arcwise connected set X in
3
¡
with a fixed point property. In that paper, he
poses a question (question 5) if Xx[0,1] has a fixed point property. In 1970 W.L.Young gave a
positive answer to Bing’s question. Le Hoang Tri (1995) proves that if A is a compact AR-space
then XxA has a fixed point property. This paper gives an example of set A which has a fixed

2
12
11
A {(0,y) | y [-1,1]}, A ={(x,sin )| x (0, ]}
xπ
= ∈∈ ∈
và
12
AA A
= ∪
.Ta dễ
dàng có được các kết quả sau
Bổ đề 1. A không phải là một tập liên thông đường và vì vậy nó không phải là
một AR.
Bổ đề 2. A có tính chất điểm bất động.
2. Giải quyết vấn đề
Định lí sau đây là câu trả lời cho câu hỏi đã nêu trong phần đặt vấn đề.
Định lí 2. Tồn tại một tập A có tính chất điểm bất động mà không phải là AR và
XxA có tính chất điểm bất động.
Chứng minh.
Giả sử XxA không có tính chất điểm bất động, khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục
f :XxA XxA→
không có điểm bất động. Từ đó theo kết quả của Young (xem [5]) thì
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009

93

11
f(XxA ) XxA⊄
. (1)

.Khi đó
11
f(XxA ) XxA∩ ≠∅
.
Vậy
11
f(XxA ) XxA∪
là tập liên thông đường.
Do
11 12 1
(f (XxA ) XxA ) (f(XxA ) XxA ) f (XxA )∪∩ ∪ ⊃
nên
11 12
(f (XxA ) XxA ) (f(XxA ) XxA )∪∪ ∪
liên thông đường. Từ đó do
1 2 11 12
(XxA ) (XxA ) (f(XxA ) XxA ) (f(XxA ) XxA )∪ = ∪∪ ∪
và do
12
XxA XxA XxA= ∪
nên ta có
XxA
là tập liên thông đường. Suy ra A liên thông
đường (vô lí).
Vậy
12
f(XxA ) XxA⊂
. (2)
Chọn
xX∈

sao cho
0
1n
p q f(x,M ) 0>
.
Suy ra
0
n2
q f(x,M ) A∈
và vì vậy
0
n2
f(x,M ) XxA∈
(3)
Giả sử
22
f(XxA ) XxA⊄
. Khi đó
21
f(XxA ) XxA∩ ≠∅
.
Do đó
21
f(XxA ) XxA∪
là tập liên thông đường.
Và do (3) nên
22
f(XxA ) XxA∩ ≠∅
suy ra
22

Suy ra
2
q f(XxA) q(XxA )⊂
. Từ đó
1 12
1
p q f (XxA) p q(XxA ) (0, ]
π
⊂⊂ 
.
Do XxA là tập compact và
1
p qf
là ánh xạ liên tục nên tồn tại

01
ε min p q f (XxA)= 
. (5)
Xét 2 điểm
02
0
11
P( ,0),Q(ε ,sin ) A
πε
∈
và đoạn [P,Q] trên
2
A
.Ta thấy do (5) nên
10


[1] R.H.Bing, The elusive fixed point property, The Amer.Math.Monthly.76, pp119-
132, 1969.
[2] J. Dugundji and A.Granas, Fixed point theory, Springer, 2003.
[3] R.J.Knill and Cones, Product and fixed point. Fund. Math. 60, pp 35-46, 1967.
[4] Le Hoang Tri, On Bing's question about fixed point property. Acta Math. Vietnam.
20
[5] W.L.Young, A product space with the fixed point property, Proc. Amer. Math.
Soc. 25, pp 313-317, 1970.
, no. 2, 257-264, 1995.