TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TOÁN
 Đề tài:
PHÉP QUY NẠP TRONG HÌNH HỌC

Giáo viên hướng dẫn : Ths. Nguyễn Chiến Thắng
Sinh viên thực hiện : Nguyễn Huy Hùng
MSSV : 0851007961
Lớp : 49A Toán
Vinh - 2011

Mục Lục
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH 1
Mục Lục 2
3. Sự tiếp xúc gợi ý 11
4. Phương pháp quy nạp 13
5. Phương pháp giải bằng quy nạp toán học 13
I. Phép quy nạp trong tính toán hình học 15
II. Chứng minh định lí hình học bằng phép quy nạp 24
Bài tập ứng dụng: 29
IV. Tìm quỹ tích bằng quy nạp 42
VI. Phép quy nạp trong không gian 51
1. Dạng tính toán trong không gian bằng quy nạp 51
2
Nhận xét của giáo viên
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

n
A
có n chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 sao cho
n
A
này
chia hết cho 2
n
.
P1: n=1. Số cần tìm là 2.
4
P2: Ta chứng minh sau phép biến đổi giả thiết : Tăng n lên 1 đơn vị, bài
toán vẫn đúng (Sau 1 số lần hữu hạn tăng 1 đơn vị liên tiếp, ta có thể
"biến" số n=1 thành bất kì số nào trong tập N
*
và điều này dẫn đến bài
toán đúng )
Hãy giả sử bài toán đã đúng với n=k, nghĩa là ta sẽ phải chứng minh bài
toán cũng đúng với n=k+1.
Ta có :
k
A
=
k
2
.q
Nếu q lẻ ta sẽ chọn
k 1
A
+

quy nạp trong hình học là một đề tài thiết thực khai thác vào một
phương pháp giải toán hình học mà chưa được nhắc tới nhiều.
Trong khuôn khổ giới hạn của đề tài, tôi không đưa ra các khái niệm,
định lý, tính chất mới mà chỉ trình bày các nội dung chính thuộc đề tài,
các dạng bài tập, thí dụ minh họa và bài tập ứng dụng.
Mặc dù đã tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu cùng với sự nổ lực
của bản thân nhưng do trình độ hiểu biết có hạn nên chắc chắn không
tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong được sự góp ý của thầy giáo
Ths. Nguyễn Chiến Thắng và bạn đọc.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Ths. Nguyễn Chiến
Thắng, Thư viện Đại học Vinh và toàn thể các bạn sinh viên lớp 49A
Toán đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này !

Người thực hiện

Nguyễn Huy Hùng
5
Mở đầu
I. Lí do chọn đề tài.
Phép quy nạp toán học được sử dụng rộng rãi trong số học đại số và
lý thuyết số. Nhưng những ứng dụng của nó trong hình học lại vô cùng lý
thú. Phép quy nạp không chỉ ứng dụng trong việc tính toán các đại
lượng hình học đơn thuần mà nó còn được áp dụng trong việc chứng
minh định lý hình học, trong giải các bài toán dung hình, quỹ tích. Vì vậy
tôi chọn đề tài Phép quy nạp trong hình học.
Đề tài này giúp tôi hiểu sâu hơn một phương pháp giải hiệu quả trong
việc giải các bài toán hình học.
II. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là kiến thức quy nạp toán học và
phép quy nạp trong hình học.


( 1)( 2) ( 1)
1.2.3
r
n
n n n n r
C
r
− − − +
=
Mà ta sẽ gọi là công thức tường minh để tính các hệ số của nhị thức
r
n
C
.
Công thức tường minh đó có trong công trình của Pat-xcan ( trong đó nó
được diễn đạt bằng lời chứ không phải bằng các kí hiệu hiện đại). Pat-
xcan không cho biết ông đã làm như thế nào để rút ra công thức đó và
chúng ta sẽ không phải bận tâm đến một điều là trước khi đến công thức
đó ông đã suy nghĩ như thế nào (Có thể khi đầu mới chỉ là phỏng đoán –
ta thường phát hiện ra các quy luật nhờ quan sát lúc đầu, rồi sau thử khái
quát hóa các kết quả có được. Tuy vậy, Pat-xcan đưa ra một cách chứng
minh chính xuất sắc cho công thức tường minh của mình.
8
Ta thấy có một nhận xét sơ bộ: Công thức tường minh dưới dạng đã
viết không áp dụng được trong trường hợp r=0. Tuy vậy, ta quy ước rằng
khi r=0 thì theo định nghĩa
0
1
n

Từ hai bổ đề đó, ắt suy ra được sự đúng đắn của mệnh đề với mọi giá
trị của n. Thật vậy, do bổ đề thứ nhất mệnh đề đúng với n=1; do đó, theo
bổ đề thứ hai nó đúng với n=2, và tiếp tục theo bổ đề thứ hai nó đúng với
n=3, n=4 và tới vô hạn.
9
Như vậy, ta chỉ cần chứng minh bổ đề thứ hai. Theo cách phát biểu của
bổ đề đó, ta giả thiết rằng công thức của ta đúng với đáy thứ n, nghĩa là
đối với giá trị tùy ý của n và với mọi giá trị có thể được của r (đối với
r=1,2,…,n). Đặc biệt, đồng thời với cách viết

( 1)( 2) ( 1)
1.2.3
r
n
n n n n r
C
r
− − − +
=
Ta cũng có thể viết (với
1r ≥
):

1
( 1)( 2) ( 2)
1.2.3 ( 1)
r
n
n n n n r
C

r r
− − + +
=
−

( 1) ( 1) ( 2)
1.2.3
n n n n r
r
+ − − +
=
Nói cách khác, sự đúng đắn của công thức tường minh đối với giá trị n
nào đó kéo theo tính chất đứng đắn của nó với n+1. Chính điều này được
khẳng định trong bổ đề thứ hai. Như vậy, ta đã chứng minh bổ đề đó.
Những lời của Pat-xcan đã trích dẫn ở trên có một giá trị lịch sử bởi vì
chứng minh của ông là sự vận dụng lần đầu tiên một phương pháp suy
luận cơ bản và mới mẻ, và sau này ta gọi đó là Phép quy nạp toán học.
2. Kinh nghiệm và quan niệm.
Kinh nghiệm đưa đên sự thay đổi quan niệm của con người. Chúng
ta học tập xuất phát từ kinh nghiệm, hay nói đúng hơn là chúng ta phải
học tập từ kinh nghiệm. Sử dụng kinh nghiệm một cách hiệu quả nhất, đó
10
là một trong những nhiệm vụ to lớn của con người , còn lao động để giải
quyết nhiệm vụ đó là chức năng chân chính của các nhà bác học.
Nhà bác học, đúng với danh hiệu đó, cố gắng rút ra quan niệm đúng
đắn nhất từ kinh nghiệm đã biết, và thu thập những kinh nghiệm thích
hợp nhất để xây dựng nên quan niệm đúng về một vấn đề đặt ra. Phương
pháp nhờ đó nhà bác học xử lí với kinh nghiệm thường gọi là phép quy
nạp.
3. Sự tiếp xúc gợi ý.

tổng của hai số nguyên tố lẻ chúng ta có thể bằng lòng với điều khẳng
định ít trực tiếp hơn sau đây: Bất kỳ số chẵn nào không phải là số nguyên
tố và không phải là bình phương của một số nguyên tố, cũng có thể biểu
diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố lẻ.
Như thế chúng ta đã phát biểu một giả thuyết. Chúng ta tìm thấy giả
thuyết đó nhờ phép quy nạp. Nói một cách khác giả thuyết đó nẩy sinh
trong chúng ta nhờ kết quả của sự quan sát và đã được chỉ ra bằng những
ví dụ riêng biệt.
Những chỉ dẫn đó tương đối ít trọng lượng. Chúng ta chỉ có những cơ
sở rất mong manh để tin vào giả thuyết của mình. Tuy nhiên chúng ta có
thể tìm thấy một nguồn an ủi, ở chỗ là cách đây hơn 200 năm Goldbach,
nhà toán học đầu tiên phát biểu giả thuyết đó, cũng không có cơ sở gì
vững chắc hơn.
Giả thuyết của Goldbach có đúng không? Ngày nay chưa ai có thể trả
lời câu hỏi đó. Mặc dù có một số nhà toán học vĩ đại đã có những cố
gắng lớn nhằm làm sáng tỏ vấn đề, nhưng cho đến nay giả thuyết của
Goldbach, cũng như ở thời Euler vẫ là một trong “ nhiều tính chất của
12
các số mà chúng ta rất quen thuộc, nhưng chúng ta vẫn chưa chứng minh
hay bác bỏ được”.
Nhưng từ giả thuyết này chúng ta đã mô tả trong những nét tổng quát
giai đoạn đầu của quá trình quy nạp.
4. Phương pháp quy nạp.
Trong cuộc sống có nhiều người thường bám chặt vào ảo tưởng, nói
một cách khác họ không giám nghiên cứu những khái niệm dễ dàng bị
kinh nghiệm bác bỏ, vì họ ngại tinh thần mất cân bằng.
Trong khoa học, chúng ta cần có một phương pháp khác hẳn đó là
Phương pháp quy nạp. Phương pháp này có mục đích làm cho quan niệm
của chúng ta gần với kinh nghiệm ở mức độ có thể được. Nó đòi hỏi sự
ưa thích nhất định đối với cái gì thực tế tồn tại. Nó đòi hỏi chúng ta sẵn

chứng minh định lý hình học, trong giải các bài toán dựng hình, quỹ tích
cả trong mặt phẳng và trong không gian, ở hình học sơ cấp và hình học
cao cấp.
Bài toán mở đầu :Cho n là một số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 6.
Chứng minh rằng : luôn chia được một hình vuông thành n hình vuông
nhỏ (các hình vuông sau khi chia không nhất thiết phải bằng nhau)
14
Xuất phát từ 1 bài toán đơn giản nhất: chia 1 hình vuông thành 4 hình
vuông nhỏ. Ta có cách giải như sau :
P1: Bao gồm 3 bài toán cơ sở : n=6,7,8 (đã được giải trong hình)
P2: Ta chứng minh nếu bài toán đúng với n=k thì nó cũng đúng với
n=k+3. Khá đơn giản, bằng cách chọn 1 hình vuông bất kì trong k hình
vuông đã có, chia nó làm 4 hình vuông nhỏ hơn và đó là điều phải chứng
minh.
Nhận xét: Qua bài toán này, ta rút ra kết luận rằng P1 không nhất
thiết chỉ là 1 bài toán, nó có thể là 2,3 bài hoặc nhiều hơn !
Để hiểu rõ hơn về các ứng dụng của phép quy nạp trong hình học ta đi
sâu vào hệ thống bài tập dành riêng cho mỗi loại toán hình học.
I. Phép quy nạp trong tính toán hình học.
Trong lý thuyết số và đại số, phép qui nạp toán học là một phương
pháp hiệu quả trong việc tính toán các giá trị đại số và các đại lượng toán
học. Trong hình học để giải các bài toán tính toán thì việc áp dụng phép
qui nạp để thực hiện hoàn toàn có thể và nó có thể thực hiện một cách
chính xác.
• Thí dụ 1:
Tính tổng các góc trong của một n-giác không tự cắt.
Giải:
Ta có thể thấy ngay: Tổng các góc trong của một tam giác là 180
o
.

giác ban đầu.
Bây giờ ta chứng minh bài toán:
Trong n-giác
1 2

n
A A A
ta vẽ đường chéo
1 k
A A
chia n-giác đó làm k-giác
1 2

k
A A A
và (n-k+2)-giác
1 1

k k n
A A A A
+
.
Với giả thiết đã cho thì tổng các góc trong của k-giác và (n-k+2)-giác
lần lượt là (k-2).180
o
và [(n-k+2)-2].180
o
.
Suy ra tổng các góc trong của n-giác
1 2

1
(R r )
2
+
và R
n 1+
=
n n 1
R r
+
.
Giải:
* Ta có: r
2
=
p
8
; R
2
=
p 2
8
* Giả sử AB là cạnh của đa giác đều 2
n
cạnh chi vi p, nội tiếp đường tròn tâm O;
C là trung điểm của cung AB; M và N
là trung điểm của các đoạn thẳng AC và
BC; P và Q là các giao điểm của AB và MN
với OC.
Bởi vì MN=

n 1 n n 1
R R r
+ +
=

• Thí dụ 3:
Tính cạnh a
2
n
của 2
n
-giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R.
Giải:
- Với n=2: 2
n
-giác là hình vuông cạnh a
4
=R
2
. Khi đó theo công thức
gấp đôi cạnh đa giác:
18
a
1
2
n+
=
2
2 2
2

n lần
- Giả sử cạnh của một 2
n
-giác đều nội tiếp đường tròn được biểu diễn
bởi (1). Khi đó nhờ công thức gấp đôi cạnh đa giác ta có:

1
( 2)
2 2 2
2
2 2 2
2 2
4
lÇn
n
n
a R R R R
+
−
− + +
= − −
1 4 4 2 4 43

2 2 2 2R= − + +
n-1 lần
Từ đó suy ra (1) đúng với mọi n.
Từ công thức (1), khi n tăng vô hạn chu vi đường tròn bán kính R(C=
2 R
π
) sẽ là giới hạn của biểu thức:


2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
 
   
 ÷
+ + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 
Khi các thừa số (các căn thức bậc hai) ở mẫu tăng lên vô hạn (Công thức
Vieta *). Các thừa số được lập thành nhờ ba thừa số đầu (đã cho).
Hướng dẫn:
Gọi
2
n
S
là diện tích của 2
n
-giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R và
2
n
h
là trung đoạn. Từ công thức (1) ta có:

2
2


1
1
2 2 2 2
1
2 2
2
180
2 2
n n n n
n n
n
o
n n
S a h h
cos
S Ra R
+
−
−
= = =
Từ đó suy ra rằng:
1
8
1 4 2
1
8 16
2 2
180 180 180
. .

π
bằng giới hạn của:
45 45
cos45 . .
2 4
o o
o
cos cos
Và cuối cùng dùng công thức
1
2 2
cos
cos
α α
+
=
Bài toán 2: Trong một n-giác lồi, các đường chéo không bộ ba đường
nào đồng qui, chia nó làm bao nhiêu miền.
Hướng dẫn:
Đường chéo
1 n
A A
sẽ chia (n+1)-giác lồi
1 2 1

n n
A A A A
+
ra thành một
tam giác

− −
= F(n) +
3 2
4
1
6 2 3
n n n
− + −
Tính tổng các giá trị của F(n), F(n-1), … , F(4) ta được:
F(n)=
2
( 1)( 2)( 3 12)
24
n n n n
− − − +
Bài 3: Tìm qui tắc tính P(n) số cách chia một n-giác lồi ra làm các tam
giác bởi những đường chéo không cắt nhau.
Hướng dẫn:
-Xét với tam giác ta có P(3)=1
- Với mọi k<n, Giả sử ta tính được P(k)
-Bằng cách xét n-giác lồi
1 2

n
A A A

ta đi tính P(n).
Cách lấy
1 2
A A

. Từ lập luận tổng N đường chéo và n cạnh
của n-giác suy ra: 2N + n = 3(n-2)
⇒
N= n – 3.
23
II. Chứng minh định lí hình học bằng phép quy nạp.
Phép quy nạp là một trong những phương pháp hữu hiệu nhất để
chứng minh các định lý các mệnh đề mà các phương pháp không thể
chứng minh được. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số thí dụ và bài toán
chứng minh định lý mệnh đề bằng phép quy nạp.
Thí dụ 1: Cho n điểm A
1
, A
2
, … A
n
. và n số thực a
1
, a
2
,… a
n
. Chứng
minh rằng tồn tại duy nhất điểm O sao cho
1
. 0
n
i i
i
a OA

duy nhất điểm O’ sao cho
1
. ' 0
n
i i
i
a O A
=
=
∑
uuuuur r
.
* Xét hệ với n điểm A
1
, A
2
, … A
n
, A
n+1
. và n+1 số thực a
1
, a
2
,…
a
n
, a
n+1
a

i
n
n
i
i
a OA a OO O A a OO a O A O A
a OO O A
A O a OO
OO A O
a
+ + +
+
= = =
+
+
=
+
+
=
+
+
=
= + = + + =
= + =
⇔ =
⇔ =
∑ ∑ ∑ ∑
∑
∑
∑

,…,
n
u
T
→
Với n=2 :
1
u
T
→

o

1
u
T
→
=
1 1
u u
T
→
+
( đúng)
Giả sử đúng với n= k.Tức là:

1
u
T
→

→
o
……….
o
k
u
T
→
o
1k
u
T
→
+
=
1 2 1
( )
k
u u u
T
+
+ + +
uur uur uuuur
Thật vậy,ta có:
1
u
T
→
o
2

u
T
→
)
o
1k
u
T
→
+
=
1 2
( )
k
u u u
T
+ + +
ur uur uur
o
1k
u
T
→
+
=
1 2
( )
k k
u u u u
T