Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tế
§1. TÍCH PHÂN HAI LỚP
Bài tập 1.1. Tính các tích phân hai lớp sau:
(a)
1

0
dx
1

0
(x +y )dy, (b)
1

0
dx
x

x
2
xy
2
dy, (c)
2

0
d ϕ
a

0
r

−1
f (x,y )dy, (c)
1

0
dx
x
2

x
3
f (x,y )dy,
(d)
1

−1
dx
1−x
2

−

1−x
2
f (x,y )dy, (e)
2

1
dx


Bài tập 1.5. Trong tích phân hai lớp


f (x,y )dxdy hãy chuyển sang toạ độ cực r,ϕ
và thiết lập các cận tích phân nếu
(a)  là đường tròn x
2
+y
2
≤ a
2
,(a > 0),
(b)  là đường tròn x
2
+y
2
≤ ax, (a > 0),
(c)  là vành a
2
≤ x
2
+y
2
≤ b
2
,
(d)  là tam giác 0≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1−x.
Bài tập 1.6. Thay đổi thứ tự lấy tích phân:
(a)
π

Bài tập 1.8. Tính tích phân


(2x − 3y )dxd y trong miền  được giới hạn bởi các
đường y = x
2
và y = 2−x
2
.
Bài tập 1.9. Tính các tích phân sau:
(a)

x
2
a
2
+
y
2
b
2
≤1

1−
x
2
a
2
−
y

b
n
thỏa mãn:
a. Chuỗi

a
n
hội tụ và chuỗi

b
n
phân kỳ sao cho a
n
 b
n
, n = 1,2,...
b. Chuỗi

a
n
hội tụ và chuỗi

b
n
phân kỳ sao cho |a
n
| |b
n
|, n = 1,2,...
Bài tập 2.2. Dùng định nghĩa chứng minh các chuỗi sau hội tụ:

1
3

+

1
2
2
+
1
3
2

+··· +

1
2
n
+
1
3
n

+···,
d.
1
2
+
3
2

n−k
a. Chứng minh (định lý Mertenxơ): nếu chuỗi

a
n
hội tụ đến A và

b
n
hội tụ đến
B, đồng thời ít nhất một trong 2 chuỗi nói trên hội tụ tuyệt đối thì chuỗi tích

c
n
hội tụ đến A.B.
b. Lấy ví dụ hai chuỗi hội tụ nhưng tích (theo Cauchy) của chúng là phân kỳ.
2. CHUỖI SỐ 2
Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tế
c. Lấy ví dụ hai chuỗi phân kỳ nhưng tích (theo Cauchy) của chúng là hội tụ tuyệt
đối.
Bài tập 2.4. Xét tính hội tụ của các chuỗi sau:
a.
∞

n=1
n.sin
1
n
b.
∞

Bài tập 2.5. Dùng nguyên lý hội tụ Cauchy xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
a.
∞

n=1
cosx
n
2
n
b.
∞

n=1
1

(3n −1).3n
c.
∞

n=1
sinnx −sin(n +1)x
n
d.
∞

n=1
1
n
Bài tập 2.6. Dùng dấu hiệu so sánh xét sự hội tụ của các chuỗi dương:
a.

2
n
b.
∞

n=1
(n +1)
2
n
n
2
.3
n
c.
∞

n=1
3 + (−1)
n
2
n+1
d.
∞

n=1

2n
2
+2n −1
5n

2
3
(n+1)
2
h.
∞

n=1
1
n!

n
e

n
Bài tập 2.8. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
a.
∞

n=1
1
n.lnn
b.
∞

n=1

n + 2−

n −2

∞

n=1

n
1
n
2
+1
−1

2. CHUỖI SỐ 3
Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tế
Bài tập 2.9. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
a.
∞

n=1
(−1)
n

2n + 100
3n
2
+n

b.
∞

n=1

n=2
1
ln(n!)
,
d. 1 +
2
5
+
3
5
2
+
4
5
3
+....
§3. CHUỖI HÀM
Bài tập 3.1. Xác định tập hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của các chuỗi hàm sau:
a.
∞

n=1
x
n
1 +x
2n
b.
∞

n=1

n
Bài tập 3.2. Khảo sát sự hội tụ đều của các chuỗi hàm trên các tập tương ứng sau:
a.
∞

n=1
x
n
n
2
, −1  x  1; b.
∞

n=1
cosnx
3
n
, −∞  x  +∞
Bài tập 3.3. Khảo sát sự hội tụ đều của các dãy hàm trên các tập tương ứng sau:
a. f
n
(x) = n


x +
1
n
−

x

2

3
n−1
;
b.
∞

n=1
n!
n
n
(
x −2
)
n
;
c.
∞

n=1
2
n
.n!
(2n)!
x
2n
;
d.
∞

n
;
c.
∞

n=1
(
−1
)
n−1
(
2n −1
)
x
2n−2
;
d.
∞

n=1
n(n + 1)x
n−1
;
e.
∞

n=1
n.x
n
;

1 +2x −3x
2
.
3. CHUỖI HÀM 5