ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 1/11
C
CC
C
C
CC
C
A
AA
A
A
AA
A
Ù
ÙÙ
Ù
Ù
ÙÙ
Ù
C
CC
C
C
CC
C
P
PP
P
P
PP

B
I
II
I
I
II
I
E
EE
E
E
EE
E
Á
ÁÁ
Á
Á
ÁÁ
Á
N
NN
N
N
NN
N
Đ
ĐĐ
Đ
Đ
ĐĐ

C
H
HH
H
H
HH
H
I
II
I
I
II
I
E
EE
E
E
EE
E
À
ÀÀ
À
À
ÀÀ
À
U
UU
U
U
UU

H
e
e
ä
ä
t
t
o
o
a
a
ï
ï
đ
đ
o
o
ä
ä
b
b
a
a
ø
ø
n
n
t
t
a

t
r
r
a
a
ù
ù
i
i
• Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải: để bàn tay phải
sao cho ngón cái hướng theo trục z, khi nắm tay lại, các
ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y.
• Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay trái: để bàn tay phải sao
cho ngón cái hướng theotrục z, khi nắm tay lại, các ngón
tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y.
H
H
e
e
ä
ä
t
t
o
o
a
a
ï
ï
đ

H
o
o
m
m
o
o
g
g
e
e
n
n
e
e
o
o
u
u
s
s
C
C
o
o
o
o
r
r
d

homogeneous
(x,y,z,w)
projected
homogeneous
(x/w,y/w,z/w,1)
Descartes
(x/w,y/w,z/w)
ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 3/11
C
C
a
a
ù
ù
c
c
p
p
h
h
e
e
ù
ù
p
p
b
b
i

í
n
n
h
h
• Phép biến đổi tuyến tính là tổ hợp của các PBĐ:
♦ Tỉ lệ
♦ Quay
♦ Biến dạng và
♦ Đối xứng
• Các tính chất của các phép biến đổi tuyến tính
♦ Thoả mãn tính chất về tổ hợp tuyến tính.
♦ Gốc toạ độ là điểm bất động.
♦ Ảnh của đường thẳng là đường thẳng.
♦ Ảnh của các đường thẳng song song là các đường thẳng
song song.
♦ Bảo toàn tỉ lệ khoảng cách
♦ Tổ hợp các phép biến đổi có tính phân phối
P
P
h
h
e
e
ù
ù
p
p
t
t

heb
gda
với
ifc
heb
gda
zyxz'y'x'
y
z
x
(x,y,z)
(x',y',z')
tr =(tr
x
,tr
y
,tr
z
)
T(s
1
P
1
+s
2
P
2
)=s
1
T(P

o
o
å
å
i
i
A
A
f
f
f
f
i
i
n
n
e
e
• Phép biến đổi Affine là tổ hợp của các phép biến đổi:
♦ Tuyến tính
♦ Tònh tiến
• Các tính chất
♦ Gốc toạ độ không là điểm bất động.
♦ Ảnh của đường thẳng là đường thẳng.
♦ Ảnh của các đường thẳng song song là các đường thẳng
song song.
♦ Bảo toàn tỉ lệ khoảng cách
♦ Tổ hợp các phép biến đổi có tính phân phối
C
C

å
å
i
i
A
A
f
f
f
f
i
i
n
n
e
e
c
c
ơ
ơ
s
s
ơ
ơ
û
û
• Phép biến đổi Affine có thể xem là tổ hợp của các phép
biến đổi cơ sở:
♦ Tònh tiến
♦ Tỉ lệ (tâm tỉ lệ đặt tại gốc toạ độ)

• Phép tònh tiến
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
1TrTrTr
0100
0010
0001
)Tr,Tr,Tr(Tr
zyx
zyx
• Phép biến đổi tỉ lệ
ú
ú
ú
ú
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=

1000
0)cos()sin(-0
0)sin()cos(
00
)R(x,
θθ
θθ
θ
0
01
• Phép quay quanh trục y
ú
ú
ú
ú
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
1000
0)cos(0)sin(
00
0)sin(-)cos(
)R(y,
θθ
θθ

ë
é
=
1000
0100
00)cos()sin(-
00)sin()cos(
)R(z,
θθ
θθ
θ
ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Các phép biến đổi 3 chiều 6/11
• Cách xác đònh chiều dương trong các phép quay
Các đònh nghóa về chiều quay được dùng chung cho cả hệ
tọa độ theo quy ước bàn tay phải và bàn tay trái. Cụ thể
chiều dương được đònh nghóa như sau:
♦ Quay quanh trục x: từ trục dương y đến trục dương z.
♦ Quay quanh trục y: từ trục dương z đến trục dương x.
♦ Quay quanh trục z: từ trục dương x đến trục dương y.
• Ví dụ, xét trên hệ toạ độ bàn tay trái, khi nhìn dọc từ
phía trục quay về gốc toạ độ, chiều dương sẽ là chiều
ngược chiều kim đồng hồ