37
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006Sự mở rộng vạch phổ do ảnh hởng của va chạm

Phạm Khắc Lu
(
a
)
Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi khảo sát phổ huỳnh quang cộng hởng của hệ
nguyên tử hai mức năng lợng khi kể đến ảnh hởng của sự va chạm. Chúng tôi coi
ảnh hởng của sự va chạm nh là ảnh hởng của thăng giáng ngẫu nhiên và đa ra
ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi coi thăng giáng do va chạm ngẫu nhiên là thăng
giáng độ lệch tần số có dạng nhiễu điện tín.

I. Phần mở đầu
Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu ảnh hởng của va chạm lên sự mở
rộng vạch phổ dựa vào phơng trình Bloch quang học hiệu dụng với thăng giáng
ngẫu nhiên là nhiễu telegraph. Trong thực tế trờng laser không hoàn toàn đơn
sắc và hệ lợng tử có thể suy biến, vì vậy tiến triển theo thời gian của các biến số
động lực của hệ nguyên tử đợc mô tả bởi phơng trình [2]
(
)
( )( )
[ ]
( ) ( )( )

và tìm đợc sự phụ thuộc
của mật độ công suất phổ huỳnh quang vào nhiễu. Mô hình nhiễu phản ánh
chính xác ảnh hởng của va chạm bao nhiêu thì kết quả tính đợc các gần với
kết quả thực nghiệm bấy nhiêu.
II. Phơng trình quang học Bloch hiệu dụng với thăng giáng
ngẫu nhiện là nhiễu Telegraph
Khi chiếu một chùm laser vào vật chất ở pha khí, các nguyên tử khí này có
sự va chạm ngẫu nhiên làm cho nguyên tử bị kích thích nên trạng thái năng
lợng thay đổi dẫn đến tần số bức xạ thay đổi theo thời gian. Do sự va chạm
ngẫu nhiên đã làm cho tần số bức xạ của nguyên tử thăng giáng nên ta có thể nói
ảnh hởng của sự va chạm lên các biến số của nguyên tử nh là ảnh hởng của
một nhiễu. Nh vậy khi có ảnh hởng của sự va chạm thì tần số bức xạ của
nguyên tử ở thời điểm t đợc tính theo công thức

=

0
+ X
(
t
)
; X
(
t
)
mô tả thăng
giáng của va chạm của các nguyên tử. Kết quả việc lấy trung bình thống kê các
phơng trình của các biến số ngẫu nhiên theo thời gian phụ thuộc vào tính chất
của các loại nhiễu và nguồn nhiễu mà ta đang khảo sát.


ttDtXtXtX

==

2'.;0
,
ở đây D là hệ số khuyếch tán của khí nguyên tử
Trong vài chục năm lại đây, trong một số công trình [3] , thay cho nhiễu
trắng ngời ta khảo sát một mô hình nhiễu khác gọi là nhiễu telegraph. Đó là
nhiễu thay đổi theo thời gian, biên độ nhận hai giá trị a, - a và thoả mãn điều
kiện về giá trị trung bình
( ) ( ) ( )









==
c
tt
atXtXtX

'
exp'.;0
2
,

s
'
.exp0.
.
(
3
)

Lấy trung bình hai vế của phơng trình
(
1
)
thì

(
)
(
)
(
)
(
)
tVtXMtViMtV
xs
.+=
.
(
4
)


1>

Hình 1


=

0
+ X(t)
E
2

E
139
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006Từ các công thức
(
3
)
,
(
4

( ) ( ) ( ) ( )








=
t
x
c
s
dssViMstiMatY
0
2
.
1
exp

.
(
7
)

Thay
(
4
)

Từ
(
7
)
và
(
8
)
ta có hệ phơng trình

(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )














0
)
, khi đó phơng trình đối
với ảnh Laplace của
(
9
)
có dạng
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )















+=
=
.
~
1

.
~
0
2












++
++=
x
c
s
xs
M
iMz
a
MiMzzVV


(
11


.
(
12
)

Khi chỉ quan tâm đến động học gần trạng thái dừng hoặc khi các thời gian
tham gia trong hiện tợng đủ dài để Y
(
t
)
giảm chậm hơn so với
(
)
tV
, trong công
thức
(
9
)
ta có thể làm gần đúng đoạn nhiệt, nghĩa là ta đặt
(
)
0=tY
&
, từ đó ta có

40

Phạm Khắc Lu, Sự mở rộng vạch phổ , tr. 37-45

tVM
iM
MaiMtV
x
c
s
xs












+
+= .
1
1
2

&
.
(
14
)

s

=
&
.
(
16
)

gọi là ma trận suy giảm ngẫu nhiên, phụ thuộc vào tính chất thăng giáng
của các đại lợng ngẫu nhiên mà ta khảo sát sự biến thiên của chúng. Dới ảnh
hởng của các thăng giáng, các thời gian hồi phục sẽ phụ thuộc vào dạng ma
trận này. Phơng trình
(
16
)
gọi là phơng trình quang học Bloch hiệu dụng.
Khi

c
0 nhng a
2

c
dần tới một hằng số, ta đặt a
2

c
= D = const thì
2

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
tVDMiMtViMtV
xss
2
+==
&
.
(
17
)

Khi biết đợc ma trận suy giảm ngẫu nhiên ta tính đợc phổ công suất
huỳnh quang cộng hởng tơng ứng.
2.1. Biểu thức ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có thăng giáng độ
lệch tần số
Sự thăng giáng độ lệch tần số xuất hiện có thể do trờng ngoài hoặc do sự
thăng giáng tần số chuyển của nguyên tử. Sự va chạm ngẫu nhiên giữa các khí
nguyên tử gây nên sự thăng giáng độ lệch tần số, thăng giáng cờng độ, thăng
giáng vận tốc pha Trong bài này chúng tôi chỉ xét ảnh hởng của thăng giáng
độ lệch tần số lên mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng. Ta tìm biểu
thức của ma trận suy giảm ngẫu nhiên của thăng giáng độ lệch tần số. Từ biểu









+
=

1
1
.
(
19
)

Từ phơng trình
(
2
)
và
(
19
)
ta đặt: 1/T
2
= A/2; 1/T
1

0
2
,
(
20
)

M
X
= ia











000
001
010
.
(
21
)

Từ



1
=
;
( )
P
A
A
a
+






+
=

2
2
11
;
(
23
)

( )
P

2
12
;
(
25
)

(
)
P
A
a
+
==

2
1221
;
(
26
)

( )






+++

2
A
>>

và

>>

, trong trờng hợp này từ các công
thức
(
23
)

(
27
)
ta thu đợc

42

Phạm Khắc Lu, Sự mở rộng vạch phổ , tr. 37-450
2112
=
;
22
2

tức là tỉ lệ với bình phơng
cờng độ nhiễu, ngoài ra
11
còn phụ thuộc vào tần số Rabi của trờng tới.
Trong chế độ trờng mạnh

c
>> 1 nhng cha đủ phá huỷ môi trờng và
tơng tác vẫn là tuyến tính
(
E
0
< 10
8
V/cm [2]
)
thì
11
0 ,
c
a

2
12
.
Khi đó ta có

c
a
A

2
12
2
11
= .
Sự xuất hiện kết hợp đặc biệt này của a và

c
khi 0 có thể hiểu một cách
dễ dàng đối với nhiễu của độ lệch tần số khi ở giới hạn
c
0, nhng a
2

c
dần tới
một giá trị hữu hạn D. Trong trờng hợp này nhiễu telepraph trở thành nhiễu
trắng với hằng số khuyếch tán D và tơng ứng, phù hợp với kết quả đã biết [5]

11
=
12
= a
2

c
= D.
(
30
)

, V
3
, V
4
)
,
(
31
)

trong đó
V
1
=

21
(
t+

)

12
(
t
)
; V
2
=

12

(
32
)

V
1
, V
2
, V
3
, V
4
là nghiệm của phơng trình
(
1
)
ứng với điều kiện 1/T
2
= A/2; 1/T
1
= A.
Trong trạng thái dừng, giải phơng trình trên và sử dụng và phép chuyển ảnh
Laplace ta có nghiệm

43
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006( ) ( ) ( )


2
0.
1
1
.
~
.
(
33
)

Ta đã biết mật độ phổ công suất S
(

)
liên quan đến hàm tơng quan của
trờng điện từ
(
xem [1]
)

S
(

)
~ I = E*E ~

21

12

( ) ( )


iz
zVS
=
=
~
Re2
.
(
36
)

3.2. Mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng khi có thăng
giáng độ lêch tần số
Từ phơng trình
(
1
)
và
(
32
)
với cách chọn W
eq
= -1 ta có hệ phơng trình




22
4
21433
322
311
V
d
d
ViViAVAVV
d
d
V
i
V
A
iV
d
d
V
i
V
A
iV
d
d






A
z
zV
++






++






++






++

++




=
21
= 0) đồ thị biểu
diễn sự phụ thuộc của mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng vào sự
thay đổi của cờng độ trờng ngoài có dạng hình 3. Từ đồ thị ta có nhận xét: khi
không có ảnh hởng cờng độ trờng ngoài ( = 0) đồ thị mật độ phổ công suất

44

Phạm Khắc Lu, Sự mở rộng vạch phổ , tr. 37-45chỉ có một đỉnh. Với những giá trị khác ( 0) đồ thị có thêm hai đỉnh phụ. Các
đỉnh chính và đỉnh phụ này thay đổi theo giá trị của . Chẳng hạn với = 3 và
= 6 ta có hai đỉnh phụ tại các giá trị +3 và -3, +6 và -6 tơng ứng trên trục
hoành. Từ độ thị chúng ta thấy tỉ lệ độ cao của đỉnh chính và đỉnh phụ là 3:1.
Hình 4 là đồ thị của phổ công suất huỳnh quang cộng hởng với các giá trị của a.
Ta thấy dới ảnh hởng của các thăng giáng độ lệch tần số với các giá trị khác nhau
của biên độ nhiễu a, đồ thị mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng cũng
có một đỉnh chính và hai đỉnh phụ phụ thuộc vào độ lớn của a. Kết quả này phù
hợp với các công trình của Mollow [6].

IV. Kết luận
Trong bài báo này chúng ta đã khảo sát sự mở rộng vạch phổ do ảnh hởng
của va chạm khi xem va chạm nh là nhiễu thăng giáng độ lệch tần số có dạng
nhiễu điện tín. Kết quả cho thấy dới tác dụng của trờng ngoài
(
không quá lớn
)

Hình 4.
Đờng 1 ứng với: a = 0, A = 1, 1/

c
= 10, = 7
Đờng 2 ứng với: a = 10, A = 1, 1/

c
= 10, = 7
Đờng 3 ứng với: a = 15, A = 1, 1/

c
= 10, = 7.
Đờng 1

Đờng 2

Đờng 3

Đờng 1

Đờng 3

Đờng 2

Đờng 1

Đờng 2

1983
)
, pp. 992. SUMMARY

line Broadening due to influence of collisions
In this paper, the line broadening due to influence of collisions was
investigated. We described the collisions using a stochastic model for the line
broadening oparato. Resonance fluorescence in the presence of stochastic
collision was derived and discussed. (
a
)
Khoa Vật lý, trờng đại học Vinh