ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
TÍCH PHÂN
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu Cách chọn
2 2
a x
−
π π
 
= ∈ −
 
 
sin ; ;
2 2
Đặt x a t với t
π
 
= ∈
 
cos ; 0;hoặc x a t với t
−
2 2
x a
{ }
π π
 
= ∈ −
 
 

Đặt x a t với t
π
 
= ∈
 
cos ; 0;hoặc x a t với t
+ −
− +
a x a x
hoặc
a x a x
=
cos2Đatë x a t
− −
( )( )x a b x
= + −
2
( )sinĐatë x a b a t
+
2 2
1
a x
π π
 
= ∈ −
 
 
tan ; ;
2 2
Đặt x a t với t

Đổi cận:

Khi đó:
0 0
2 2 2
4 4 4
2 2 2 2 2
0 0 0
2 2
2 2
sin .sin
1 1 cos sin sin 1
1
cos cos cos cos
(tan ) 1 .( 0; sin 0 sin sin )
4 4 4
0
t t
x t t t
I dx dt dt dt dt
x t t t t
t t vì t nên t t t
π π π
π π π
 
− −
= = − = = = −
 ÷
 
 

2 2
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
0 0 0
4 4 4 4
2 2
2
0 0
sin (1 sin ). cos sin cos
1
sin 2 (1 cos4 ) ( sin 4 )
2
4 8 8 4 16
0
a
I x a x dx a t a t a tdt a t tdt
a a a a
td t dt t t
π π
π π
π
π
= − = − =
= = − = − =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
2
x
2
2


Đổi cận:

Khi đó:
1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
2
0
1 1
1 sin 1 sin .cos sin cos sin 2
4 4
1 1 1
(1 cos4 ) ( sin 4 )
2
8 8 4 16
0
I x x dx t t tdt t tdt tdt
t dt t t
π π π
π
π
π
= − = − = =
= − = − =
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Bài 4: Tính
1

∫ ∫ ∫ ∫
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
3
x 0 1
t
0
2
π
x 0 1
t 1 0
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Bài 5: Tính
2
3
ln
e
e
dx
I
x x
=
∫
Giải:
Đặt
ln
dx
t x dt
x

Giải:
Đặt t = sinx;
cosdt xdx
⇒ =

Đổi cận:Khi đó:

1
2
3 3
0 0
1
sin cos
6
I x xdx t dt
π
= = =
∫ ∫
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
4
x e e
2
t 1 2
x
0
2
π

4 20 20
1
Khi đó I x x dx t dt t
 
= + = = =
 ÷
 
∫ ∫
Bài 8: Tính
12 12
0 0
sin 4
tan 4
cos4
x
I xdx dx
x
π π
= =
∫ ∫
Đặt t = cos4x;
4sin4 sin4
4
dt
dt xdx xdx
⇒ = − ⇒ = −

Đổi cận:

Khi đó:

1
2
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Bài 9: Tính
2
3
0
cosI xdx
π
=
∫

Giải:
Ta có:
2 2 2
3 4 2 2
0 0 0
cos cos cos (1 sin ) cos
x
xdx xdx x dx
π π π
= = −
∫ ∫ ∫

Đặt: t = sinx;
cosdt xdx
⇒ =
Đổi cận:

=
∫

Giải:
Đặt t=tanx;
2
1
cos
dt dx
x
⇒ =

Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
6
x
0
2
π
t
0
1
x
0
4
π
t 0
1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------

6
cos
sin
x
I dx
x
π
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sinx;
cosdt xdx
⇒ =

Đổi cận:1 1
3 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
6 6 2 2
1
cos (1 sin ) 1 1 1 1
cos ( 1)
1
2
sin sin

6
π

2
π
t
1
2

1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---

Khi đó:

1 1
2 2
3 3 3 2 3 2 3 5
0 0 0 0
4 6
sin cos sin (1 sin )cos (1 ) ( )
1
1
4 6 12
0
I x xdx x x xdx t t dt t t dt
t t
π π
= = − = − = −

sin
0 0
1
sin2 1
0
x t t
I e xdx e dt e e
π
= = = = −
∫ ∫
Bài 14: Tính
2
2
0
sin2
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫

Giải:
Đặt t = 1+cos
2
x;
sin2 sin2dt xdx xdx dt
⇒ = − ⇒ = −

t t
x
π
= = − = = =
+
∫ ∫ ∫
Bài 15: Tính
4
3
0
tanI xdx
π
=
∫
Giải:
Đặt t = tanx
2 2
2
(1 tan ) (1 )
1
dt
dt x dx t dt dx
t
⇒ = + = + ⇒ =
+

Đổi cận

Khi đó:
1 1 1 1 1

1
I dx
x
=
+
∫
Giải:
Đặt t =
2
; 2x t x dx tdt
⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
9
x
0
2
π
t 2
1
x
0
4
π
t 0
1
x 0 1
t 0
1

∫
Giải:
Đặt
3
4 3 4 3 2
3
1 1
4
t x t x x dx t dt
= − ⇒ = − ⇒ = −

Đổi cận:Khi đó:
1 1
3
3 4 3 4
0 0
1
3 3 3
1
4 16 16
0
I x x dx t dt t
= − = = =
∫ ∫

Bài 18: Tính
0

2 2
x t với t dx t dt
π π
 
+ = ∈ − ⇒ = +
 ÷
 

Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
10
x 0 1
t 1
0
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---Khi đó:
0
6
2
1 0
1 3 3 3
3 3 6 18
2 4
0
I dx dt
x x

=
+ +
∫ ∫
Đặt x
4
= tant với

3 2
1
; ; (1 tan )
2 2 2 2 4
t vơiù t x dx t dt
π π π π
   
−
∈ − ∈ ⇒ = +
 ÷  ÷
   
Đổi cận:

Khi đó:
2
1 1
3 3 2
4
6 2
4)
0 0 0
1 1 tan 1
4 4 4 16

Bài 20: Tính
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
Giải:
Đặt t = ln(2-x)
2
dx
dt
x
−
⇒ =
−

Đổi cận:

Khi đó:
2 2
3
2
1 1 1
1 ln 2(2 2 1)
2
.2 2 2

−

Đổi cận:
Khi đó:

1 0 ln2
2 2
0 ln2 0
ln2
ln(2 ) ln 2
2 2 2
0
x t
I dx tdt tdt
x
−
= = − = = =
−
∫ ∫ ∫
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
12
x 1 e
t
1
2
x 1 1
t Ln2
0
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------

2 2
0 0 0
cos 1 tan
4
1 sin 1 tan
x t
I dx dt dt
x t
π π π
π
+
= = = =
+ +
∫ ∫ ∫
Bài 23: Tính
2
3
1
sin
I dx
x
π
π
=
∫
Giải:
Đặt
2
2
1 2

Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
13
x
0
2
π
t
0
4
π
x
3
π

2
π
t
3
3

1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Khi đó:
1
2
3
3

Đổi cận:
Khi đó:
2
1 1
2
1
ln ln2
(1 ln )
1
e
dt
I dx t
x x t
= = = =
+
∫ ∫
Bài 25: Tính
3
1
5
0
x
I x e dx
=
∫
Giải:
Đặt
3 2 2
3
3

1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫
Giải:
Ta có:
1 5 1 5 1 5
2 2
2 2 2
2
4 2 2
2
1 1 1
2
1
1
1
1
1

1 1
1t x dt dx
x
x
 
= − ⇒ = +
 ÷
 
Đổi cận:
Khi đó:
1
2
0
1
dt
I
t
=
+
∫
Đặt
2
tan (1 tan )t u dt u du
= ⇒ = +
Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
15
x
1
1 5

∫ ∫ ∫
Bài 27: Tính
2
3
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
Giải:
Ta có:
2 2
2
3 3 3
1 1
1 1
dx x dx
x x x x
=
+ +
∫ ∫
Đặt
3 2 3 2 2
2
1 1 2 3
3
tdt

 ÷
− +
−
 
+ +
 
 
− −
= − − + = = − =
 ÷
 ÷
 ÷
+
+ −
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 28: Tính
2
2
2
0
3
2 1
x
I dx
x x
=
+ +
∫

3 3 3 3 2
2 2 2 2
0 0 1 1
3
2
2 2 2
1
3 3 3( 1) 3( 3 3 1)
2 1 ( 1)
3
9 1 3
3 9 3 3 9 9ln 3 (3 1 ) 9(3 1) 9(ln3 ln1) 1 3 9ln3 8
2 2
1
x x t t t t
I dx dx dt dt
x x x t t
t
t t dt t t
t t
−
− − + −
= = = =
+ + +
 
 
= − + − = − + + = − − − + − + − = −
 ÷
 ÷
 

2 2
1 1
2 3 3 3 2 1
1 2
3 2 3 2 3 2
2 2
1 1
2 2ln 1 ln 2 2(ln3 ln2) (ln 4 ln3)
1 2
1 1
3 4 9 4 27
2ln ln ln ln ln
2 3 4 3 16
x x x
x x x x
e e t
I dx dx dt dt
t t
e e e e t t
dt dt t t
t t
 
+ + +
= = = = −
 ÷
+ +
+ + + + + +
 
= − = + − + = − − −
+ +

Khi đó:

4 2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 1
2 2
(1 ) 1
(1 )
(1 )
2
2 1 4
2(ln ln 1 2 ln ln 2ln
3 2 3
1
dx tdt dt
I dt
t t t t
t t
x x
t t
 
= = = = −
 ÷
+ +
+
+
 
 
= − + = − =

π
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
ù
2
1
2 2 2 2
2 3 2 3 3 4
0 0 0 0 0
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
1 cos2
(1 ) (1 sin ) .cos cos cos cos
2
1 1 1 1
(1 2 cos2 cos 2 ) cos2 2cos 2
4 4 2 8
t
I x dx t tdt t tdt tdt dt
t t dt dt tdt tdt
π π π π
π π π π
 
+
= − = − = = =
 ÷
 
= + + = + +

Giải:
2 2 2 2
3 2 2 2
6 6 6 6
3
cos cos cos (1 sin )cos (1 sin ) (sin )
sin 1 1 1 5
sin 1
3 2 3 2 24 24
6
I xdx x xdx x xdx x d x
x
x
π π π π
π π π π
π
π
= = = − = −
 
= − = − − + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 33: Tính
4
4 4
0
sin4
sin cos
x

0
x x x x x x x
I dx dx dx dx
x x x x x x
x
d x x
x
π π π π
π
π
= = = =
+ + −
−
−
= − = − − = − =
−
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Bài 34: Tính
3
2
4
cos
1 sin
x
I dx
x
π
π
=

−
= − = − = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Bài 35: Tính
2
4
sin cos
sin cos
x x
I dx
x x
π
π
 
−
=
 ÷
+
 
∫
Giải
2 2
4 4
sin cos (sin cos )
(ln sin cos ln 2
sin cos sin cos 2
4

3 2 2
0 0 0
cos 1 2
sin sin sin (1 cos ) (cos ) cos 1
2
3 3 3
0
x
I xdx x xdx x d x x
π π π
π
 
= = = − − = − − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Bài 37:Tính
cos3
sin
x
I dx
x
=
∫
Giải:
3 2 2
2
cos3 4 cos 3cos (4 cos 3) 4(1 sin ) 3
cos . (sin )
sin sin sin sin

sin2
x x x
I dx dx x dx x x dx x x x C
x x
x x C
−
= = = − = − − = − + +
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 39: Tính
1
4 2
0
1
x
I dx
x x
=
+ +
∫
Giải:
Đặt
= ⇒ =
2
2t x dt xdx
Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
21
x 0 1
t 0

Khi đó:
3
1
2
2 2
1
0
2
2
1 1
2 2
1 3
3
2 4
4
dt dy
I
t
y
= =
   
+ +
+
 ÷  ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
Đặt z =
⇒ =

---
3
3 3
2
2 2
2
1 1 1
2
2
3 3
1 3 1
3 3
2 4
1
3
3
4 4
4
dy dz dz
I
z
z
y
= = =
+
 
+
+
 ÷
 ÷

∫ ∫
Bài 40: Tính
1
2
0
(2 1)
x
I dx
x
=
+
∫
Giải:
Đặt
−
= + ⇔ = ⇒ =
1
2 1
2 2
t dt
t x x dx
Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
23
z
1
3

3


−
     
= = = − = + = −
 ÷  ÷  ÷
+
     
∫ ∫ ∫
Bài 41: Tính
0
2 9
1
( 1)I x x dx
−
= +
∫
Giải:
Đặt
= + ⇒ =
1t x dt dx
Đổi cận :
Khi đó:
0 1 1 1
2 9 2 9 2 9 11 10 9
1 0 0 0
12 11 10
( 1) ( 1) ( 2 1) ( 2 )
1
1 2 1 1
2
12 11 10 12 11 10 660

0
x
d
dx dx x
I
x x
x
π π π
π
 
 ÷
 
= = = = =
+
∫ ∫ ∫
Bài 43: Tính
1
15 8
. 1 3 .I x x dx
= +
∫
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
24
x -1 0
t
0

1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------

4
1 1 29
5 3
72 72 270
1
2 2
t
I x x dx x x x dx t dt
t t
t t dt
−
= + = + =
 
 ÷
 
= − = − =
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 ÷
 
∫ ∫ ∫
∫
Bài 44: Tính
1
3
2
0

0 0 0 0
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1 1. 1.
5 5
0
x x x x x x
x
I dx dx dx x x x dx
x x
x x
x x x x
x
x x dx x dx x x xdx x x xdx
+ − + −
= = = = + −
+ −
+ +
+ + + −
= + − = + = = + −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt
= + ⇒ =
2