TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009
MỘT TƯƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ ABC CHO CÁC HÀM NHIỀU BIẾN
Nguyễn Thị Phương Nhung
Trường Đại học Vinh
Tóm tắt.Trong bài báo này, bằng kỹ thuật Wronskian trên đa thức chúng tôi
chứng được một kết quả tương tự của định lý abc cho các hàm nhiều biến.
1. Giới thiệu:
Giả sử F là một trường đóng đại số có đặc số 0 và f (z) là một hàm khác hằng
số với hệ số thuộc F . Ký hiệu r(f) là số các không điểm phân biệt của f. Định lý
abc cho hàm một biến được phát biểu như sau:
Định lý abc([3]). Giả sử a(z), b(z), c(z) là các đa thức trên F không đồng thời là
hằng số sao cho a + b = c. Khi đó
max {deg(a), deg(b), deg(c)} ≤ r(abc) − 1.
Trong [2], Hu-Yang đã chứng minh một kết quả suy rộng của định lý trên, trong
đó đẳng thức a + b = c được thay bởi f
0
+ · · · + f
n+1
= 0 Trong bài báo này, chúng
tôi chứng minh được một kết quả tương tự của định lý abc cho các hà m nhiều biến.
Giả sử f là một đa thức nhiều biến với hệ số trong F và f có sự phân tích:
f =
s

i=1
p
α
i
i
,
trong đó các đa thức p

0
+ · · · + f
n+1
= 0. (1)
97
Khi đó
max
0≤i≤n+1
deg f
i
≤
n(n + 1)
2
(N
0
(f
0
· · · f
n+1
) − 1).
2. Chứng minh Định lý:
Giả sử f là một hàm hữu tỉ nhiều biến, ta viết f dưới dạng:
f =
f
1
f
2
,
trong đó f
1

p
f
. Chúng ta có một số tính chất
đơn giản của µ
p
f
sau đây.
Bổ đề 2.1.Giả sử f, g là hai đa thức và p ∈ F [x
1
, , x
l
] là một đa thức bất khả
quy, ta có:
a) µ
p
f+g
≥ min(µ
p
f
, µ
p
g
),
b)µ
p
fg
= µ
a
f
+ µ

µ
m
∂x
µ
m
m
,
trong đó µ
i
≥ 0 là các số nguyên. Ta ký hiệu hạng của ∆ bởi:
ρ(∆) =
m

i=1
µ
i
.
Bổ đề 2.2. Giả sử ϕ là một đa thức nhiều biến thỏa mãn ∆ϕ ≡ 0, p là một đa
thức bất khả quy. Khi đó
µ
p
∆ϕ
≥ −ρ(∆) + µ
p
ϕ
.
Chứng minh: Giả sử µ
p
ϕ
= m, khi đó tồn tại đa thức f sao cho ϕ = p

≥ −1 + µ
p
ϕ
.
Từ đó ta thu được
µ
p
∆ϕ
≥ −ρ(∆) + µ
p
ϕ
.
Cho ∆
0
, , ∆
s
sao cho ρ(∆
i
) ≤ i và các đa thức h
0
, , h
s
trong F[x
1
, , x
l
],
Wronskian suy rộng có dạng
W [h
0

0
f
n
,
Q =
f
0
f
n+1
W (f
0
, , f
n
)
.
Từ đó ta có
f
n+1
= P Q. (3)
Trước hết, ta chứng minh rằng
deg Q ≤ ρN
0
(f
0
· · · f
n+1
)
trong đó ρ =

n

n
)
= µ
p
f
0
···f
ν−1
f
ν+1
···f
n+1
W (f
0
, ,f
ν−1
,f
ν+1
, ,f
n+1
)
=
n+1

j=0
µ
p
f
j
− µ

n
f
α
n
,
99
α
i
∈ {0, n + 1}\{ν}, δ = ±1. Từ các Bổ đề 2.1, 2.2 chúng ta có
µ
p
∆
0
f
α
0
∆
1
f
α
1
···∆
n
f
α
n
≥
n

j=0

n+1
)
≥ µ
p
n
j=0
f
α
j
− ρ.
Do đó
µ
p
f
0
···f
n+1
W (f
0
, ,f
n
)
≤ ρ.
Theo định nghĩa bậc của hàm hữu tỉ, ta có:
deg Q ≤ ρN
0
(f
0
· · · f
n+1

1
f
β
2
f
β
n
.
Với mỗi hạng tử ta có
deg

∆
0
f
β
O
∆
1
f
β
1
∆
2
f
β
2
∆
n
f
β

β
1
f
β
1

+ · · · + deg

∆
n
f
β
n
f
β
n

≤ −ρ(∆
0
) − ρ(∆
1
) − · · · − ρ(∆
n
)
= −ρ.
Do đó
deg P ≤ −ρ. (5)
Từ (3), (4), (5) chúng ta có
deg f
n+1

1
, , f
n
, ta có
max
0≤i≤n+1
deg f
i
≤
n(n + 1)
2
(N
0
(f
0
· · · f
n+1
) − 1).
Định lý được chứng minh.
Tài liệu tham khảo
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Browkin, J. and Brzezinski, J., Some remarks on the abc conjecture, Mathe-
matics of Computation, 62, (1994), 931-939.
[2] P.C. Hu and C.C.Yang, Notes on a generalized abc-conjecture over function
fields, Ann. Math. Blaise Pascal 8 (2001), No. 1, 61-71.
[3] Lang, S., Old and new conjectured Diophantine inequalities, Bull. Amer. Math.
Soc. 23 (1990), 3775.
[4] Leonid N. Vaserstein and Ethel R. Wheland, Vanishing polynomial sums, Com-
munications in Algebra, 31, No. 2, (2003), 751-772.
[5] Mason, R. C., Equations over function fields, Lecture Notes in Math. 1068