ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu Cách chọn
2 2
a x−
Đặt x = |a| sint; với
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
hoặc x = |a| cost; với
[ ]
0;t
π
∈
2 2
x a−
Đặt x =
a
sint
; với
{ }
; \ 0
2 2
t

hoặc x = |a|cost; với
( )
0;t
π
∈
a x
a x
+
−
hoặc
a x
a x
−
+
Đặt x = acos2t
( ) ( )
x a b x− −
Đặt x = a + (b – a)sin
2
t
2 2
1
a x+
Đặt x = atant; với
;
2 2
t
π π
 
∈ −

2
4
π
t 1 0
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
Khi đó:
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x
−
=
∫
=
0
2
2
4
1 os .c t sint
dt
cos t
π

 
−
 ÷
 
∫
=
( )
tan
4
0
t t
π
−
=
1
4
π
−
. (vì
0;
4
t
π
 
∈
 
 
nên sint
0 sin sint t≥ ⇒ =
)

=
( )
2
2 2 2 2
0
sin 1 sin .a t a t acostdt
π
−
∫
=
2
4 2 2
0
sina tcos tdt
π
∫
=
4
2
2
0
sin 2
4
a
tdt
π
∫
=
=
( )

1
2 2
0
1I x x dx= −
∫
Giải:
Đặt x = sint,
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
.
⇒
dx = costdt
Đổi cận:
x 0 1
t 0
2
π
Khi đó:
1
2 2
0
1I x x dx= −
∫
=

2
0
1
1 4
8
cos t dt
π
−
∫
=
1 1
sin 4
2
8 4
0
t t
π
 
−
 ÷
 
=
16
π
Bài 4: Tính
1
3 2
0
1I x x dx= −
∫

0
1I x x xdx= −
∫
=
( )
1
2
0
1 . .t t tdt−
∫
=
( )
1
2 4
0
t t dt−
∫
=
3 5
1
0
3 5
t t
 
−
 ÷
 
=
2
.

x x
=
∫
=
2
5
1
dt
t
∫
=
4
2
1 15
.
1
4 64t
 
− =
 ÷
 
Bài 6: Tính
( )
1
4
3 4
0
1I x x dx= +
∫
Giải:

4 20 20
t dt t
 
= =
 ÷
 
∫
Bài 7: Tính
2
5
0
sinI xcoxdx
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx⇒ =
Đổi cận:
x 0
2
π
t 0 1
Khi đó:
1
2
5 5
0 0
1
sin

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
Đặt t = cos4x ;
4s 4 sin 4
4
dt
dt in xdx xdx⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận:
x 0
12
π
t 1
1
2
Khi đó:
1
1
12 12 2
1
0 0 1
2
1
sin 4 1 1 1 1
tan 4 ln ln 2.
1
4 4 4 4 4
2
x dt dt
I xdx dx t
cos x t t

Khi đó:
( ) ( ) ( )
3 5
2 2 2 2
2 2
5 2 2 2 4
0 0 0 0
1
2 5
1 sin 1 1 2 .
0
3 5 18
t t
I cos xdx x coxdx t dt t t dt t
π π π π
 
= = − = − = − + = − + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 10: Tính
4
4
0
1
I dx
cos x
π
=
∫

= = + = + = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Bài 11: Tính
3
2
2
6
s
cos x
I dx
in x
π
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx
⇒ =
Đổi cận:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
4
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
x
6
π

Bài 12: Tính
2
3 3
0
sinI xcos xdx
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx⇒ =
Đổi cận:
x
0
2
π
t 0 1
Khi đó:
( ) ( ) ( )
1 1
4 6
2 2
3 3 3 2 3 2 3 5
0 0 0 0
1
1
sin sin 1 sin 1 .
0
4 6 12
t t

Khi đó:
2
1
2
sin
0 0
1
sin 2 1.
0
x t t
I e xdx e dt e e
π
= = = = −
∫ ∫
Bài 14: Tính
2
2
0
sin 2
1
x
I dx
cos x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt t = 1 + cos
2

===========================================================================
Bài 15: Tính
4
3
0
tanI xdx
π
=
∫
Giải:
Đặt t = tanx ;
( ) ( )
2 2
2
1 tan 1
1
dt
dt x dx t dt dx
t
⇒ = + = + ⇒ =
+
Đổi cận:
x
0
4
π
t 0 1
Khi đó:
( )
( )

+ + + +
 
= − + = − = −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bài 16: Tính
1
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
Giải:
Đặt t =
x
;
2
2t x dx tdt⇒ = ⇒ =
Đổi cận:
x
0
1
t 0 1
Khi đó:
( )
( )
1 1 1
0 0 0


Đổi cận:
x
0
1
t 1 0
Khi đó:
1 1
33 4 3 4
0 0
1
3 3 3
1 .
0
4 16 16
I x x dx t dt t= − = = =
∫ ∫
Bài 18: Tính
0
2
1
1
2 4
I dx
x x
−
=
+ +
∫
Giải:

 ÷
 
Đổi cận:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
6
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
x -1 0
t 0
6
π
Khi đó:
0
6
2
1 0
1 3 3 3
.
6
2 4 3 3 18
0
I dx dt t
x x
π
π
π
−
= = = =

+
+
∫ ∫
Đặt
4
tanx t=
với
( )
3 2
1
; . 1 tan
2 2 4
t x dx t dt
π π
 
∈ − ⇒ = +
 ÷
 
Đổi cận:
x 0 0
t 0
4
π
Khi đó:
( )
1 1
3 3 2
4 4
2
8 2

Giải:
Đặt
2
1 ln 1 ln 2
dx
t x t x tdt
x
= + ⇒ = + ⇒ =

Đổi cận:
x 1 e
t 1
2
Khi đó:
( )
2 2
3
2
1 1 1
2 2 2 1
1 ln
2
.2 2 2 .
3 3
1
e
x t
I dx t tdt t dt
x
−

t ln2 0
Khi đó:
( )
1 0 ln 2
2 2
0 ln 2 0
ln 2
ln 2
ln 2
.
0
2 2 2
x
t
I dx tdt tdt
x
−
= = − = = =
−
∫ ∫ ∫
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
7
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
Bài 22: Tính
2
2
0
1 sin

2
2 4 4
2 2
0 0 0
1 tan
1 sin 1 tan 4
cosx t
I dx dt dt
x t
π π π
π
+
= = = =
+ +
∫ ∫ ∫
Bài 23: Tính
2
3
1
sin
I dx
x
π
π
=
∫
Giải:
Đặt
2
2

3
π
2
π
t
3
3
1
Khi đó:
( )
1
2
3
3
3
1
1 1 3 1
ln ln ln3.
3
sin 3 2
3
I dx dt t
x t
π
π
= = = = − =
∫ ∫
Bài 24: Tính
( )
1

I dx t
x x t
= = = =
+
∫ ∫
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
8
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
Bài 25: Tính
3
1
5
0
x
I x e dx=
∫
Giải:
Đặt
3 2 2
3
3
dt
t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 0 1
Khi đó:

1 5 1 5 1 5
2
2 2 2
2
2
2
4 2
2
1 1 1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
dx dx dx
x x
x
x
x
x
+ + +

Khi đó:
1
2
0
1
dt
I
t
=
+
∫
Đặt
( )
2
tan 1 tant u dt u du= ⇒ = +

Đổi cận:
x 0 1
t 0
4
π
Vậy
1
2
4 4
2 2
0 0 0
1 tan
.
4

dx x dx
x x x x
=
+ +
∫ ∫
Đặt
3 2 3 2 2
2
1 1 2 3
3
tdt
t x t x tdt x dx x dx= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
9
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
x 1 2
t
2
3
Khi đó:
( )
( )
( )
2 2 3 3
2
2

= − − + = = − = =
 ÷
 ÷
 ÷
+
+
−
 
 
−
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 28: Tính
2
3
2
0
3
2 1
x
I dx
x x
=
+ +
∫
Giải:
Ta có:
( )
2 2
3 3
2

2 2 2
0 0 1 1
3
2
2 2 2
1
3 3 3 1
3 1
3 3
2 1
1
3
9 1 3
3 9 3 3 9 9ln 3 3 1 9 3 1 9 ln3 ln1 1 3 9ln 3 8
1
2 2
t t t
t
x x
I dx dx dt dt
x x t t
x
t
t t dt t t
t t
−
− + −
−
= = = = =
+ +


Đổi cận:
x 0 ln2
t 1 2
Khi đó:
( ) ( )
ln2 ln2 2 2
2
2 2 2
0 0 1 1
2 2
1 1
3 3 3 2 1
3 2 3 2 3 2 1 2
2 2
1 1 3 4 9 4 27
2 2ln 1 ln 2 2 ln3 ln 2 ln 4 ln3 2ln ln ln ln ln
1 1
1 2 2 3 4 3 16
x x x
x
x x x x
e e e t
I dx e dx dt dt
e e e e t t t t
dt dt t t
t t
+ + +
 
= = = = − =

t 1 2
Khi đó:
( )
( ) ( )
( )
4 2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 1
2 2
1 1 1
1
2
2 1 4
2 ln ln 1 2 ln ln 2ln .
1
3 2 3
dx tdt dt
I dt
t t t t t t
x x
t t
 
= = = = − =
 ÷
+ + +
 
+
 
= − + = − =

( )
2
1
2 2 2 2
3 3
2 2 3 4
0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
2 2
0 0 0 0 0
2
0
1 2
1 1 sin . .
2
1 1 1 1 1 1 sin 2 1
1 2 2 2 2 2 2 . . 1 4
2
4 4 2 8 4 2 2 2 8
0
1 1
8 8 8
cos t
I x dx t costdt cos t costdt cos tdt dt
t
cos t cos t dt dt cos tdt cos tdt cos t dt
dt co
π π π π
π π π π π
π

6
I cos xdx
π
π
=
∫
Giải:
( ) ( )
( )
3
2 2 2 2
3 2 2 2
6 6 6 6
sin
2
. 1 sin 1 sin sin sin
3
6
1 1 1 5
1
3 2 24 24
x
I cos xdx cos x cosxdx x cosxdx x d x x
π π π π
π π π π
π
π
 
= = = − = − = − =
 ÷

sin 4 2sin 2 2 2sin 2 2 2sin 2 2
1
sin sin 1 2sin
1 sin 2
2
1 1 1 1
1 sin 2 ln 1 sin 2 ln ln 2
4
1
2 2 2
1 sin 2
0
2
x xcos x xcos x xcos x
I dx dx dx dx
x cos x x cos x xcos x
x
d x x
x
π π π π
π
π
= = = = =
+ + −
−
−
 
= − = − − = − =
 ÷
 

2
sin s 2 sin sin 2
2 4 4
4
x
cos x cos x
I dx cosxdx cosxdx x cosxdx
x x x
cosx cosx x dx cosxdx in xdx x x
π π π π
π π π π
π π π
π π π
π
π
−
= = = = − =
+ + +
−
 
= − = − = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Bài 35: Tính
2
4
sin
sin

π
− +
−
 
= = = − + =
 ÷
+ +
 
∫ ∫
Bài 36: Tính
2
3
0
sinI xdx
π
=
∫
Giải:
( )
( )
3
2 2 2
3 2 2
0 0 0
1 2
sin sin sin 1 1
2
3 3 3
0
cos x

4sin sin 4. sin ln sin
sin1 2
cos x x
cos x cos x cosx
I dx dx cosxdx d x
x x x x
x d x x x C
π
− − −
−
= = = = =
 
= − + = − + +
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
12