TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TOÁN
---- Đề tài:
PHÉP QUY NẠP TRONG HÌNH HỌC

Giáo viên hướng dẫn : Ths. Nguyễn Chiến Thắng
Sinh viên thực hiện : Nguyễn Huy Hùng
MSSV : 0851007961
Lớp : 49A Toán

Vinh - 2011
Mục lục
2
Nhận xét của giáo viên
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
3
Lời nói đầu

"biến" số n=1 thành bất kì số nào trong tập N
*
và điều này dẫn đến bài
toán đúng )
Hãy giả sử bài toán đã đúng với n=k, nghĩa là ta sẽ phải chứng minh bài
toán cũng đúng với n=k+1.
Ta có :
k
A
=
k
2
.q
Nếu q lẻ ta sẽ chọn
k 1
A
+
=
k
1A
,
Nếu q chẵn thì chọn
k 1
A
+
=
k
2A
.
4

đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này !

Người thực hiện

Nguyễn Huy Hùng
5
Mở đầu
I. Lí do chọn đề tài.
Phép quy nạp toán học được sử dụng rộng rãi trong số học đại số và lý
thuyết số. Nhưng những ứng dụng của nó trong hình học lại vô cùng lý
thú. Phép quy nạp không chỉ ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng
hình học đơn thuần mà nó còn được áp dụng trong việc chứng minh định
lý hình học, trong giải các bài toán dung hình, quỹ tích. Vì vậy tôi chọn đề
tài Phép quy nạp trong hình học.
Đề tài này giúp tôi hiểu sâu hơn một phương pháp giải hiệu quả trong
việc giải các bài toán hình học.
II. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là kiến thức quy nạp toán học và
phép quy nạp trong hình học.
III. Mục đích nghiên cứu.
- Nguồn gốc và quá trình xuất hiện phép quy nạp toán học
- Ứng dụng của phép quy nạp trong hình học.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Là rõ được thế nào là phép quy nạp toán học
- Thể hiện được những ứng dụng của phép quy nạp trong hình
học.
- Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng.
- Kiểm nghiệm được ý nghĩa của đề tài.
V. Giả thuyết khoa học.
6

r
n
C
.
Công thức tường minh đó có trong công trình của Pat-xcan ( trong đó nó
được diễn đạt bằng lời chứ không phải bằng các kí hiệu hiện đại). Pat-
xcan không cho biết ông đã làm như thế nào để rút ra công thức đó và
chúng ta sẽ không phải bận tâm đến một điều là trước khi đến công thức
đó ông đã suy nghĩ như thế nào (Có thể khi đầu mới chỉ là phỏng đoán –
ta thường phát hiện ra các quy luật nhờ quan sát lúc đầu, rồi sau thử khái
quát hóa các kết quả có được. Tuy vậy, Pat-xcan đưa ra một cách chứng
minh chính xuất sắc cho công thức tường minh của mình.
Ta thấy có một nhận xét sơ bộ: Công thức tường minh dưới dạng đã
viết không áp dụng được trong trường hợp r=0. Tuy vậy, ta quy ước rằng
khi r=0 thì theo định nghĩa
0
1
n
C
=
Còn trong trường hợp r=n thì công thức không mất ý nghĩa và ta có:

( 1)...2.1
1
1.2....( 1)
n
n
n n
C
n n

r
n
n n n n r
C
r
− − − +
=
Ta cũng có thể viết (với
1r ≥
):
9

1
( 1)( 2)...( 2)
1.2.3...( 1)
r
n
n n n n r
C
r
−
− − − +
=
−
Cộng hai đẳng thức đó và áp dụng công thức truy toán ta được hệ quả:

1
1
( 1)...( 2) 1
. 1

Nói cách khác, sự đúng đắn của công thức tường minh đối với giá trị n
nào đó kéo theo tính chất đứng đắn của nó với n+1. Chính điều này được
khẳng định trong bổ đề thứ hai. Như vậy, ta đã chứng minh bổ đề đó.
Những lời của Pat-xcan đã trích dẫn ở trên có một giá trị lịch sử bởi vì
chứng minh của ông là sự vận dụng lần đầu tiên một phương pháp suy
luận cơ bản và mới mẻ, và sau này ta gọi đó là Phép quy nạp toán học.
2. Kinh nghiệm và quan niệm.
Kinh nghiệm đưa đên sự thay đổi quan niệm của con người. Chúng
ta học tập xuất phát từ kinh nghiệm, hay nói đúng hơn là chúng ta phải
học tập từ kinh nghiệm. Sử dụng kinh nghiệm một cách hiệu quả nhất, đó
là một trong những nhiệm vụ to lớn của con người , còn lao động để giải
quyết nhiệm vụ đó là chức năng chân chính của các nhà bác học.
Nhà bác học, đúng với danh hiệu đó, cố gắng rút ra quan niệm đúng
đắn nhất từ kinh nghiệm đã biết, và thu thập những kinh nghiệm thích
hợp nhất để xây dựng nên quan niệm đúng về một vấn đề đặt ra. Phương
pháp nhờ đó nhà bác học xử lí với kinh nghiệm thường gọi là phép quy
nạp.
3. Sự tiếp xúc gợi ý.
10
Phép quy nạp thường được bắt đầu bằng sự quan sát. Nhà khoa hoc tự
nhiên có thể quan sát cuộc sống của loài chim, nhà tinh thể học quan sát
hình dạng của các tinh thể. Nhà toán học, quan tâm tới lý thuyết số, quan
sát tính chất các số 1, 2, 3, 4, 5, …
Nếu muốn quan sát cuộc sống của loài chim để có thể đạt được những
kết quả lý thú, thì trong một chừng mực nào đó, bạn phải hiểu biết về
chim, phải thích chim và thậm chí là yêu chim. Cũng như vậy, nếu bạn
muốn quan sát những con số thì bạn phải thích thú với chúng và trong
một chừng mực nào đó phải hiểu biết chúng. Bạn phải biết phân biệt số
chẳn và số lẻ, phải biết các số chính phương và các số nguyên tố. Ngay
những kiến thức đơn giản nhất chúng ta cũng có thể nhận thấy một cái gì

nhà toán học đầu tiên phát biểu giả thuyết đó, cũng không có cơ sở gì
vững chắc hơn.
Giả thuyết của Goldbach có đúng không? Ngày nay chưa ai có thể trả
lời câu hỏi đó. Mặc dù có một số nhà toán học vĩ đại đã có những cố
gắng lớn nhằm làm sáng tỏ vấn đề, nhưng cho đến nay giả thuyết của
Goldbach, cũng như ở thời Euler vẫ là một trong “ nhiều tính chất của
các số mà chúng ta rất quen thuộc, nhưng chúng ta vẫn chưa chứng minh
hay bác bỏ được”.
Nhưng từ giả thuyết này chúng ta đã mô tả trong những nét tổng quát
giai đoạn đầu của quá trình quy nạp.
4. Phương pháp quy nạp.
Trong cuộc sống có nhiều người thường bám chặt vào ảo tưởng, nói
một cách khác họ không giám nghiên cứu những khái niệm dễ dàng bị
kinh nghiệm bác bỏ, vì họ ngại tinh thần mất cân bằng.
12
Trong khoa học, chúng ta cần có một phương pháp khác hẳn đó là
Phương pháp quy nạp. Phương pháp này có mục đích làm cho quan niệm
của chúng ta gần với kinh nghiệm ở mức độ có thể được. Nó đòi hỏi sự
ưa thích nhất định đối với cái gì thực tế tồn tại. Nó đòi hỏi chúng ta sẵn
sàng từ những quan sát nâng lên trình độ khái quát, đồng thời sẵn sàng từ
sự khái quát rộng lớn nhất trở về với những quan sát cụ thể nhất. Nó đòi
hỏi ta nói “có thể” và có “khả năng” với hàng nghìn mức độ khác nhau.
Nó đòi hỏi nhiều điều khác và đặc biệt là ba điều sau đây:
- Một là chúng ta phải sẵn sang duyệt lại bất kì quan niệm nào của
chúng ta.
- Hai là chúng ta phải thay đổi quan niệm chỉ khi có lí do xác đáng.
- Ba là chúng ta không được thay đổi quan niệm một cách tùy tiện,
không có cơ sở đầy đủ.
Những nguyên tắc ấy tưởng như tầm thường nhưng phải có những đức
tính khác thường mới theo được.

14
vuông đã có, chia nó làm 4 hình vuông nhỏ hơn và đó là điều phải chứng
minh.
Nhận xét: Qua bài toán này, ta rút ra kết luận rằng P1 không nhất thiết
chỉ là 1 bài toán, nó có thể là 2,3 bài hoặc nhiều hơn !
Để hiểu rõ hơn về các ứng dụng của phép quy nạp trong hình học ta đi
sâu vào hệ thống bài tập dành riêng cho mỗi loại toán hình học.
I. Phép quy nạp trong tính toán hình học.
Trong lý thuyết số và đại số, phép qui nạp toán học là một phương
pháp hiệu quả trong việc tính toán các giá trị đại số và các đại lượng toán
học. Trong hình học để giải các bài toán tính toán thì việc áp dụng phép
qui nạp để thực hiện hoàn toàn có thể và nó có thể thực hiện một cách
chính xác.
• Thí dụ 1 :
Tính tổng các góc trong của một n-giác không tự cắt.
Giải:
Ta có thể thấy ngay: Tổng các góc trong của một tam giác là 180
o
.
Tổng các góc trong của một tứ giác là 360
o
.
Nhận xét: Mọi tứ giác có thể chia thành hai tam giác nên tổng các góc
trong của một tứ giác bằng hai lần tổng các góc trong của một tam giác.
Với k < n, giả sử đã chứng minh được tổng các góc trong của một k-
giác bất kì là (k-2).180
o
.
Bây giờ ta xét với n-giác
1 2

1 2
...
k
A A A
và (n-k+2)-giác
1 1
...
k k n
A A A A
+
.
Với giả thiết đã cho thì tổng các góc trong của k-giác và (n-k+2)-giác
lần lượt là (k-2).180
o
và [(n-k+2)-2].180
o
.
Suy ra tổng các góc trong của n-giác
1 2
...
n
A A A
là:

α
= (k-2).180
o
+ [(n-k+2)-2].180
o
= (n-2).180

* Ta có: r
2
=
p
8
; R
2
=
p 2
8
* Giả sử AB là cạnh của đa giác đều 2
n
cạnh chi vi p, nội tiếp đường tròn tâm O;
C là trung điểm của cung AB; M và N
là trung điểm của các đoạn thẳng AC và
BC; P và Q là các giao điểm của AB và MN
với OC.
Bởi vì MN=
1
2
AB và
·
·
1
MON AOB
2
=
,
17
nên MN là cạnh của đa giác đều 2

-giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R.
Giải:
- Với n=2: 2
n
-giác là hình vuông cạnh a
4
=R
2
. Khi đó theo công thức
gấp đôi cạnh đa giác:
a
1
2
n
+
=
2
2 2
2
2 2
4
n
a
R R R
− −
Ta tính được: Cạnh của bát giác đều
8
2 2a R R= −
,
Cạnh của 16-giác đều

2 2 ... 2
2 2
4
lÇn
n
n
a R R R R
+
−
− + +
= − −
1 4 4 2 4 43

2 2 2 ... 2R= − + +
n-1 lần
Từ đó suy ra (1) đúng với mọi n.
Từ công thức (1), khi n tăng vô hạn chu vi đường tròn bán kính R(C=
2 R
π
) sẽ là giới hạn của biểu thức:

2 2 2 2 ... 2
n
R
− + + +
và do đó:
n-2 lần

1
lim 2 2 2 2 ... 2

   
 
19
Khi các thừa số (các căn thức bậc hai) ở mẫu tăng lên vô hạn (Công thức
Vieta *). Các thừa số được lập thành nhờ ba thừa số đầu (đã cho).
Hướng dẫn:
Gọi
2
n
S
là diện tích của 2
n
-giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R và
2
n
h
là trung đoạn. Từ công thức (1) ta có:

2
2
2
2
2 2 ... 2
4 2
n
n
a
R
h R
= − = + + +

n
o
n n
S a h h
cos
S Ra R
+
−
−
= = =
Từ đó suy ra rằng:
1
8
1 4 2
1
8 16
2 2
180 180 180
. ... . ...
4 8 2
n
n n
o o o
n
S
S
S S
cos cos cos
S S S S
−

cos
cos
α α
+
=
20
Bài toán 2: Trong một n-giác lồi, các đường chéo không bộ ba đường
nào đồng qui, chia nó làm bao nhiêu miền.
Hướng dẫn:
Đường chéo
1 n
A A
sẽ chia (n+1)-giác lồi
1 2 1
...
n n
A A A A
+
ra thành một
tam giác
1 1n n
A A A
+
và một n-giác
1 2
...
n
A A A
.
Gọi F(n) là số của n-giác

( 1)( 2)( 3 12)
24
n n n n
− − − +
Bài 3: Tìm qui tắc tính P(n) số cách chia một n-giác lồi ra làm các tam
giác bởi những đường chéo không cắt nhau.
Hướng dẫn:
-Xét với tam giác ta có P(3)=1
- Với mọi k<n, Giả sử ta tính được P(k)
21
-Bằng cách xét n-giác lồi
1 2
...
n
A A A

ta đi tính P(n).
Cách lấy
1 2
A A
là cạnh của một trong
các tam giác được chia. Khi đó đỉnh thứ 3
của tam giác này sẽ là một trong các điểm
còn lại.
Bằng cách lập luận ta có hệ thức sau:
P(n) = P(n-1) + P(n-2).P(3) + P(n-30.P(4) + … P(3).P(n-2) +P(n-1)
Cuối cùng ta tính được:
P(n) =
2(2 5)!
( 1)!.( 3)!

1
, A
2
, … A
n
. và n số thực a
1
, a
2
,… a
n
. Chứng
minh rằng tồn tại duy nhất điểm O sao cho
1
. 0
n
i i
i
a OA
=
=
∑
uuur r
.( O là tâm tỉ cự
của hệ điểm A
i
và bộ số a
i
)
Giải:

.
* Xét hệ với n điểm A
1
, A
2
, … A
n
, A
n+1
. và n+1 số thực a
1
, a
2
,…
a
n
, a
n+1
a
n+1
khi đó ta có
23

( )
1 1 1
1
1 1 1 1
1
1
1

+ + +
+
= = =
+
+
=
+
+
=
+
+
=
= + = + + =
= + =
⇔ =
⇔ =
∑ ∑ ∑ ∑
∑
∑
∑
uuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuuuuur
uuuur uuuuuuur r
uuuuuur uuuur
uuuur uuu r
(*)
uuu
Do O’ và A
n+1
cố định và
1

o

1
u
T
→
=
1 1
u u
T
→
+
( đúng)
Giả sử đúng với n= k.Tức là:

1
u
T
→
o
2
u
T
→
o
……….
o
k
u
T

T
→
+
=
1 2 1
( .... )
k
u u u
T
+
+ + +
uur uur uuuur
Thật vậy,ta có:
1
u
T
→
o
2
u
T
→
o
……….
o
k
u
T
→
o

O
A
B
C
=
1 2
( .... )
k
u u u
T
+ + +
ur uur uur
o
1k
u
T
→
+
=
1 2
( .... )
k k
u u u u
T
+ + + +
ur uur uur uur
=
1 2 1
( .... )
k

++=⇔
mà
2
cos
2
cos
2
cos4sinsinsin
CBA
CBA
=++
25