trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008
5
Sử DụNG MộT Số KIếN THứC CƠ Sở CủA Lý THUYếT NHóM KHảO
SáT CáC TíNH CHấT NGHIệM CủA ĐA THứC
x
n
-
1 Và VậN DụNG
VàO VIệC KHAI THáC CáC BàI TOáN ở TRƯờNG PHổ THÔNG

PHAN ANH
(a) Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi khai thác một số bài toán phổ thông, qua
nghiên cứu tập nghiệm của đa thức
1
n
x
dựa trên quan điểm nhóm. Qua đó định
hớng sự vận dụng Toán học cao cấp vào việc khám phá các vấn đề thuộc lĩnh vực
toán học phổ thông, nhằm nâng cao chất lợng đào tạo sinh viên ngành s phạm
toán.

Việc nhìn nhận Toán học phổ thông theo quan điểm của Toán học hiện đại

{
}
1| == xCxA
, thì A là một nhóm đối với phép nhân và
U
là
nhóm con của nhóm A.
2.
U
là nhóm xiclíc cấp n sinh bởi

, trong đó
n
i
n



2
sin
2
cos +=
.
3. Nếu

là phần tử khác 1 của nhóm xiclic
U
thì
0 1
12

)1)(1(1
2345
++++= xxxxxx . (1)
Tuy nhiên, sự phân tích ở trên là cha đợc mĩ mãn. Để ý rằng tập nghiệm của đa
thức
1
5
x
là nhóm
{
}
432
,,,,1

=U ,trong đó
5
2
sin
5
2
cos



i+= . Trong nhóm
U , ta có
234
;

== . Bởi vậy:

22
++=


xxxxx .
Từ sự phân tích trên, ta tìm ra lời giải bài toán trên ở bậc phổ thông. Đặt
)1)(1(1
22234
++++=++++ bxxaxxxxxx .
Bằng cách đồng nhất hệ số bất định dẫn đến
2
51
;
2
51
=
+
= ba
hoặc
2
51
;
2
51 +
=

= ba
.
Do đó
)1

)1
5
4
cos2)(1
5
2
cos2)(1(
22
++=


xxxxx
.
Mặt khác
)1
2
51
)(1
2
51
)(1(1
225
+

++
+
+= xxxxxx
.
Để ý rằng
0

7
2
cos



Bài toán 3 (Vô địch Bungari vòng 3, 1982). Xét xem phơng trình sau đây có
nghiệm thực hay không?
019801978198219791981
234
=++++ xxxx
.
Đặt f(x) =
19801978198219791981
234
++++ xxxx
.
Ta có
132)1(1979)(
24234
+++++++= xxxxxxxxf132)1
5
4
cos2)(1
5
2
cos2(1979

nhận
các giá trị dơng với mọi x và 02
4
x với mọi x . Bởi vậy 0)(
>
xf với mọi
x . Do đó phơng trình đã cho không có nghiệm thực.
Ta cũng có thể sử dụng cấu trúc nhóm U dể giải quyết bài toán sau đây
trong [3].
Bài toán 4. Trong vành [x], đa thức 1)( =
n
xxf chia hết cho đa thức
1)( =
m
xxg khi và chỉ khi m là ớc của n.
Thực vậy, ký hiệu
nm
UU , thứ tự là các tập nghiệm của các đa thức
)(),( xgxf . Nếu
)()( xgxf
trong [x] thì
nm
UU . Vì
nm
UU , là các nhóm nên ta
suy ra
m
U là nhóm con của
n
U . Do cấp của

, chúng ta có thể phát
biểu các bài toán sau.
Bài toán 5. Giả sử n là số nguyên dơng lớn hơn 1. Chứng minh các hệ thức:
0
2
sin;0
2
1
1
1
1
1
==+


=

=
n
k
n
k
n
k
n
k
osc


Theo tính chất 2 tập nghiệm của đa thức


là
nghiệm khác 1 của đa thức
1
n
x
nên
0 1
12
=++++

n

. Bởi vậy

0
2
sin)
2
cos1(
1
1
1
1
=++


=

=

k
n
k
n
k
osc

.
Bài toán 6. Cho p là một số nguyên tố, m là số nguyên không chia hết cho p. Chứng
minh các hệ thức:
0
2
sin,;0
2
1,
1
1
1
1
==+


=

=
p
k
p
k
p


2
sin
2
cos +=
. Vì p là số nguyên tố nên theo tính chất 4,
PHAN ANH Sử DụNG MộT Số KIếN THứC ở TRƯờNG PHổ THÔNG, Tr. 5-10
8
U sinh bởi phần tử bất kỳ khác đơn vị. Do m không chia hết cho p nên
1
m

. Bởi
vậy, U sinh bởi
m

và
{
}
)1(32
, ,,,,1

=
pmmmm

cos1(
1
1
1
1
=++


=

=
p
k
p
k
p
km
i
p
km

.
Do đó
0
2
sin;0
2
1
1
1

Chứng minh rằng:
0
2
sin,;0
2
1,
1
1
1
1
11
==+


=

=
d
t
d
t
n
kt
b
n
kt
scoa

, trong đó
d

cos +=
. Do (k,n) = d nên theo kết quả đã chỉ ra ở trên, ta có
cấp của
k

là
1
d . Bởi vậy
{
}
kd
kkk
A
)1(
2
1
, ,,,1

>==<

, trong đó
1,0;
2
sin
2
cos
1
=+=
dt
n

sin;0
2
1
1
1
1
1
11
==+


=

=
d
t
d
t
n
kt
n
kt
sco

.
Vận dụng tính chất đồng cấu nhóm, chúng ta có thể giải các bài toán hình học
sau đây.
Bài toán 8. Cho
n
AAA

là đẳng cấu nhóm. Các véc tơ
trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008
9
n
OAOAOA , ,,
21
lần lợt là ảnh của các số phức
12
, ,,,1

n

trong nhóm
U
. Do
đó
)( )()()1() 1(
1212

++++=++++
nn
fffff



Hiển nhiên nếu tam giác ABC đều thì tâm đờng tròn ngoại tiếp và trọng
tâm của nó trùng nhau. Ta chỉ cần chứng minh nếu trọng tâm và tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều. Không mất
tính tổng quát ta giả thiết rằng tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn đơn vị trên
mặt phẳng toạ độ; tia OA trùng với Ox. Các điểm A, B, C thứ tự nằm trên đờng
tròn ngợc chiều với chiều quay của kim đồng hồ. Qua đẳng cấu f (đã chỉ ra trong bài
toán 8), ta có
OAf =)1(
. Giả sử
OCfOBf == )(,)(

, ta có
OCOBOAfff ++=++ )()()1(

.
Vì f là đồng cấu nhóm nên
OCOBOAf ++=++ )1(

.
Mặt khác
OOCOBOA =++
(do O là trọng tâm tam giác ABC)
nên
Of =++ )1(

.
Từ f là đơn cấu nhóm suy ra:
01
=
+

3
2


=
. Bởi vậy
3
2
sin
3
2
cos



i+=
.
Để chứng minh tam giác ABC đều, ta cần chứng minh
{
}

,,1
chính là nhóm
U
của đa thức
1
3
x
. Thực vậy,
2
PHAN ANH Sử DụNG MộT Số KIếN THứC ở TRƯờNG PHổ THÔNG, Tr. 5-10
10
Do đó
{
}
{
}
2
,,1,,1

=
, với
3
2
sin
3
2
cos



i+=

là tập nghiệm của đa thức
1

SCHOOLS

In this article, we explore mathematics problems in secondary schools
through studying a set of solutions of the polynomial x
n
-1 on the basis of the group
theory perspective. Then, we initially applied advanced mathematics to the
investigations of secondary mathematics in order to improve the training quality for
students majoring in pedagogical mathematics.

(a)
Khoa S phạm Tự nhiên, Trờng Đại học Hà Tĩnh.