TỔNG HỢP CÁC BÀI TÍCH PHÂN SƯU TẦM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HAY NHẤT

1. Tích phân hàm phân thức
các dạng cơ bản
Các trường hợp đơn giản nhất có:
I.1 =
I.2 = với n tự nhiên khác 1
I.3 =
I.4 = với a > 0
Nguyên hàm I.1, I.2 tính được dễ dàng bằng cách áp dụng công thức có trong bảng
Nguyên hàm của các hàm số hợp (SGK trg 116). Nguyên hàm I.3 là bài tập 3d (SGK
trg 118) – cũng chỉ là nguyên hàm dạng (với .
I.4 là bài tập 4a (SGK trg 142). Để tính tích phân này ta đổi biến: đặt x = atgt.
Trường hợp tổng quát
Nếu P có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của Q thì phân thức có thể viết thành P/Q = T
+ R/Q (T, R lần lượt là thương và dư trong phép chia P : Q), tính tích phân hàm P/Q
qui về tính tích phân của đa thức T và tích phân của hàm hửu tỉ R/Q. Việc tính tích
phân của đa thức T không có gì khó khăn. Sau đây ta xét cách tính tích phân của
phân thức R/Q trong đó R là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức Q.
Trừong hợp 1. Q là tam thức bậc hai: Q =
Có ba khả năng:
(i). Q có hai nghiệm phân biệt
Khi đó có Q = . Biến đổi:
, ở đây m, n là hai hằng số.
Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1
(ii). Q có nghiệm kép
Khi đó có Q = . Biến đổi:

Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1 và I.2
(iii). Q vô nghiệm.
Khi đó Q = (k là hằng số). Biến đổi:

D. f(x) = 1 + . ĐS: 1 +
E. f(x) =
ĐS: ln2+
F. f(x) = 1 +
G. đặt t =
Thêm mấy bài trích từ đề thi TS ĐH & CĐ mấy năm gần đây để các bạn làm quen
H =
I =
J =
K =
2.Tích phân hàm lượng giác
Các dạng thường gặp
J.1 = .
J.2 = .
J.3 =
J.4 =
Trên là 4 nguyên hàm lượng giác cơ bản đã học (có trong Bảng các nguyên hàm SGK).
Từ các nguyên hàm cơ bản này ta dễ dàng tính được ,
…
Các nguyên hàm sau cũng khá thường gặp, hơn nữa cách tính chúng rất điển hình cho
cách tính tích phân các hàm lượng giác, nên cần nắm vững:
J.5 =
J.6 =
J.7 =
J.8 =
J.9 =
J.10 =
J.11 =
Tính J.5: tgx = sinx/cosx. Đặt u = cosx, đưa về tính nguyên hàm hửu tỉ dạng u’/u.
Trình bày gọn: = -ln|cosx| + C.


J.17 =

J.18 =

J.19 =

3. Phương pháp tích phân từng phần
ví dụ với J.11. Một số ví dụ khác:

J.20 =

J.21 =

Hướng dẫn giải các ví dụ

J.12: Mẫu = 1+cosx =

Chú ý dạng tổng quát cũng thường gặp: J.13: f(x) = J.14: f(x) =

J.15: biến đổi hàm dưới dấu tích phân g(x) = – 2cos2x.

J.20: đặt u = x, dv = dx/cos^2x.

J21: Một số đề thi TS ĐH&CĐ những năm gần đây để các bạn thực tập

D1 =

D2 =

D3 =

D4 =

D5 =

D6 =

D7 =

D8 =

D9 =

D10 =
3.Tích phân hàm vô tỉ đổi biến


Ví dụ 4:
Ví dụ 5:
Ví dụ 6:
Ví dụ 7:
Ví dụ 8:

Để tính tích phân các hàm vô tỉ ta còn dùng Phương pháp tích phân từng phần .
Trở lại ví dụ 7 trên đây:
Ta còn có thể giải: đặt u = , dv = dx; bài toán qui về tính tích phân dạng K4
Ngoài ra, thường thì ta cũng phải biến đổi chút ít mới đưa về các dạng quen thuộc

Ví dụ 9:
Ví dụ 10:

Hướng dẫn giải các ví dụ

vd4: Dạng K1, đặt x = sint (ví dụ1 SGK trg131)
vd5: Dạng K2, đặt x = 2sint (bài tập 3.26-e SBT)
vd6: Dạng K4, đặt t = x + . (bài tập 3.26-d SBT)
vd7: Dạng K3, đặt x = tgt, đưa về
Đây là tích phân lượng giác quen thuộc (xem phần tích phân luọng giác)
Cách khác: đặt t = x + .
Vd8: Với tích phân dạng có cách giải rất đặc trưng là đặt x = |a|/sint. Tuy
nhiên có thể làm cách khác, như với ví dụ này: đặt t = 1/x đưa về tích phân dạng K2,
hoặc đơn giản hơn, đặt t = đưa về tích phân hửu tỉ quen thuộc.
Vd9: Nhân lượng liên hiệp để khử căn ở mẫu,ta có ngay hai tích phân cơ bản
Vd10: Tương tự, nhân lương liên hiệp để khử căn ở mẫu, được

. Với tích phân thứ hai đặt t = .

Ta được: =
=
Khi do:

Đến đây ta xét 4 khả năng của c.
Khả năng 1: c=1
Khả năng 2: c=2
Khả năng 3: c=3
Khả năng 4: ta cã:
I =
Một số bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1.
2.
Dạng 2: Tính tích phân bất định
Phương pháp chung:
Ta xét 3 trường hợp của n:
Trường hợp 1: n=1 ta xét ba khả năng của =
Khả năng 1: nếu >0
Khi đó:
= = =

Do đó: =

Khả năng 2: nếu =0
Khi đó: =
Do đó: =-
Khả năng 3: nếu <0
Đặt x=tgt với
Trường hợp 2: khi n>1, bằng phép đổi biến