Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 1/25
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

A. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm mở rộng
1.
Caxadx +=
∫

2.
C
x
dxx +
+
=
+
∫
1
1
α
α
α

(
)
1≠
α


Cxdxx +−=
∫
cos.sin

8.
∫ ∫
+=+= Ctgxdxxtg
x
dx
)1(
cos
2
2

9.
∫ ∫
+−=+= Cgxdxxg
x
dx
cot)cot1(
sin
2
2

10.
∫
+= Cx
x
dx
2

dx
ln
1

)0(
≠
a

3.
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1

)0(
≠
a

4.
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
)sin(
1
)cos(


Cbaxtg
a
++= )(
1

)0(
≠
a

7
∫ ∫
++=
+
dxbaxg
bax
dx
))(cot1(
)(sin
2
2Cbaxg
a
++−= )(cot
1

)0(
≠

1
22

)0(
≠
a

10.
∫
+++=
+
Caxx
ax
dx
2
2
lnB. PH
ƯƠNG PHÁP TÌM TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ

I. Tích phân hàm đa th
ức
1) Tích phân dạng
( )
b
a
A= P x dx
∫

x
 
 
 
∫
trong đó
Q(x) là một hàm đa thức.
Chú ý:
+) Hàm số
1
y
x
=
có một nguyên hàm là hàm số
ln
y x
=

+) Hàm số
1
n
y
x
=
(n nguyên dương, n>2) có một nguyên hàm là hàm
số
( )
1
1
1

 
+
 
∫

trong đó Q(x) là một hàm đa thức.
Chú ý:
+) Hàm số
1
y
ax b
=
+
có một nguyên hàm là hàm số
1
ln
y ax b
a
= +

3) Tích phân dạng
(
)
( )
b
a
P x
A= dx (k , 1)
ax
k

b'
a'
A= dt
k
Q t
t
∫

4) Tích phân dạng
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax + bx + c
có hai nghiệm x
1,
x
2
)
Phương pháp:
Thực hiện biến đổi tích phân như sau:

( )( )

∫ ∫( ) ( )
( )
2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ln ln |
dx x x x x
a x x x x x x a x x
β
β
α
α
 
− = − − −
 
− − − −
 
∫

Chú ý:
+) Nếu tam thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +
có 2 nghiệm x
1

f(x) = ax + bx + c
vô nghiệm)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:
Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 3/25

( )
2
2
2
1
0
2
2
dx dx dx
A C
ax bx c a
b
b
x C
a x C
a
a
β β β
α α α
= = = >
+ +
 

' '
2
' '
1 tan
1 1
tan
C u du
A du
a C u C
a C
β β
α α
+
= =
+
∫ ∫

Chú ý:
+) Nếu tam thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +
vô nghiệm, khi đó ta luôn biểu diễn
tam thức về dạng
2
( )
2
b
f x a x C

2
2 2
dx dx dx b
A x
ax bx c a a a
b b
a x x
a a
β
β β β
α
α α α
 
= = = = − +
 
+ +
 
   
+ +
   
   
∫ ∫ ∫

7) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c

ax bx c a x x x x a x x x x
β β β
α α α
+ + +
= = =
+ + − − − −
∫ ∫ ∫(
)
( )( )
(
)
( )( ) ( )( )
( )( )
1 1 1
1
1 2 1 2 1 2
1
2 1 2
1 1
m x x n mx m x x
mx n
dx dx
a x x x x a x x x x x x x x
mx nm dx dx
a x x a x x x x
β β
α α

f(x) = ax + bx + c
vô nghiệm)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:

(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2
1
0
2
2
mx n dx mx n dx mx n dx
A C
ax bx c a
b
b
x C
a x C
a
a
β β β
α α α

x C u
a
= −

2. Đổi cận của tích phân
3. Thay vào A.
9) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c
β
α
+
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax + bx + c
có nghiệm kép)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:
Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 4/25
( ) ( )
2 2 2

= = = = +
+ +
     
+
+ + +
     
     
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
III. Tích phân hàm vô t
ỷ
1) Tích phân dạng:
( , , )
n
f ax b x C dx
β
α
+
∫
A =

Phương pháp:

1. Đặt u =
n
ax b
+
n

: Đặt
2
u ax ax bx c
= + + +(
)
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
b b
ax a ax bx c ax
du a dx dx
ax bx c ax bx c
b b
a ax bx c ax au
dx dx
ax bx c ax bx c
 
+ + + + +
 
⇒
= + =
 
+ + + +
 

( )
2
1
0
dx
A k
a
k x m
β
α
= >
−
− +
∫

2. Đặt
sin cos
2 2
x m k t t dx k tdt
π π
 
+ = − ≤ ≤
⇒
=
 
 

3. Tính các giá trị cận theo biến mới.
4. Thay vào A được:
' ' '

Đặt:
2
2
2
2
2
ax b
du dx
u ax bx c
ax bx c
b
dv dx
v x
a
+

=


 
= + +
+ +
⇒
 
=



= +


∫(
)
2
2
2
2
2
2
ax bx C
b
x ax bx c dx
a
ax bx c
β
α
β
α
+ +
 
= + + + −
 
 
+ +
∫

Ta có:
(

= +
+ +
∫

Vậy ta được:
2
2
2
2 2
b C c dx
A x ax bx c A
a
ax bx c
β
α
β
α
 
−
 
= + + + − +
 
 
 
 
+ +
 
∫
α
=
+ +
∫
(Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên) và thay vào A.
5) Tích phân dạng:
2
A ax bx c dx
β
α
= + +
∫
(Hệ số a âm)
Phương pháp:
Ta biến đổi như sau:

2
2
2
b c b
A a x x dx a C x dx
a a a
β β
α α
 
= − − − − = − − +
 
 
∫ ∫


'
'
2
'
1 sin .cos
os .cos
os
C a t tdt
C a c t tdt
C a c tdt
β
α
β
α
β
α
= − −
= −
= −
∫
∫
∫

5) Tích phân dạng:
(
)
2
mx n dx
ax bx c
β

)
2 2
2
2 2
ax b
m mb dx
dx n
a a
ax bx c ax bx c
β β
α α
+
 
+ −
 
 
+ + + +
∫ ∫

Tính:
(
)
1
2
2ax b
A dx
ax bx c
β
α
+

∫
A =
(Hệ số a âm)
Phương pháp:
Ta biến đổi như sau:

(
)
(
)
2
2
1 1
2
mx n dx mx n dx
A
a b c a
b
x x
C x
a a
a
β β
α α
+ +
= =
− −
 
− − −
− +

C C t
β
α
− +
=
−
−
∫'
'
[ ( sin ) ] cos
1
2
cos
b
m C t n C tdt
a
t
a
β
α
− +
=
−
∫'

A dx dx
cx d
ax b cx d
β β
α α
+ +
= =
+
+ +
∫ ∫( )
2 2
2 2
(2 ) ( )
2 2
2
2 2
a an
mx n b
ax b
m m
dx dx
mx nx k mx nx k
mx n dx
a an dx
b
m m
mx nx k mx nx k

+ +
∫
đặt
2
u mx nx k
= + +

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 7/25
Tính
2
2
dx
A
mx nx c
β
α
=
+ +
∫
(Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên).
Chú ý:
+) Khi dùng tính chất
A A
B
B
=
ta nên xét xem A và B cùng dấu dương hay
cùng dấu âm để vận dụng cho chính xác.

∫

sin
x a t
=

;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 

2 2
( ,
f x x a dx
β
α
−
∫

cos
a
x
t
=
0; ;
2 2


IV. Tích phân hàm lượng giác
1. Tích phân dạng:
sin
n
A xdx
β
α
=
∫
hoặc
os
n
A c xdx
β
α
=
∫

Phương pháp:

a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k
∈
N), ta biến đổi như sau:

( )
( )
2 2
1 cos2 1
sin sin 1 cos2

+
= = = = −
∫ ∫ ∫ ∫

1. Đặt
cos sin sin
u x du xdx xdx du
= ⇒ = − ⇒ = −

2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả vào A để đưa về tích phân của hàm đa thức.
Trường hợp đối với
os
n
A c xdx
β
α
=
∫
giải tương tự.
2. Tích phân dạng:
tan
n
A xdx
β
α
=
∫
hoặc
cot

[ ]
2 2
tan tan 1 1 tan
A xdx x dx x x
β β
β
α
α α
 
= = + − = −
 
∫ ∫

b) Trường hợp
3
n
≥
, ta biến đổi như sau:

( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
tan tan .tan tan . 1 tan 1
tan . 1 tan tan
n n n
n n
A xdx x xdx x x dx
x x dx xdx
β β β

A xdx
β
α
−
=
∫
ta lặp lại quá trình trên cho đến khi thu được kết quả bậc nhất
hoặc bậc hai.
Trường hợp đối với
cot
n
A xdx
β
α
=
∫
ta giải tương tự.
3. Tích phân dạng:
sin
n
dx
A
x
β
α
=
∫
hoặc
os
n

 
∫ ∫ ∫ ∫

Đến đây, ta đặt
2
cot
sin
dx
u x du
x
= ⇒ = −
, đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa về dạng
tích phân của hàm đa thức.
b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k là số nguyên và k > 0). Ta biến đổi như sau:

( ) ( )
2 1 2 2
2 2
sin sin sin
sin sin
sin 1 cos
k k
k k
dx xdx xdx xdx
A
x x
x x
β β β β
α α α α
+ +

∫

Phương pháp:

1. Đặt
tan
2
x
t = , khi đó ta có:
Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 9/25

( )
2 2
2
1 1 2
1 tan 1
2 2 2 1
x dt
dt dx t dx dx
t
 
= + = + ⇒ =
 
+
 2

β
α
=
+
∫

Phương pháp:

Ta nên kết hợp cả hai dạng trên để hỗ trợ tính một trong hai tích phan bằng cách dùng
các tổ hợp kết quả sau:

sin cos cos sin
cos sin cos sin cos sin
b xdx a xdx a x b x
bA aB dx dx
a x b x a x b x a x b x
β β β β
α α α α
+
+ = + = =
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
cos sin cos sin
ln cos sin
cos sin cos sin cos sin
b xdx a xdx b x a x
bB aA dx a x b x

sin . 1 sin .cos
k
n k n
k
n
A x x xdx x x xdx
x x xdx
β β
α α
= =
= −
∫ ∫
∫

Đến đây, ta đặt
sin cos
u x du xdx
= ⇒ =
, đổi cận và chuyển tích phân cần tính về dạng tích
phân của hàm đa thức.
b) Trường hợp cả m, n đều là số chẵn: Ta thực hiện biến đổi như sau:

( ) ( )
'
2 2 ' 2 2
sin .cos sin . cos
k k
k k
A x xdx x x dx
β β

2
2
2
sin
1
u
x
u
=
+

Đổi cận tích phân, thay các kết quả trên vào A và chuyển A về dạng tích phân hàm hữu tỷ.
7. Tích phân dạng:
2 2
( cos sin ).sin 2
A f a x b x c xdx
β
α
= + +
∫

Phương pháp:

1. Đặt
2 2
cos sin
u a x b x c
= + +
, khi đó ta có:
Tài liệu luyện thi đại học

2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 2 2
1 1
. .
cos .sin cos .sin .sin cos sin sin
k k
k k k k
dx dx dx
A
x x x x x x x x
β β β
α α α
−
−
   
= = =
   
   
∫ ∫ ∫( ) ( ) ( )
' 1 ' 1
2 2 2
2 2 2
1
1 tan . 1 cot . 1 . 1 cot .
sin cot sin
k
k k k
dx dx

cos .sin 1 sin .sin
k k
k n k n
n n
dx xdx xdx xdx
A
x x x x
x x x x
β β β β
α α α α
+ +
+ +
= = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫

Đến đây, ta đặt
sin cos
u x du xdx
= ⇒ =
, đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển
A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ.
V. Tích phân hàm mũ và logarit
1. Tích phân dạng:
( )
x
A f e dx
β
α
=

A f x dx
β
α
=
∫
,
( )
log
a
B f x dx
β
α
=
∫

Phương pháp:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt:
ln
dx
u x
du
x
dv dx
v x

=
=



=
∫
,
( )
sin
B P x xdx
β
α
=
∫

Phương pháp:
Đặt:
(
)
(
)
'
cos sin
u P x du P x dx
dv xdx v x
 = =
 
⇒
 
= =
 
 

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

( )
ln
A P x xdx
β
α
=
∫
,
( )
log
a
B P x xdx
β
α
=
∫

Phương pháp:
Đặt:
( )
( ) ( )
ln
dx
du
u x
x
dv P x dx
v P x dx Q x

=

(
)
Q x
dx
x
β
α
∫
: sẽ có dạng tích phân của hàm số đa thức ta đã biết cách tính.
Trường hợp tích phân
( )
log
a
B P x xdx
β
α
=
∫
tương tự.
3. Tích phân dạng:
( )
x
A P x e dx
β
α
=
∫
,
( )
x

β
β
α
α
= −
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 12/25
Để tính tích phân
( )
'
x
P x e dx
β
α
∫
ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu được
kết quả cần tìm.
Trường hợp tích phân
( )
x
B P x a dx
β
α
=
∫
tương tự.
4. Tích phân dạng:

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

cos sin
x x
A xe xe dx
β
β
α
α
= +
∫

Để tính tích phân
sin
x
xe dx
β
α
∫
ta thực hiện lại các bước như trên, kết qủa thu được sẽ
biểu diễn qua A, ta thu được một phương trình và từ đó tìm ra A.
Trường hợp tích phân
sin
x
B xa dx
β
α
=
∫
tương tự.

x
 









 
+
∫

4/I =
3
2
4
3tg x dx
π
π
∫

5/I =
4
2
6
(2cotg x 5)dx
π

(2cos
2
x-3sin
2
x)dx
9 / I =
2
2
s i n ( x )
4
d x
s i n ( x )
4
π
− π
π
−
π
+
∫

10 / I =
∫
−
3
6
π
π
(tgx-cotgx)
2


14/I =
2
4
0
sin x dx
π
∫

15/I =
∫
3
4
22
2
cos
2
sin
1
π
π
xx
dx
16/I =
∫
4
6
π
π
cotg2x dx

1
π
π
x
dx
20/ I =
∫
4
0
6
cos
1
π
x
dx
21/I =
dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0
+
∫
πTài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 14/25
22/ I =
2

+
∫

26/I =
1
0
x
dx
2x 1
+
∫

27/I =
1
x
0
1
dx
e 4
+
∫

28/I =
2
x
1
1
dx
1 e
−

1
ln x
dx
x(ln x 1)
+
∫

32/I =
7
3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫

33/I =
2
3
2
0
(x 3) x 6x 8 dx
− − +
∫

.34/I =
1

2
2 2
1
x 4 x dx
−
−
∫

38/I =
2
2 3
0
x (x 4) dx
+
∫

39/I =
2
4
4 3
3
x 4
dx
x
−
∫

40*/I =
2
2

5
0
sin xdx
π
∫

44*/I =
3
0
1
dx
cosx
π
∫

45/I =
2x
1
x
0
e
dx
e 1
−
−
+
∫

46/I =
ln3

49/I =
e
1
sin(ln x)
dx
x
∫

50/I =
1
3 4 5
0
x (x 1) dx
−
∫
Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 15/25
51/I =
1
2 3
0
(1 2x)(1 3x 3x ) dx
+ + +
∫

52/I =

0
1
dx
e 3
+
∫

56/I =
x
ln3
x 3
0
e
dx
(e 1)+
∫

57/I =
0
2x
3
1
x(e x 1)dx
−
+ +
∫

58/I =
2
6

x
ln 2
e
dx
e 1
−
∫

62/I =
2
e
1
x 1
.ln xdx
x
+
∫

63/I =
2
1
0
x
dx
(x 1) x 1
+ +
∫

64/I =
2

x
dx
1 x 2x+ −
∫

68*/I =
2
0
4cos x 3sin x 1
dx
4sin x 3cosx 5
π
− +
+ +
∫

69/I =
9
3
1
x. 1 xdx
−
∫

70/I =
2
3
0
x 1
dx


74**/I =
1
2
0
ln(1 x)
dx
x 1
+
+
∫

75/I =
2
0
sin x
dx
sin x cos x
π
+
∫

76/I =
e
1
cos(ln x)dx
π
∫

77*/I =

2
2
ln(x x)dx
−
∫

81/I =
e
2
1
(ln x) dx
∫

82/I =
2
e
e
ln x
dx
x
∫

83/I =
2
e
1
ln x
dx
ln x
∫

2
4
0
sin xdx
π
∫

88/I =
3
2
6
ln(sin x)
dx
cos x
π
π
∫

89/I =
2
1
cos(ln x)dx
∫

90*/I =
2
2
0
ln( 1 x x)dx
+ −

−
∫

94/I =
6
2
0
cosx
dx
6 5sin x sin x
π
− +
∫

95*/I =
2
e
2
e
1 1
( )dx
ln x
ln x
−
∫

96/I =
3
2
4

100/I =
2
0
1 sin xdx
π
+
∫

101/I =
3
4
4
sin 2x dx
π
π
∫

102/I =
0
1 sin xdx
π
−
∫

103/I =
1
3
2
1
ln(x x 1) dx

1
x
1
x
dx
1 2
−
+
∫

107/I =
2
4
0
xsin xdx
π
∫

108/I =
2
4
0
x cos xdx
π
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 17/25
109/I =

1
x ln(1 )dx
x
+
∫113/I =
e
2
1
e
ln x
dx
(x 1)
+
∫

114/I =
1
2
0
1 x
x.ln dx
1 x
+
−
∫

115/I =

0
1
dx
cosx
π
∫

119*/I =
4
3
0
1
dx
cos x
π
∫

120/I =
2
1
3 x
0
x e dx
∫

121/I =
2
2
sin x 3
0

dx
x 6x 9
− +
∫

125/I =
1
2
5
1
dx
2x 8x 26
−
+ +
∫

126/I =
1
0
2x 9
dx
x 3
+
+
∫

127/I =
4
2
1

1
3
0
4x
dx
(x 1)
+
∫

131/I =
1
4 2
0
1
dx
(x 4x 3)
+ +
∫

132/I =
3
3
2
0
sin x
dx
(sin x 3)
π
+
∫

135/I =
3
0
sin x.tgxdx
π
∫

136/I =
3
4
1
dx
sin 2x
π
π
∫

137/I =
3
4
2 2 5
0
sin x
dx
(tg x 1) .cos x
π
+
∫

138/I =

1 3cosx
π
+
+
∫

141/I =
2
0
cosx
dx
sin x cos x 1
π
+ +
∫

142/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1)
+
∫

143/I =
1
3
3

−
+ +
∫

147/I =
0
2
1
1
dx
x 2x 9
−
+ +
∫

148/I =
3
2
1
1
dx
4x x
−
∫

149/I =
2
2
1
4x x 5dx

2x
0
3e e
dx
1 e
+
+
∫

153/I =
4
2
7
1
dx
x 9 x
+
∫

154/I =
2
x 2
0
e sin xdx
π
∫

155/I =
4
2

∫

159/I =
1
0
cos x dx
∫

160/I =
1
0
sin x dx
∫

161/I =
2
4
0
xsin x dx
π
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 19/25
162/I =
2
4
0
x cos x dx

π
∫

167/I =
2x 2
0
e sin x dx
π
∫

168/I =
2 x
1
2
0
x e
dx
(x 2)
+
∫

169/I =
e
1
(1 x)ln xdx
+
∫

170/I =
e

∫

174/I =
2
2
1
(x x)ln xdx
+
∫

175/I =
2
2
1
1
x ln(1 )dx
x
+
∫

176/I =
2
5
1
ln x
dx
x
∫

180/
2
2
sin x 3
0
e sin xcos x dx
π
∫

181/I=
2
4
0
sin 2x
dx
1 sin x
π
+
∫

182/I =
2
4
0
sin 2x
dx
1 cos x
π
+

+
∫

186/I =
1
2
0
ln(1 x)
dx
x 1
+
+
∫

187/I
4
1
6
0
1 x
dx
1 x
+
+
∫

188/I =
1
15 8
0

0
(e cos x)cos x dx
π
+
∫

192/I =
2
0
sin 2x.cosx
dx
1 cosx
π
+
∫

193/I =
2
0
sin 2x sin x
dx
1 3cosx
π
+
+
∫

194/I =
2
4

+
∫

197/I =
2
2
1
x 1
( ) dx
x 2
−
−
+
∫

198/I =
4
2
0
x.tg x dx
π
∫

199/I =
5
3
( x 2 x 2)dx
−
+ − −
∫


203/I =
2
0
sin 2x
dx
1 cosx
π
+
∫

204/I =
2008
2
2008 2008
0
sin x
dx
sin x cos x
π
+
∫

205/I =
2
0
sin x.ln(1 cos x)dx
π
+
∫


209/I =
1
2x x
0
1
dx
e e+
∫

210/I =
e
2
1
e
ln x
dx
(x 1)
+
∫

211/I =
1
0
1
dx
x 1 x
+ +
∫


∫

215/I =
2
0
sin3x
dx
cosx 1
π
+
∫

216/I =
2
2
2
2
0
x
dx
1 x
−
∫

217/I =
2
2
4
1
1 x

+
∫

220/I =
1
0
x 1 x dx
−
∫

221/I =
1
2
0
x 1dx
+
∫

222/I =
2
3 3
0
(cos x sin x)dx
π
+
∫

223/I =
2
3

3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫

227/I =
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
cosx sin x
π
π
+ +
+
∫

228/I =
x 2
1
2x
0
(1 e )
dx
1 e
+

x 3x 2
−
− +
∫232*/I =
2
0
xsin x.cos xdx
π
∫

233/I =
2
0
cosx
dx
cos2x 7
π
+
∫

234/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1)

+
∫

238/I =
3 4
0
xsin x cos xdx
π
∫

239/I =
2
3
2
cosx cosx cos xdx
π
π
−
−
∫

240*/I =
1
2
1
ln( x a x)dx
−
+ +
∫


π
+
∫

244/I =
2
3
2
2
0
x
dx
1 x
−
∫ .

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 22/25
245/I =
2
3
2
2
0
x
dx

2
3
1
dx
x x 1
−
∫

249/I =
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
−
∫

250/I =
2
0
sin x
dx
1 sin x
π
+
∫

251/I =
2
0
cosx

dx
3 sin 2x
π
π
+
+
∫

255/I =
2
3
2
cosx cosx cos xdx
π
π
−
−
∫

256/I =
3
4
4
tg xdx
π
π
∫.

2
2 2
0
1
dx
(4 x )+
∫

261/I =
2
1
3
0
3x
dx
x 2
+
∫

262*/I =
5
2
5
1
1 x
dx
x(1 x )
−
+
∫

π
+
∫

265/I =
2
3
1
dx
sin x 1 cos x
π
π
+
∫

266/I =
3
6 2
1
1
dx
x (1 x )
+
∫

267/I =
2
2
0
sin x

270/I =
4 4
4
0
sin x cos x
dx
sin x cos x 1
π
−
+ +
∫271/I =
4 4
4
0
sin x cos x
dx
sin x cos x 1
π
−
+ +
∫

272/I =
2
0
sin xcosx cos x
dx

3
1
2 3
0
x
dx
(x 1)+
∫

276/I =
1
3
0
3
dx
x 1
+
∫

277*/I =
4
1
6
0
x 1
dx
x 1
+
+
∫

281*/I =
2
1
2
0
x ln(x 1 x )
dx
1 x
+ +
+
∫

282/I =
4
2
1
(x 1) ln xdx
−
∫

283/I =
3
2
0
x ln(x 1)dx
+
∫

284/I =
3

+ + +
∫

287/I =
1
0
1
dx
x 1 x
+ +
∫

288/I =
2
0
cosx
dx
2 cos2x
π
+
∫

289/I =
2
4
cosx sin x
dx
3 sin 2x
π
π

293/I =
2
0
1
dx
2 sin x
π
+
∫

294/I =
2
0
1
dx
2 cos x
π
−
∫

295/I =
2
2
2
3
1
dx
x x 1
−
∫

0
x
dx
x 1 x
+ +
∫

299/I =
1
2
1
1
dx
1 x 1 x
−
+ + +
∫

300/I =
3
4
6
1
dx
sin x cos x
π
π
∫

301/I =

3
2
0
cos x
dx
cosx 1
π
+
∫

305/I =
2
0
1
dx
2cosx sin x 3
π
+ +
∫

306/I =
2
2
3
cosx
dx
(1 cos x)
π
π
−

∫

310*/I =
2
0
sin x
dx
cosx sin x
π
+
∫

311/I =
4
2
4 4
0
sin x
dx
cos x sin x
π
+
∫

312*/I =
2
2
0
tgx
dx

e dx
+
∫

316*/I =
2
1
2
0
x
dx
x 4
+
∫

317*/I =
3
2
4 2
0
cos x
dx
cos 3cos x 3
π
− +
∫

318*/Tìm x> 0 sao cho
2 t
x

4
5
0
tg x dx
π
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 25/25
HẾT

Chúc tất cả các em ôn tập tốt và thi đạt kết quả cao! 322/I =
4
3
6
cotg x dx
π
π
∫

323/I =
3
4

6
cos2x
dx
1 cos 2x
π
π
−
∫
327*/I =
4
2
0
t gx 1
( ) dx
tgx 1
π
−
+
∫

328*/I =
1
3
1
2
x
dx

e
2
1
e
1
dx
x cos (ln x 1)
π
−
+
∫

333*/I =
4
0
ln(1 tgx)dx
π
+
∫